...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Fysik 2
 /   Harmonisk svängningsrörelse

Matematisk beskrivning av harmonisk svängningsrörelse

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Fredrik Vislander
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

I den här lektionen tar vi upp hur man matematiskt kan beskriva harmonisk svängningsrörelse. I videon går vi igenom hur man matematiskt kan härleda funktioner som beskriver position (elongation), hastighet och acceleration hos ett objekt som utför en harmonisk svängningsrörelse. Vi sammanfattar dessa samband nedan:

Elongation (position), hastighet och acceleration:

 $y=Asin\left(\text{ω}t\right)$y=Asin(ωt) 

 $v=y’=\text{ω}Acos\left(\text{ω}t\right)$v=y=ωAcos(ωt) 

 $a=y”=-\text{ω}^2Asin\left(\text{ω}t\right)=-\text{ω}^2y$a=y=ω2Asin(ωt)=ω2y 

Eftersom $-1\le\sin\left(\text{ω}t\right)\le1$1sin(ωt)1  och  $-1\le\cos\left(\text{ω}t\right)\le1$1cos(ωt)1 så får vi även maxvärden för position, hastighet och acceleration som:

 $y_{max}=A$ymax=A 

 $v_{max}=\text{ω}A$vmax=ωA 

 $a_{max}=\left(-\right)\text{ω}^2A$amax=()ω2A 

Vinkelhastighet för massa på vertikal fjäder

 $\text{ω}=\sqrt{\frac{k}{m}}$ω=km  

Exempel

Bosse hänger en liten julstjärna som väger $400$400 g i ena änden på en fjäder. Han sätter sedan julstjärnan i svängning genom att dra ut fjädern en bit och sedan släppa. Han uppskattar avståndet mellan det översta och understa vändläget till $20$20 cm och mäter tiden det tar för stjärnan att utföra en svängning till $1,1$1,1 s.

a) Skriv ett uttryck för elongationen.

b) Hur stor är den maximala hastigheten som julstjärnan får?

c) Hur stor är accelerationen när julstjärnan är mitt emellan jämviktsläget och det övre vändläget?

Lösning

I a-uppgiften så vill vi skriva elongationen som $y=Asin\left(\text{ω}t\right)$y=Asin(ωt). Vi börjar med att lista ut amplituden. Vi kallar avståndet mellan vändlägena för $A_y$Ay. Vi vet ju att amplituden är avståndet mellan jämviktsläget och vändlägena så har vi att amplituden måste vara halva $A_y$Ay, dvs. $A=\frac{A_y}{2}$A=Ay2 .
Vi sätter in värden:

 $A=\frac{0,20}{2}=0,10$A=0,202 =0,10 m.

Nu behöver vi beräkna vinkelhastigheten ω. Vi vet att vinkelhastigheten kan skrivas $\text{ω}=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT . Sätter vi in periodtiden $1,1$1,1 sekunder så får vi att vinkelhastigheten är ungefär $5,7$5,7 radianer per sekund.

Vi kan nu skriva uttrycket för elongationen:

$y=0,10sin\left(\text{5,7}t\right)$y=0,10sin(5,7t).

I b-uppgiften frågas efter i vilket läge i rörelsen som hastigheten är som störst och hur stor den maximala hastigheten är.

Vi har ju sett att den maximala hastigheten har objektet då det passerar jämviktsläget.

Vi tar fram en funktion för hastigheten genom att derivera uttrycket för elongationen. Vi får ju då att $v=\text{ω}A\cos\left(\text{ω}t\right)$v=ωAcos(ωt).

Vi sätter in våra värden och får att:

 $v=5,7\cdot0,10\cdot\cos\left(5,7t\right)$v=5,7·0,10·cos(5,7t) vilket blir $v=0,57\cdot\cos\left(5,7t\right)$v=0,57·cos(5,7t).

Eftersom cosinusfunktionen maximalt kan vara $1$1 så innebär detta att den maximala hastigheten ges av:

$v=0,57\cdot1=0,57$v=0,57·1=0,57 m/s.

I c-uppgiften ska vi beräkna accelerationen i ett visst läge. Det finns flera sätt att lösa detta men till att börja med måste vi ha ett uttryck för accelerationen. Det får vi genom att derivera uttrycket för hastigheten. Vi får då att:

$a=-\text{ω}^2A\sin\left(\text{ω}t\right)$a=ω2Asin(ωt)  $\Rightarrow a\approx-3,2\sin\left(5,7t\right)$a3,2sin(5,7t).

Men vid vilken tidpunkt befinner sig stjärnan vid $y=7,5$y=7,5 cm?

Vi sätter in $y=7,5$y=7,5 cm i uttrycket för elongationen och löser ut tiden:

 $0,075=0,10sin\left(5,7t\right)$0,075=0,10sin(5,7t) vilket ger $sin\left(5,7t\right)=\frac{0,075}{0,10}=0,75$sin(5,7t)=0,0750,10 =0,75.

Tiden får vi sedan som:

 $t=\frac{\sin^{-1}\left(0,75\right)}{5,7}\approx0,15$t=sin1(0,75)5,7 0,15 s

Vi sätter nu in detta värde i uttrycket för accelerationen:

 $a=-3,2\sin\left(5,7\cdot0,15\right)\approx-2,5\text{ }\frac{m}{s^2}$a=3,2sin(5,7·0,15)2,5 ms2  

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En sprattelgubbe hänger i ena änden på en fjäder. Anton drar ner sprattelgubben ett par centimeter och släpper sedan gubben varvid den börjar utföra en harmonisk svängningsrörelse med en periodtid på $1,2$1,2 sekunder. Sprattelgubben väger $100$100 g. Vad är fjäderns fjäderkonstant?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $20$20 cm och en periodtid på $0,8$0,8 s. 

    Vilket av följande uttryck beskriver elongationen?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $10$10 cm och en periodtid på $0,6$0,6 s. 

    Vilket av följande uttryck beskriver viktens hastighet?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
    800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $15$15 cm och en periodtid på $0,8$0,8 s. 

    Vad är den maximala elongationen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $18$18 cm och en periodtid på $1,2$1,2 s. 

    Vad är den maximala hastigheten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $12,0$12,0 cm och en periodtid på  $1,11,10 s. 

    Hur stor är den maximala accelerationen? (Svara med tre värdesiffror och utan eventuella minustecken).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $14$14 cm och en periodtid på  $0,90$0,90  s. 

    Vad är viktens position vid tiden $t=2,2$t=2,2 s? Svara i centimeter med en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $8,0$8,0 cm och en periodtid på $0,92$0,92  s. 

    Hur stor är hastigheten vid tiden $t=3,5$t=3,5 s?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $16$16 cm och en periodtid på $1,3$1,3 s. 

    Hur stor är viktens acceleration vid tidpunkten  $t=4,0$t=4,0 s?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    En vikt på en fjäder utför en harmonisk svängningsrörelse med en amplitud på $3,5$3,5 cm och en periodtid på  $0,7$0,7  s. 

    Skriv uttryck för accelerationen.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Grafen ovan beskriver elongationen i meter hos en vikt på en fjäder som funktion av tiden i sekunder. Beräkna med hjälp av grafen viktens fart vid tiden 3,2 sekunder.

    Bortse från eventuella minustecken och svara med två värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Fullständiga förklaringar
Ett modernt läromedel för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se