Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Komplexa tal - Imaginära tal
Innehåll
Komplexa tal- Vad är det?
På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen.
För att lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0 måste vi använda oss av komplexa tal. Namnet härstammar från latinets complexus, som översätts sammansatt. De komplexa talen är sammansatta av reella tal och imaginära tal.
Komplext tal
Tal på formen $ z = a + bi $ motsvarar ett komplext tal
där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=√−1.
$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}
Under 1500-talets början gjordes de första beräkningarna med komplexa tal, även om matematikerna som utförde beräkningarna ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte fanns. Man sa att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella.
Även om man sedan länge accepterat att komplexa tal är precis lika verkliga som de reella talen lever dess namn kvar.
Exempel 1
Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $ w = 6+4i $
Lösning
Det komplexa talet $ w = 6+4i $ har realdelen $6$6 och imaginärdelen $4$4
Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.
Mängden av komplexa tal en $\mathbf{C}$, kan definieras med hjälp av enbart reella tal, med tillägget att $i$i har egenskapen $i^2=-1$i2=−1. Till följd av det kan räkneregler med de fyra räknesätten tillämpas i likhet med de reella talen. Men mer om det i kommande lektioner.
Imaginära tal
I Matematik 2 fördjupade vi oss i hur man löser andragradsekvationer. En av metoderna vi introducerade är kvadratsots metoden.
Lösningsmetoden går ut på att man drar roten ur båda leden för att finna ekvationens rötter. I vissa fall saknade ekvationen reella rötter. De resultaten fick vi när vi inte kunde hitta ett reellt tal, vars kvadrat blev negativ.
Detta var en av anledningar till att man konstruerade en ny typ av tal. Man ville nämligen kunna lösa ekvationer, av typen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.
För att beteckna de nya talen införde man symbolen $i$i med egenskapen att $ i^2 = -1$. Denna nya typ tal, $bi$bi, kallade man för imaginära tal.
Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen $i^2=-1$i2=−1.
Med hjälp av det nydefinierade talet $i$i kan vi nu lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.
Exempel 2
Lös ekvationen $x^2=-1$x2=−1
Lösning
Vi använder kvadratrotsmetoden för att lösa ekvationen.
$x^2=-1$x2=−1 Dra roten ur båda leden
$x=\pm\sqrt{-1}$x=±√−1
Då $i^2=-1$i2=−1 gäller att $i=\sqrt{-1}$i=√−1 vilket ger oss lösning
$x=\pm i$x=±i
Skulle vi välja att skriva rötterna som komplexa tal får vi $z_1=i$z1=i och $z_2=-i$z2=−i.
För denna lösning gäller att att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=\pm1$Im z=±1. När realdelen i ett komplext tal saknas kallas talet för ett imaginärt tal.
Exempel 3
Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $ z = -2i $
Lösning
För det komplexa talet $ z = -2i $ gäller att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=-2$Im z=−2
Talet $ z = -2i $ saknar en realdel och är därmed ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal.
De reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Det innebär att alla reella tal kan skrivas som komplexa tal. Det görs genom att adderar ett imaginärt tal $0i$0i till det reella talet.
Det komplexa talplanet
Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln representera alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal. Det komplexa talet $ w = 3 + 2i $ kan då representeras genom att punkten med koordinaterna $(3, 2)$ markeras i det komplexa talplanet.
Exempel 4
Markera det komplexa talet $ z = -2 + 4i $ i ett komplext talplan.
Lösning
Vi markera realdelen efter den horisontella axeln och imaginärdelen efter den lodräta.
Re $z = -2$ och $Im z = 4$ motsvarar punkten med koordinaterna $(-2, 4)$.
Olika talmängder
Som vi nämnde i lektionen om Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter och behov medför upptäckten, eller uppfinnandet, av nya tal. Talen kan delas upp i bland annat följande delmängder.
Naturligt tal
Alla heltal större eller lika med noll.
$\mathbf{N}=$ { $ 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …$}
Heltal
Mängden av alla naturliga och negativa heltal.
