00:00
00:00
KURSER  / 
Fysik 2
/  Harmonisk svängningsrörelse
Harmonisk svängningsrörelse

Periodtid för vikt i vertikal fjäder

Författare:Fredrik Vislander

I den här lektionen ska vi ta fram en formel för periodtiden hos en vikt som utför en periodisk svängningsrörelse i en vertikal fjäder. Vi har i en tidigare lektion sett att viktens position, eller elongation, kan uttryckas med sambandet  y=Asin⁡(ωt)y=A\sin\left(ωt\right)y=Asin(ωt) .

Vi såg i samma lektion att vinkelhastigheten  ωωω, kunde skrivas utifrån fjäderkonstanten kkk och massan mmm hos vikten som  ω=kmω=\sqrt{\frac{k}{m}}ω=√km . Vi vet också sedan tidigare att vinkelhastigheten definieras som ω=2πTω=\frac{2\pi}{T}ω=2πT  . 

Vi sätter dessa uttryck lika med varandra och löser ut periodtiden TTT :

Periodtid för vikt på vertikal fjäder

 km=2πT\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}√km =2πT  

 T=2πmkT=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}T=2π√mk    

Notera att amplituden inte ingår i uttrycket. Det spelar alltså ingen roll för periodtiden hur mycket vi drar vikten från jämviktsläget när vi startar rörelsen. En större amplitud gör så klart att vikten behöver färdas en längre sträcka mellan ytterlägena, men den maximala farten kommer då också att bli större. Detta gör att periodtiden  TTT  är konstant.

Det som däremot kan påverka periodtiden är massan hos vikten och fjäderkonstanten. En större massa ger en längre period, alltså en långsammare rörelse. Det kan vi förstå om vi tänker att en större massa har större tröghet, dvs motstånd mot förändring av rörelsen. En fjäder med större fjäderkonstant ger däremot en snabbare rörelse. Det är också rimligt, en styvare fjäder ger en större återförande kraft.

Exempel 1

En vikt med massan  200200200 g hängs i en fjäder med en fjäderkonstant på 121212 N/m, och sätts i vertikal svängningsrörelse. Vad blir periodtiden?

Lösning:

Vi skriver upp vad vi vet:

 m=0,200 m=0,200\text{ }m=0,200 kg 

 k=12 k=12\text{ }k=12 N/m 

Vi sätter in dessa värden i uttrycket för periodtiden:

 T=2πmk=2π0,20012≈0,811… T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,200}{12}}\approx0,811…\text{ }T=2π√mk =2π√0,20012 ≈0,811…   s

Eftersom vi fått fjäderkonstanten med två värdesiffror ger vi även svaret med två värdesiffror.

Svar: 

Periodtiden är  T=0,81 T=0,81\text{ }T=0,81  s

Exempel 2

En vertikal fjäder belastas med en vikt på 120120120 g. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är 222222 N/m.

a) Vad är svängningens frekvens?

b) Vilken massa ska vikten ha om vi vill att periodtiden ska vara 0,900,900,90 s?

Lösning:

Vi skriver upp vad vi vet:

 m=0,120m=0,120m=0,120 kg 
 k=22 k=22\text{ }k=22 N/m 

a) Vi vet sedan tidigare att frekvens och periodtid är varandras inverser enligt  f=1Tf=\frac{1}{T}ƒ =1T  . Utifrån periodtiden kan vi alltså beräkna frekvensen. Vi använder formeln för periodtid och sätter in våra värden.

 T=2πmk=2π0,12022=0,464…T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,120}{22}}=0,464…T=2π√mk =2π√0,12022 =0,464…  s

Periodtiden är ungefär 0,460,460,46 sekunder.

Vi sätter in detta i sambandet mellan frekvens och periodtid
  f=1T=10,464…=2,154…≈2,2f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,464…}=2,154…\approx2,2ƒ =1T =10,464… =2,154…≈2,2
och får att frekvensen blir  2,22,22,2  Hz.

b)  Nu ska vi ta redan på vilken massa en vikt ska ha för att periodtiden ska bli 0,900,900,90  sekunder.

Vi löser ut massan ur uttrycket för periodtid:

 T=2πT=2\piT=2π mk\sqrt{\frac{m}{k}}√mk    

 T2π=mk\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{m}{k}}T2π =√mk 

 (T2π)2=mk\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=\frac{m}{k}(T2π )2=mk   

 m=km=km=k (T2π)2\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2(T2π )2  

Vi sätter in periodtiden 0,900,900,90  sekunder

 m=22⋅(0,902π)2=0,451…≈0,45 m=22\cdot\left(\frac{0,90}{2\pi}\right)^2=0,451…\approx0,45\text{ }m=22·(0,902π )2=0,451…≈0,45  

och får att massan bör vara ungefär 0,450,450,45 kg, alltså 450450450 gram.

Vi ser att det verkar stämma med att en ökad massa ger en längre periodtid.

Svar: 

a) Frekvensen är  f=2,2 f=2,2\text{ }ƒ =2,2 Hz 
b) Massan är  m=0,45m=0,45m=0,45 kg

Nästa lektion: Energi vid harmonisk svängningsrörelse

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server