Rörelse i fält

Exempel 1

Vi har ett homogent elektriskt fält enligt figuren. Mellan plattorna finns spänningen  $1,0$1,0  kV. En proton släpps vid den positiva plattan. Vilken hastighet har den då den träffar den negativa plattan?

Lösning

Laddningen kommer att påverkas av en elektrisk kraft riktad mot den negativa plattan, och kommer därför att accelereras nedåt i figuren.

Sambandet mellan potentiell och kinetisk energi i den här situationen är:
 $qEd=$qEd= $\frac{mv^2}{2}$mv²2  

Spänningen mellan två laddade plattor är:
 $U=Ed$U=Ed

Vi sätter ihop dessa två samband och löser sedan ut hastigheten:
 $qU=$qU= $\frac{mv^2}{2}$mv²2  
 $v=$v= $\sqrt{\frac{2qU}{m}}$√2qUm  

Vi sätter in värden och beräknar  $v$v:

 $v=$v= $\sqrt{\frac{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot1,0\cdot10^3}{1,67\cdot10^{-27}}}$√2·1,602·10⁻¹⁹·1,0·10³1,67·10⁻²⁷  $=4,38…\cdot10^5$=4,38…·10⁵  m/s 

Svar: Protonens hastighet är  $4,4\cdot10^5$4,4·10⁵  m/s när den når den negativa plattan.

Exempel 2

En proton kommer in i ett elektriskt fält mellan två horisontella plattor med hastigheten  $v_x=1,5\cdot10^6$v_x=1,5·10⁶  m/s vinkelrät mot fältlinjerna. Avståndet mellan plattorna är  $5,0$5,0  cm och fältet är $7,0$7,0 cm långt. Över plattorna ligger spänningen  $30$30 V.

a) Hur stor är laddningens hastighet då den lämnar fältet?

b) Hur mycket avlänkas protonen i  $y$y-led?

c) Hur stor är avlänkningsvinkeln?

Lösning

a)

Det första vi behöver inse är att i likhet med fallet med horisontella kast verkar en konstant elektrisk kraft på laddningen i  $y$y-led, dvs nedåt i figuren nedan. Vi ser att hastigheten kommer vara riktad snett nedåt höger då laddningen lämnar fältet. Vi behöver komposantuppdela hastigheten i en vertikal och en horisontell komposant:

Den horisontella hastigheten  $v_x$v_x  är konstant, och vi kan därför använda formeln för konstant hastighet för att beräkna tiden som laddningen befinner sig i fältet:

 $v=$v= $\frac{\bigtriangleup s}{\bigtriangleup t}$△s△t 

 $\bigtriangleup t=$△t= $\frac{\bigtriangleup s}{v}=\frac{L}{v_x}=\frac{0,070}{1,5\cdot10^6}=$△sv =Lv_x =0,0701,5·10⁶ = $4,66…\cdot10^{-8}$4,66…·10⁻⁸  s

I  $y$y-led har laddningen accelererat från utgångshastigheten  $0$0  till hastigheten $v_y$v_y. Den kan vi beräkna med hastighetsformeln för likformigt accelererad rörelse,  $v_y=v_{0y}+a_yt$v_y=v_0y+a_yt. Men vad är accelerationen i  $y$y-led? Jo, den tog vi ju fram tidigare: $a_y=\frac{qU}{md}$a_y=qUmd  

Vi sätter in värden och beräknar  $v_y$v_y:

 $v_y=v_{0y}+a_yt$v_y=v_0y+a_yt 

 $v_y=0+$v_y=0+ $\frac{qU}{md}\cdot t=\frac{1,602\cdot10^{-19}\cdot30}{1,67\cdot10^{-27}\cdot0,050}$qUmd ·t=1,602·10⁻¹⁹·301,67·10⁻²⁷·0,050  $\cdot4,66…\cdot10^{-8}=2685,\text{ }…$·4,66…·10⁻⁸=2685, …   m/s

Nu har vi båda hastighetskomposanterna $v_x$v_x och $v_y$v_y och kan använda Pythagoras sats för att beräkna hastigheten $v$v:

 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\left(1,5\cdot10^6\right)^2+\left(2685,\text{ }…\right)^2}=1,50…\cdot10^6$v=√v_x²+v_y²=√(1,5·10⁶)²+(2685, …)²=1,50…·10⁶  m/s

Svar: Laddningens hastighet då den lämnar fältet är  $1,5$1,5  Mm/s.

b)

Nu ska vi beräkna hur långt från horisontalplanet som protonen har rört sig. Det är helt enkelt sträckan som den rört sig i  $y$y-led och som vi betecknat  $y$y  i figuren.

I  $y$y-led kan vi använda sträckformeln för likformigt accelererad rörelse. Vi vet att starthastigheten i  $y$y-led är  $0$0, och att accelerationen i  $y$y-led ges av $a_y=\frac{eU}{md}$a_y=eUmd  . Vi sätter in värden och beräknar  $y$y:

 $y=v_{0y}t+$y=v_0yt+ $\frac{a_yt^2}{2}$a_yt²2  

 $y=0+$y=0+ $\frac{eUt^2}{2md}=\frac{1,602\cdot10^{-19}\cdot30\cdot\left(4,66…\cdot10^{-8}\right)^2}{2\cdot1,67\cdot10^{-27}\cdot0,050}=$eUt²2md =1,602·10⁻¹⁹·30·(4,66…·10⁻⁸)²2·1,67·10⁻²⁷·0,050 =  $6,26…\cdot10^{-5}$6,26…·10⁻⁵  m

Svar: Avlänkningen i $y$y-led är  $6,3\cdot10^{-5}$6,3·10⁻⁵  m.

c)

Här ska vi istället beräkna avlänkningsvinkeln relativt horisontalplanet, dvs vinkeln  $\theta$θ  i komposantuppdelningen av hastigheten.

Vi använder trigonometri och får att:

 $\theta=\tan^{-1}$θ=tan⁻¹ $\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=$(v_yv_x )= $\tan^{-1}$tan⁻¹ $\left(\frac{2685,\text{ }…}{1,5\cdot10^6}\right)$(2685, …1,5·10⁶ ) $=0,102…^{\circ}$=0,102…^∘ 

Svar: Avlänkningsvinkeln är  $0,1^{\circ}$0,1^∘.