Rörelse i fält

Vi ska nu titta på rörelse i homogena fält. Vi ska särskilt jämföra rörelse i gravitationsfält med rörelse i elektriska fält. Vi har tidigare i kursen gått igenom kaströrelse i jordens tyngdkraftfält, och studerade då rörelsen som dels fritt fall i  $y$y-led, dels som en rörelse med konstant hastighet i  $x$x-led. Vi kan nu se på dessa rörelser på ett nytt sätt när vi  använder oss av fältmodellen.

Vi börjar med att titta på fritt fall, dvs situationen då en massa släpps medutgångshastigheten  $0$0. Vi ser denna situation illustrerad till vänster i figuren nedan. Rörelsen sker i ett gravitationsfält, och eftersom det sker i närheten av jordytan har vi använt sambandet  $F_g=mg$F_g=mg  för att beskriva hur tyngdkraften påverkar objektet. Vi vet nu att vi kan tolka tyngdaccelerationen  $g$g  som gravitationsfältets styrka. 

Eftersom massan påverkas av en resulterande kraft (i detta fall tyngdkraften) säger Newtons andra lag att den kommer accelereras enligt $a=\frac{F_g}{m}$a=F_gm .  Om vi släpper ett objekt ovanför markytan kommer det att falla med en ökande hastighet mot marken, dvs en accelererad rörelse. Vi noterar nu också att accelerationens storlek är just tyngdaccelerationen $g$g.

Vi tittar nu på ett homogent elektriskt fält, dvs ett fält mellan två laddade plattor, med den positiva plattan överst. Detta är illustrerat till höger i figuren ovan. Om vi placerar en liten positiv testladdning  $q$q  i fältet kommer den att påverkas av en elektrisk kraft  $F_e=qE$F_e=qE  med riktning nedåt.

Vad blir accelerationen för laddningen? I detta fall är den resulterande kraften en elektrisk kraft på laddningen, alltså  $F_e=qE$F_e=qE. Enligt Newtons andra lag gäller: $F_e=m\cdot a$F_e=m·a  Vi kan då skriva accelerationen i det elektriska fältet som:
 $a=$a=  $\frac{F_e}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{eU}{md}$F_em =qEm =eUmd  

Elektriska fält kan alltså användas för att accelerera elektriska laddningar!

Om vi placerar den positiva elementarladdningen vid den positiva plattan får vi en situation som är mycket lik den vid fritt fall i tyngdkraftfältet. Laddningen kommer precis som massan att accelerera ”nedåt”, dvs mot den negativa plattan.

När vi arbetat med fritt fall tidigare har vi även tittat på rörelsen ur ett energiperspektiv. Föremålet har då en potentiell energi (lägesenergi) pga sitt höjdläge i tyngdkraftfältet:  $E_p=mgh$E_p=mgh, där  $h$h  är höjden från nollnivån, vilket är markytan i det här fallet. När föremålet sedan släpps kommer det att accelereras och därmed succesivt omvandla den potentiella energin till rörelseenergi:  $E_k=\frac{mv^2}{2}$E_k=mv²2 . Enligt energiprincipen kan ingen energi försvinna, utan den potentiella energin som fanns från början måste motsvara den rörelseenergi som föremålet har precis när det når nollnivån. Vi kan ställa upp $mgh=\frac{mv^2}{2}$mgh=mv²2 . Ur detta samband kan vi t ex lösa ut hastigheten som objektet har efter att fallit sträckan $h$h: $v=\sqrt{2gh}$v=√2gh

Den potentiella energin  $E_p=mg\cdot h$E_p=mg·h, kan ses som det arbete som krävs för att lyfta objektet med massan   $m$m  en sträcka  $h$h  mot tyngdkraftens riktning. Vi vet att arbete ges av $W=F\cdot s$W=F·s  (där $s$s är sträckan) eller omskrivet för den här situationen: $W=F_g\cdot h=mg\cdot h$W=F_g·h=mg·h. 

På samma sätt kan vi prata om den potentiella energi som en laddning har då vi lyfter den mot den elektriska kraftens riktning i fältet mellan två laddade plattor:  $W=F_e\cdot d=qE\cdot d$W=F_e·d=qE·d,  där  $d$d  är avståndet mellan plattorna.

Vi ser återigen hur lika situationerna med homogena gravitationsfält och homogena elektriska fält är varandra. Vi ska dock komma ihåg att en viktig skillnad är att kraften som laddningar påverkas av kan vara både attraherande och repellerande. 

Sambandet mellan potentiell och kinetisk energi för den här situationen är:  $qEd=\frac{mv^2}{2}$qEd=mv²2   Men vi vet också från Fysik 1 att vi kan uttrycka spänningen mellan två laddade plattor som  $U=Ed$U=Ed, vilket gör att sambandet kan skrivas $qU=\frac{mv^2}{2}$qU=mv²2 . Löser vi ut hastigheten ur detta får vi:  $v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$v=√2qUm   Notera att detta är hastigheten då laddningen når den negativa plattan.

Vi ska nu se om vi kan hitta likheter mellan horisontella kast i homogena gravitationsfält och det som händer då en elektrisk laddning kommer in i ett elektriskt fält med en horisontell starthastighet.

Horisontella kast är kaströrelser där objektet endast har en starthastighet i horisontell riktning ($x$x-led). Observera att det fortfarande bara är en enda kraft som verkar på objektet under rörelsen, och det är tyngdkraften som hela tiden är riktad rakt nedåt ($y$y-led). Detta resulterar i att objektet färdas i en kastbana, vilket illustreras till vänster i figuren nedan. Hastigheten i $x$x-led är hela tiden konstant, eftersom inga krafter verkar i den riktningen, medan hastigheten i $y$y-led ökar pga att tyngdkraften accelererar objektet nedåt. Detta gör att vi behöver komposantuppdela rörelsen i $x$x– och $y$y-led när vi arbetar med situationer av den här typen.

Vi tittar nu på ett homogent elektriskt fält (till höger i figuren ovan) där vi har en positiv elementarladdning, som kommer in vinkelrätt mot fältlinjerna. Denna situation liknar den vi nyss tittade på med objektet i gravitationsfältet: Laddningen har en horisontell utgångshastighet, som är konstant, och medan den befinner sig i fältet verkar en kraft rakt nedåt i figuren och accelererar laddningen mot den negativa plattan. Laddningen kommer därför, precis som objektet, att röra sig i en kastbana i det elektriska fältet.

Vi kan skriva den elektriska fältstyrkan utifrån spänningen, $E=\frac{U}{d}$E=Ud  , och då även ange den elektriska kraften på laddningen utifrån spänningen mellan plattorna,  $F_e=qE=\frac{qU}{d}$F_e=qE=qUd  . Eftersom vi kan styra spänningen kan vi, till skillnad från tyngdkraften, styra kraften på laddningen som befinner sig i fältet, och därmed styra laddningens rörelse.