Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Fysik 2
/ Harmonisk svängningsrörelse
Periodtid för vikt i vertikal fjäder
I den här lektionen ska vi ta fram en formel för periodtiden hos en vikt som utför en periodisk svängningsrörelse i en vertikal fjäder. Vi har i en tidigare lektion sett att viktens position, eller elongation, kan uttryckas med sambandet $y=A\sin\left(ωt\right)$y=Asin(ωt) .
Vi såg i samma lektion att vinkelhastigheten $ω$ω, kunde skrivas utifrån fjäderkonstanten $k$k och massan $m$m hos vikten som $ω=\sqrt{\frac{k}{m}}$ω=√km . Vi vet också sedan tidigare att vinkelhastigheten definieras som $ω=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT .
Vi sätter dessa uttryck lika med varandra och löser ut periodtiden $T$T :
Periodtid för vikt på vertikal fjäder
$\sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{2\pi}{T}$√km =2πT
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$T=2π√mk
Notera att amplituden inte ingår i uttrycket. Det spelar alltså ingen roll för periodtiden hur mycket vi drar vikten från jämviktsläget när vi startar rörelsen. En större amplitud gör så klart att vikten behöver färdas en längre sträcka mellan ytterlägena, men den maximala farten kommer då också att bli större. Detta gör att periodtiden $T$T är konstant.
Det som däremot kan påverka periodtiden är massan hos vikten och fjäderkonstanten. En större massa ger en längre period, alltså en långsammare rörelse. Det kan vi förstå om vi tänker att en större massa har större tröghet, dvs motstånd mot förändring av rörelsen. En fjäder med större fjäderkonstant ger däremot en snabbare rörelse. Det är också rimligt, en styvare fjäder ger en större återförande kraft.
Exempel 1
En vikt med massan $200$200 g hängs i en fjäder med en fjäderkonstant på $12$12 N/m, och sätts i vertikal svängningsrörelse. Vad blir periodtiden?
Lösning:
Vi skriver upp vad vi vet:
$m=0,200\text{ }$m=0,200 kg
$k=12\text{ }$k=12 N/m
Vi sätter in dessa värden i uttrycket för periodtiden:
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,200}{12}}\approx0,811…\text{ }$T=2π√mk =2π√0,20012 ≈0,811… s
Eftersom vi fått fjäderkonstanten med två värdesiffror ger vi även svaret med två värdesiffror.
Svar:
Periodtiden är $T=0,81\text{ }$T=0,81 s
Exempel 2
En vertikal fjäder belastas med en vikt på $120$120 g. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $22$22 N/m.
a) Vad är svängningens frekvens?
b) Vilken massa ska vikten ha om vi vill att periodtiden ska vara $0,90$0,90 s?
Lösning:
Vi skriver upp vad vi vet:
$m=0,120$m=0,120 kg
$k=22\text{ }$k=22 N/m
a) Vi vet sedan tidigare att frekvens och periodtid är varandras inverser enligt $f=\frac{1}{T}$ƒ =1T . Utifrån periodtiden kan vi alltså beräkna frekvensen. Vi använder formeln för periodtid och sätter in våra värden.
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,120}{22}}=0,464…$T=2π√mk =2π√0,12022 =0,464… s
Periodtiden är ungefär $0,46$0,46 sekunder.
Vi sätter in detta i sambandet mellan frekvens och periodtid
$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,464…}=2,154…\approx2,2$ƒ =1T =10,464… =2,154…≈2,2
och får att frekvensen blir $2,2$2,2 Hz.
b) Nu ska vi ta redan på vilken massa en vikt ska ha för att periodtiden ska bli $0,90$0,90 sekunder.
Vi löser ut massan ur uttrycket för periodtid:
$T=2\pi$T=2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$√mk
$\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{m}{k}}$T2π =√mk
$\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2=\frac{m}{k}$(T2π )2=mk
$m=k$m=k $\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$(T2π )2
Vi sätter in periodtiden $0,90$0,90 sekunder
$m=22\cdot\left(\frac{0,90}{2\pi}\right)^2=0,451…\approx0,45\text{ }$m=22·(0,902π )2=0,451…≈0,45
och får att massan bör vara ungefär $0,45$0,45 kg, alltså $450$450 gram.
Vi ser att det verkar stämma med att en ökad massa ger en längre periodtid.
Svar:
a) Frekvensen är $f=2,2\text{ }$ƒ =2,2 Hz
b) Massan är $m=0,45$m=0,45 kg
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
En vikt som väger $150$150 g hängs i en fjäder med en fjäderkonstant på $8,3$8,3 N/m och sätts i vertikal svängningsrörelse. Vad blir periodtiden?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
En vertikal fjäder belastas med en vikt på $250$250 g. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $18$18 N/m. Beräkna svängningens frekvens.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
3. Premium
En vertikal fjäder belastas med en vikt med massan $m$m. Vikten dras ned en bit och släpps varvid vikten utför en harmonisk svängningsrörelse. Fjäderkonstanten är $14$14 N/m. Vilken massa ska vikten ha om vi vill att periodtiden ska vara $1,0$1,0 s? Svara i kg.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
En vikt med massan $0,175$0,175 kg hängs i en fjäder och sätts i vertikal svängningsrörelse. Grafen nedan visar elongationen som funktion av tiden. Bestäm fjäderns fjäderkonstant.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
c-uppgifter (1)
-
5. Premium
En vikt med massan $400$400 g hängs i en vertikal fjäder. Fjädern sträcks då ut $6,0$6,0 cm och stabiliserar sig i ett nytt jämviktsläge. Vikten dras sedan ned ett par centimeter och släpps varvid vikten börjar utföra en harmonisk svängningsrörelse.
Vad blir svängningstiden (dvs. periodtiden)?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Adam Norberg
Jag är förvirrad.
är 2π /T=√(m/k) samma sak som T/2π=√(m/k)
Sara Petrén Olauson
Hej,
Formeln för periodtiden $T$ vid fjädersvängning brukar skrivas som $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$, vilket kan skrivas om som $\frac{T}{2\pi }=\sqrt{\frac{m}{k}}$. Det första sambandet du skriver är däremot inte korrekt. Hittar du det här på sidan, så säg gärna till var, så att vi kan korrigera.
Däremot kan en likhet skrivas om genom att man inverterar båda sidor (upphöjer båda sidor till $-1$). I detta fall innebär det att $\frac{T}{2\pi }=\sqrt{\frac{m}{k}}$ $\Rightarrow $ $\frac{2\pi }{T}=\sqrt{\frac{k}{m}}$.
Hoppas att det blev tydligare nu!
Endast Premium-användare kan kommentera.