KURSER  / 
Matematik 1b
B
/  Sannolikhetslära
Sannolikhetslära

Blandade övningar Sannolikhetslära - 1B

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

I det centrala innehållet i Ma1b står det att vi ska jobba med begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse. Metoder för
att beräkna sannolikheter i flera steg, inklusive exempel från spel, risk- och säkerhetsbedömningar.

I denna lektion får du möjlighet att träna på att tillämpa det du lärt dig i tidigare lektioner om sannolikhet. Det finns ingen videogenomgång i denna lektion, utan den är helt tillägnad övningar som är infärgade till Matematik 1b.

Vi samlar först kort det vi gått igenom i tidigare lektioner. Återvänd till dem för videogenomgångar, fördjupande förklaringar, övningsuppgifter och repetition något känns oklart.

Beräkna sannolikheter

Värdet av sannolikheten PP för händelse AA motsvarar alltid ett värde

 0≤P(A)≤10\le P\left(A\right)\le10≤P(A)≤1 

och bestäms av kvoten

 P(A)=P(A)=P(A)= Antal gynnsamma utfallAntal mo¨jliga utfall\frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}Antal gynnsamma utfallAntal möjliga utfall   

Sannolikheter i flera steg

Med hjälp av multiplikationsprincipen kan du beräkna en sannolikhet av en händelse som omfattar flera olika utfall.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för en första händelse är P(A)P(A) och följande händelse är P(B)P(B) så är sannolikheten för att de bägge sker i följd P(A)⋅P(B)P(A)\cdot P(B) . 

Exempel 1

Du är bjuden på en middag med bordsplacering. Gästerna har i förväg fått fylla i eventuella allergier. Ingen har mer än en allergi. Här är sammanställningen.

Vad är sannolikheten att du hamnar bredvid en allergiker, förutsatt att du inte själv är en av allergikerna?

Lösning

På festen finns totalt  1+3+1+26=401+3+1+26=401+3+1+26=40  gäster varav 555 av dessa är allergiker.

Då du inte kan hamna bredvid dig själv finns det bara 393939 möjliga utfall på vem du hamnar bredvid och vi får sannolikheten

 P(Hamna vid en allergiker)=P\left(\text{Hamna vid en allergiker}\right)=P(Hamna vid en allergiker)= 539\frac{5}{39}539  

eller om du hellre vill svara i procentform, ca 12,8 %12,8\text{ }\%12,8 % eller decimalform, ca 0,1280,1280,128.

Komplementhändelser

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Summan av en händelses sannolikhet och dess komplementhändelses sannolikhet är alltid 111.

Komplementhändelse

Om  AcA^cAc är komplementhändelse till händelse AAA gäller att

 P(A)+P(Ac)=1P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1P(A)+P(Ac)=1 

Komplementhändelsen kan vara till stor hjälp vid beräkningar där endast ett fåtal grenar i ett träddiagram är icke gynnsamma eller ska ta reda på sannolikhet för andra händelser är de som är givna i uppgiften.

Exempel 2

Chansen att en gren bär frukt när den ympas in på ett träd är 16\frac{1}{6}16 . Hur stor är sannolikheten att få frukt från åtminstone en gren om du ympat in fem stycken grenar?

Lösning

Vi kan använda oss av komplementhändelsen P(Ingen gren ger frukt)P\left(\text{Ingen gren ger frukt}\right)P(Ingen gren ger frukt) som är komplementhändelsen åt händelsen  P(A˚tminstone en gren ger frukt)P\left(\text{Åtminstone en gren ger frukt}\right)P(Åtminstone en gren ger frukt).

Att en gren inte ger frukt motsvarar  P(Grenen ger inte frukt)=1−P\left(\text{Grenen ger inte frukt}\right)=1-P(Grenen ger inte frukt)=1− 16=56\frac{1}{6}=\frac{5}{6}16 =56  

Vi får då sannolikheten

 P(Ingen gren ger frukt)P\left(\text{Ingen gren ger frukt}\right)P(Ingen gren ger frukt)=(56)5=\left(\frac{5}{6}\right)^5=(56 )5 ≈0,4\approx0,4≈0,4  

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för att åtminstone en gren ger frukt, därför att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

1−1-1−   P(Ingen gren ger frukt)=1−P\left(\text{Ingen gren ger frukt}\right)=1-P(Ingen gren ger frukt)=1−(56)5\left(\frac{5}{6}\right)^5(56 )5 ≈0,6\approx0,6≈0,6  

Träddiagram

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Sannolikheten i ett träddiagram

Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.

Tänk på att en händelse kan vara antigen beroende eller oberoende av tidigare utfall. Beroende händelser kan komma att påverka sannolikheten för de olika utfallen som följer på varandra. 

Exempel 3

Två kort dras slumpmässigt ur en kortlek med 52 kort. Vad är sannolikheten att få två sjuor?

Lösning

I en kortlek med 52 kort finns det fyra sjuor. När korten dras kan vi antingen få en sjua eller inte få en sjua. Vi kan visualisera utfallsrummet med ett träddiagram.

Exempel 2 träddiagram sannolikhet två sjuor

I träddiagrammet markeras den väg där vi får två sjuor. När det första kortet dras finns 4 sjuor och 52 kort totalt. När det andra kortet dras finns det 3 sjuor och 51 kort kvar.

Vi får därför.

 P(tva˚ sjuor)=P\left(\text{två sjuor}\right)=P(två sjuor)= 452⋅351=122652=1221\frac{4}{52}\cdot\frac{3}{51}=\frac{12}{2652}=\frac{1}{221}452 ·351 =122652 =1221   

Eller i decimalform ca 0,00450,00450,0045 eller promilleform ca 4,5 /0 004,5\text{ }\mathrlap{\it{/}}{^0}_{\,00}4,5 ‰ 

Känner du dig redo att gå vidare är nästa steg är att du gör kapiteltestet på sannolikhetslära i Matematik 1b.

Nästa lektion: Kapiteltest – Sannolikhetslära Ma1b

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server