Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Komplexa tal - Imaginära tal
Innehåll
Komplexa tal – Vad är det?
Imaginära tal
På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen. Ett exempel på en sådan ekvation är $x^2=-1$x2=−1 .Vi kan inte hitta ett reellt tal vars kvadrat är negativ, och ekvationen saknar därför reella rötter. För att lösa denna typ av ekvationer behöver vi införa en ny sorts av tal. Dessa kallas imaginära tal och utgår från den imaginära enheten $i$i.
Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen $i^2=-1$i2=−1.
Med hjälp av det nydefinierade talet $i$i kan vi nu lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.
Lös ekvationen $x^2=-1$x2=−1. Vi använder kvadratrotsmetoden för att lösa ekvationen. $x^2=-1$x2=−1 $\begin{cases}x_1=i \\ x_2=-i \end{cases}$Exempel 1
Lösning
$x=\pm\sqrt{-1}=\pm\sqrt{i^2}=\pm i$x=±√−1=±√i2=±i
Genom att utgå från talet $i$i kan vi se att det finns oändligt många imaginära tal: $2i$2i, $-3i$−3i, $\frac{1}{7}i$17 i, $\pi i$πi osv.
Begreppet imaginära tal började användas av matematiker på 1600-talet, och syftade då på att talen inte existerade ”på riktigt”. De menade att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella. Även om man nu sedan länge accepterat att de imaginära talen är precis lika verkliga som de reella, lever dess namn kvar.
Genom att sätta samman reella och imaginära tal får vi de komplexa talen. Namnet härstammar från latinets complexus, som betyder sammansatt.
Komplext tal
Ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi är ett komplext tal
där $a$a är realdelen, $b$b imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=√−1.
Detta kan skrivas som $\begin{cases} \text{Re }z=a \\ \text{Im }z=b \end{cases}$
Exempel 2
Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $z=6+4i$z=6+4i .
Lösning
Det komplexa talet $z=6+4i$z=6+4i har realdelen $6$6 och imaginärdelen $4$4 .
$\begin{cases} \text{Re }z=6 \\ \text{Im }z=4 \end{cases}$
Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen, utan bara talet framför.
Det komplexa talplanet
Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln är vår ”vanliga” tallinje, som representerar realdelen av ett komplext tal. Den lodräta axeln är en tallinje som representerar imaginärdelen. Det komplexa talet $z=3+2i$z=3+2i kan då representeras genom att punkten med koordinaterna $(3,2)$(3,2) markeras i det komplexa talplanet.
Exempel 3
Markera det komplexa talet $z=-2+4i$z=−2+4i i ett komplext talplan.
Lösning
Vi markera realdelen efter den horisontella axeln och imaginärdelen efter den lodräta.
$\text{Re }z=-2$Re z=−2 och $\text{Im }z=4$Im z=4 motsvarar punkten med koordinaterna $(-2,4)$(−2,4).
Exempel 4
Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $z=-2i$z=−2i
Lösning
Det komplexa talet $z=-2i$z=−2i kan skrivas $z=0-2i$z=0−2i . Vi ser att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=-2$Im z=−2.
Det komplexa talet $z=-2i$z=−2i har realdelen $0$0, och kan därför benämnas som ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal. På ett liknande sätt kan alla reella tal kan skrivas på formen $a+bi$a+bi genom att sätta imaginärdelen $b=0$b=0. Både de reella och de imaginära talen utgör en delmängd av de komplexa talen.
Olika talmängder
Som vi nämnde i lektionen Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter har ibland medfört behov av nya typer av tal. Talen kan delas in i olika mängder och delmängder på följande sätt:
Naturliga tal
Alla heltal större eller lika med noll.
$\mathbf{N}=$ { $ 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …$}
Heltal
Mängden av alla naturliga och negativa heltal.
$ \mathbf{Z}=$ { $ …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…$}
Rationella tal
Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal $a$a och $b$b, där $b\ne0$b≠0.
$ \mathbf{Q}=$ { alla tal $\frac{a}{b}$, där $a$ och $b$ är hela tal och $b≠0$}
Irrationellt tal
Reella tal som inte är rationella.
Reella tal
Varje punkt på en kontinuerlig reell tallinje motsvarar ett reellt tal.