$ \mathbf{Z}=$ { $ …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…$}
Rationellt tal
Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal $a$ och $b$, där $b≠0$.
$ \mathbf{Q}=$ { alla tal $\frac{a}{b}$, där $a$ och $b$ är hela tal och $b≠0$}
Irrationellt tal
Reella tal som inte är rationella.
Reella tal
Varje punkt på en kontinuerlig tallinje motsvarar ett reellt tal.
$ \mathbf{R}=$ { alla tal på tal linjen}
Komplext tal
Alla tal på formen $ z = a + bi $ där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i^2=-1$i2=−1 motsvarar ett komplext tal.
$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}
Vissa av talen finns med i flera olika grupperingar. Inom mattematiken kan man kalla en mängd tal som även ingår i en annan mängd för delmängder.
Vill du repetera dessa talmängder mer grundläggande så finns som sagt mer info om varje mängd i lektionen om tal.
Som vi sett här är det fullt möjligt att definiera eller konstruera nya typer av tal, så länge de besitter de logiska regler som krävs för att man skall kunna räkna med dem. Så det är bara att sätta igång.
Exempel i videon
- Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
- Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
- Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
- Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
- Lös ekvationen x² + 4 = 0
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (17)
-
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vi vet att för det komplexa talet $z$z gäller att $\text{Re }z=2$Re z=2 och $\text{Im }z=-9$Im z=−9.
Ange talet på formen $a+bi$a+bi.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vad motsvarar $i$i i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vad motsvarar $a$a i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vad motsvarar $b$b i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vad motsvarar $z$z i ett tal på formen $z=a+bi$z=a+bi ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Är talet $2$2 ett komplext tal?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet $z=2+4i$z=2+4i.
Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet $ z = -3i $. (Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vilken är realdelen till $z=2+3i$z=2+3i ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Vad är imaginärdelen av $z=4-2i$z=4−2i ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...11. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Skriv $\sqrt{-16}$√−16 som ett imaginärt tal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Skriv $\sqrt{-49}$√−49 som ett imaginärt tal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...13. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P PL M R K Skriv $\sqrt{-3}$√−3 som ett imaginärt tal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...14. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...15. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...16. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)M NP INGÅR EJE C A B P 1 PL M R K Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...17. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)M NP INGÅR EJE C A B 1 P 1 PL M R K Lös ekvationen $ -1000 – 10x^2 = 0 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Björn Follin
I genomgången står det att ”Ett komplext tal består av en realdel och en imaginärdel”. Enligt fråga 2 är alla reella tal komplexa, hur är det så? Är det för att alla reella tal kan skrivas t.ex. 2=2+0i ?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja, alla reella tal ingår i talmängden komplexa tal.
Du är på rätt spår där i din egen tankegång.
Amanuel Mehari
Online är bäst! Tack!
Anna Admin (Moderator)
Kul att du gillar!
Komvux Sundsvall Elev
På uppgift 8 i testet står det -100 i ekvationen, men enligt förklaringen ska det vara -1000 (det är bara då svaret stämmer också).
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det står fel där i uppgiftsfrågan, det är korrigerat, tack för att du sade till!
gulatun
hejsan! jag undrar om du kan hjälpa mig med dem här talen?
de komplexa talen z = 2 + 2i och w = 5i
a) Skriv z och w i polär form
b) Bestäm arg(w/z)
c) bestäm exakt absolutbeloppet av |z*w|
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kika gärna på våra genomgångar om polär form och absolutbelopp och konjugat.
Leila
Tack!
Catarina
Hej!
Om man ska beräkna 3i * 3i vad blir det då?
Jag tycker det borde bli 9i upphöjt till 2, men det svarsalternativet finns inte.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, då blir det
$ 3i*3i = 9i^2 = 9*(-1) = -9 $
Viktigt att komma ihåg är att
$ i^2 = -1 $
magdalena
Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa mig med ett tal?
Skriv talet √3+1 på formen re^(iy)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, du kan använda Eulers formel för detta, du hittar en genomgång om detta här.
Endast Premium-användare kan kommentera.