Matematisk beskrivning av harmonisk svängningsrörelse

Exempel

Bosse hänger en liten julstjärna som väger $400$400 g i ena änden på en fjäder. Han sätter sedan julstjärnan i svängning genom att dra ut fjädern en bit och sedan släppa. Han uppskattar avståndet mellan det översta och understa vändläget till $20$20 cm och mäter tiden det tar för stjärnan att utföra en svängning till $1,1$1,1 s.

a) Skriv ett uttryck för elongationen.

b) Hur stor är den maximala hastigheten som julstjärnan får?

c) Hur stor är accelerationen när julstjärnan är mitt emellan jämviktsläget och det övre vändläget?

Lösning

I a-uppgiften så vill vi skriva elongationen som $y=Asin\left(\text{ω}t\right)$y=Asin(ωt). Vi börjar med att lista ut amplituden. Vi kallar avståndet mellan vändlägena för $A_y$A_y. Vi vet ju att amplituden är avståndet mellan jämviktsläget och vändlägena så har vi att amplituden måste vara halva $A_y$A_y, dvs. $A=\frac{A_y}{2}$‍A=A_y2 .
Vi sätter in värden:

 $A=\frac{0,20}{2}=0,10$A=0,202 =0,10 m.

Nu behöver vi beräkna vinkelhastigheten ω. Vi vet att vinkelhastigheten kan skrivas $\text{ω}=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT . Sätter vi in periodtiden $1,1$1,1 sekunder så får vi att vinkelhastigheten är ungefär $5,7$5,7 radianer per sekund.

Vi kan nu skriva uttrycket för elongationen:

$y=0,10sin\left(\text{5,7}t\right)$y=0,10sin(5,7t).

I b-uppgiften frågas efter i vilket läge i rörelsen som hastigheten är som störst och hur stor den maximala hastigheten är.

Vi har ju sett att den maximala hastigheten har objektet då det passerar jämviktsläget.

Vi tar fram en funktion för hastigheten genom att derivera uttrycket för elongationen. Vi får ju då att $v=\text{ω}A\cos\left(\text{ω}t\right)$v=ωAcos(ωt).

Vi sätter in våra värden och får att:

 $v=5,7\cdot0,10\cdot\cos\left(5,7t\right)$v=5,7·0,10·cos(5,7t)‍ vilket blir $v=0,57\cdot\cos\left(5,7t\right)$v=0,57·cos(5,7t).

Eftersom cosinusfunktionen maximalt kan vara $1$1 så innebär detta att den maximala hastigheten ges av:

$v=0,57\cdot1=0,57$v=0,57·1=0,57 m/s.

I c-uppgiften ska vi beräkna accelerationen i ett visst läge. Det finns flera sätt att lösa detta men till att börja med måste vi ha ett uttryck för accelerationen. Det får vi genom att derivera uttrycket för hastigheten. Vi får då att:

$a=-\text{ω}^2A\sin\left(\text{ω}t\right)$a=−ω²Asin(ωt)  $\Rightarrow a\approx-3,2\sin\left(5,7t\right)$⇒a≈−3,2sin(5,7t).

Men vid vilken tidpunkt befinner sig stjärnan vid $y=7,5$y=7,5 cm?

Vi sätter in $y=7,5$y=7,5 cm i uttrycket för elongationen och löser ut tiden:

 $0,075=0,10sin\left(5,7t\right)$0,075=0,10sin(5,7t) vilket ger $sin\left(5,7t\right)=\frac{0,075}{0,10}=0,75$sin(5,7t)=0,0750,10 =0,75.

Tiden får vi sedan som:

 $t=\frac{\sin^{-1}\left(0,75\right)}{5,7}\approx0,15$t=sin⁻¹(0,75)5,7 ≈0,15 s

Vi sätter nu in detta värde i uttrycket för accelerationen:

 $a=-3,2\sin\left(5,7\cdot0,15\right)\approx-2,5\text{ }\frac{m}{s^2}$a=−3,2sin(5,7·0,15)≈−2,5 ms²