Gränsvärden och förberedelse inför Derivata

Exempel 1

Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h   då  $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Lösning

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3  och  $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{2\left(x+h\right)+3-2\left(x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+3−2(x+3)h =2x+2h+3−2x−3h =2hh =  $2$2 

Exempel 2

Beräkna $\lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x²−5 

Lösning

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)²−5  och  $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x²−5 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)²−5−(x²−5)h =(x²+2xh+h²−5)−(x²−5)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x²+2xh+h²−5−x²+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h²h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h 

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta  $h$h  gå mot noll.

$\lim\limits_{h \to 0}$ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x