$ \mathbf{R}=$ { alla tal på den reella tallinjen}
Imaginära tal (eller rent imaginära tal)
Tal som innehåller den imaginära enheten $i$i och vars kvadrat ger ett negativt tal.
$ \mathbf{I}=$ { alla tal $bi$bi , där $b\text{∈}$b∈$ \mathbf{R}$ och $b\ne0$b≠0 }
Komplexa tal
Alla tal på formen $z=a+bi$z=a+bi, där $a$a är realdelen, $b$b imaginärdelen och $i^2=-1$i2=−1, motsvarar ett komplext tal.
$ \mathbf{C}=$ { $z=a+bi$z=a+bi, där $a$a och $b$b är reella tal och $i$i den imaginära enheten}
Exempel i videon
- Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
- Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
- Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
- Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
- Lös ekvationen x² + 4 = 0
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (17)
-
1. Premium
Vi vet att för det komplexa talet $z$z gäller att $\text{Re }z=2$Re z=2 och $\text{Im }z=-9$Im z=−9.
Ange talet på formen $a+bi$a+bi.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...2. Premium
Vad motsvarar $i$i i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp imaginära tal komplexa tal Komplexa tal och Polynom talmängder talsystemRättar...3. Premium
Vad motsvarar $a$a i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp imaginära tal komplexa tal Komplexa tal och Polynom talmängder talsystemRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vad motsvarar $b$b i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp imaginära tal komplexa tal Komplexa tal och Polynom talmängder talsystemRättar...5. Premium
Vad motsvarar $z$z i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp imaginära tal komplexa tal Komplexa tal och Polynom talmängder talsystemRättar...6. Premium
Är talet $2$2 ett komplext tal?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Andragradsekvationer med komplexa rötterLiknande uppgifter: imaginära tal komplexa tal talmängder taluppfattningRättar...7. Premium
Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet $z=2+4i$z=2+4i.
Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...8. Premium
Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet $ z = -3i $. (Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...9. Premium
Vilken är realdelen till $z=2+3i$z=2+3i ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...10. Premium
Vad är imaginärdelen av $z=4-2i$z=4−2i ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...11. Premium
Skriv $\sqrt{-16}$√−16 som ett imaginärt tal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: imaginära tal imaginärt tal komplexa talRättar...12. Premium
Skriv $\sqrt{-49}$√−49 som ett imaginärt tal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: imaginärt tal komplexa talRättar...13. Premium
Skriv $\sqrt{-3}$√−3 som ett imaginärt tal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...14. Premium
Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...15. Premium
Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...16. Premium
Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...17. Premium
Lös ekvationen $ -1000 – 10x^2 = 0 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplexa tal - Imaginära tal Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Björn Follin
I genomgången står det att ”Ett komplext tal består av en realdel och en imaginärdel”. Enligt fråga 2 är alla reella tal komplexa, hur är det så? Är det för att alla reella tal kan skrivas t.ex. 2=2+0i ?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja, alla reella tal ingår i talmängden komplexa tal.
Du är på rätt spår där i din egen tankegång.
Amanuel Mehari
Online är bäst! Tack!
Anna Admin (Moderator)
Kul att du gillar!
Komvux Sundsvall Elev
På uppgift 8 i testet står det -100 i ekvationen, men enligt förklaringen ska det vara -1000 (det är bara då svaret stämmer också).
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det står fel där i uppgiftsfrågan, det är korrigerat, tack för att du sade till!
gulatun
hejsan! jag undrar om du kan hjälpa mig med dem här talen?
de komplexa talen z = 2 + 2i och w = 5i
a) Skriv z och w i polär form
b) Bestäm arg(w/z)
c) bestäm exakt absolutbeloppet av |z*w|
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kika gärna på våra genomgångar om polär form och absolutbelopp och konjugat.
Leila
Tack!
Catarina
Hej!
Om man ska beräkna 3i * 3i vad blir det då?
Jag tycker det borde bli 9i upphöjt till 2, men det svarsalternativet finns inte.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, då blir det
$ 3i*3i = 9i^2 = 9*(-1) = -9 $
Viktigt att komma ihåg är att
$ i^2 = -1 $
magdalena
Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa mig med ett tal?
Skriv talet √3+1 på formen re^(iy)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du kan använda Eulers formel för detta, du hittar en genomgång om detta här.
Endast Premium-användare kan kommentera.