Name: Komplementhändelser - År 9 - (Sannolikhetslära) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4 (3 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

En komplementhändelse till en händelse A är alla de resultat som inte ingår i A. Ofta kan det vara enklare att räkna ut hur stor sannolikheten för komplementet är. Därför är det viktigt att ibland använda sig av komplementet till en händelse A.

Komplementhändelse

Om $A^c$A^c är komplementhändelse till händelsen $A$A gäller att

$P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(A^c)=1

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera $1$1 med komplementhändelsen, alltså $P\left(A^c\right)=1-P\left(A\right)$P(A^c)=1−P(A).

Ofta är komplementhändelser användbara när man söker att minst ett (eller flera) resultat är av en viss sort. För att visa det tar vi två stycken exempel.

Exempel 1

Du kastar en tärning sex gånger. Hur stor är sannolikheten att du får minst en femma?

Lösning

I det här fallet skulle det vara onödigt mycket arbete att rita ut ett träddiagram för att därefter multiplicera och addera alla vägar där vi får minst en femma. Istället använder vi komplementhändelsen och förenklar beräkningarna avsevärt.

Händelse $A$A = minst en femma och komplementhändelsen till $A$A är $A^c$A^c = ingen femma

Sannolikheten att inte få en femma på ett kast är $P\left(\text{ingen femma}\right)=\frac{5}{6}$P(ingen femma)=56 så sannolikheten att inte få en femma på sex kast är

$P\left(\text{ingen femma på sex kast}\right)=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^6\approx0,33$P(ingen femma på sex kast)=56 ·56 ·56 ·56 ·56 ·56 =(56 )⁶≈0,33

Nu använder vi oss av att $P\left(A\right)=1-P\left(A^c\right)$P(A)=1−P(A^c) och får

$1-0,33=0,67=67\text{ }\%$1−0,33=0,67=67 %

Nu kan vi svara att sannolikheten att få minst en femma är $67\text{ }\%$67 %

Exempel 2

Lena gör ett prov med fyra frågor. Det finns fem svarsalternativ till varje fråga och hon gissar på alla frågor.

Vad är sannolikheten att hon får minst ett rätt?

Lösning

Även i detta exempel så blir det mycket enklare att räkna ut komplementet till att få minst ett rätt.

Händelse $A$A = minst ett rätt och komplementhändelsen till $A$A är $A^c$A^c = inget rätt

Sannolikheten att inte få rätt på en fråga är $P\left(\text{ingen femma}\right)=\frac{4}{5}$P(ingen femma)=45 så sannolikheten att inte få rätt på fyra frågor är

$P\left(\text{inget rätt på fyra frågor}\right)=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\left(\frac{4}{5}\right)^4\approx0,41$P(inget rätt på fyra frågor)=45 ·45 ·45 ·45 =(45 )⁴≈0,41

Nu använder vi oss av att $P\left(A\right)=1-P\left(A^c\right)$P(A)=1−P(A^c) och får

$1-0,41=0,59=59\text{ }\%$1−0,41=0,59=59 %

Nu kan vi svara att sannolikheten att få minst ett rätt är $59\text{ }\%$59 %

Exempel i videon

John och Erik måste springa till bussen. Sannolikheten att John hinner med bussen är 0,5 och sannolikheten att Erik hinner med är 0,8. Vilken är sannolikheten att bägge missar bussen?
Felicia är en hejare på basketskott från straffkastlinjen. Hon sätter 70 % av alla straffar. Vad är sannolikheten att hon sätter minst en straff om hon kastar fyra straffkast?

Nästa lektion: Kombinatorik

KURSER /

Matematik Årskurs 9

/ Sannolikhetslära och statistik – Åk 9