Sannolikheter i flera steg

Exempel 1

Ange sannolikheten för att slå tre ettor i följd när du kastar en tärning.

Lösning

När man skriver en tärning menar man underförstått att det är en helt vanlig tärning och den har sex unika sidor. Det innebär att sannolikheten för att få den sida med en prick att hamna uppåt, vilket innebär att slå en etta, är $\frac{1}{6}$16 .

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att denna händelse ska upprepa sig tre gånger i följd, genom att multiplicera sannolikheten för vart kast med varandra. Vi får

$ P( \text{Tre ettor} ) =$ $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$16 ·16 ·16 =1216  

Exempel 2

Du kastar en tärning och får en sexa! Du kastar igen och undrar: ”Har min chans minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en sexa förra kastet?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ C stämmer bäst. Kommande kast med en tärning påverkas inte av tidigare kast och händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa}  är därför en oberoende händelse.

Exempel 3

Du tar en godis ur din godis påse som bara innehåller två hallonbåtar och tio lakritsbåtar. Du får en lakrisbåt! Du tar en till och undrar: ”Har min chans att få en lakritsbåt till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en lakritsbåt förra gången?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ A stämmer bäst. Vilken godis du redan har tagit ur påsen kommer att påverka vilka godisar som finns kvar i påsen. Och då du tidigare fick en lakritsbåt, finns det en mindre andel lakritsbåtar kvar i påsen, vilken minskar sannolikheten att du får en sådan. Därför händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

Exempel 4

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är $20\text{ }\%$20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn) är  $P\left(\text{Inte regn}\right)$P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina. De kan lika gärna vara molnigt. Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att  det inte regnar.

b) Då sannolikheten för  $P\left(\text{Regn}\right)=0,2$P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet

 $1-0,2=0,8$1−0,2=0,8 

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till $80\text{ }\%$80 %.

Exempel 5

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor. Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete. Händelsen ”Få en vit socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. 

Vi får då att

 $P\left(\text{Få en vit socka}\right)=$P(Få en vit socka)=$\frac{10}{19}$1019  

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med $1$1 får vi att

 $1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }$1−P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)  

vilket ger oss sannolikheten

 $1-$1− $\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx$1019 =1919 −1019 =919 ≈ $0,47$0,47  

Detta motsvarar ca $47\text{ }\%$47 % chans att få en blå eller röd socka.