...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Sannolikheter i flera steg

Sannolikheter i flera steg

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Här lär du dig att beräkna sannolikheter i flera steg och multiplikationsprincipen för sådana sannolikheter.

Så fungerar sannolikheter i flera steg

En sannolikhet i flera steg kan sägas vara en sannolikhet där flera saker skall ske i följd, t.ex. att du slår tre ettor i följd när du kastar tärning eller missar bussen två gånger i rad. Då använder man den så kallade Multiplikationsprincipen för att beräkna den totala sannolikheten för att alla gynnsamma händelser ska inträffa i följd.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för en första händelse är $P(A)$ och följande händelse är $P(B)$ så är sannolikheten för att de bägge sker i följd $P(A)\cdot P(B) $. 

Vi kan utöka till ännu fler önskade händelser i följd, genom att multiplicera var händelses sannolikhet med varandra.

Exempel 1

Ange sannolikheten för att slå tre ettor i följd när du kastar en tärning.

Lösning

När man skriver en tärning menar man underförstått att det är en helt vanlig tärning och den har sex unika sidor. Det innebär att sannolikheten för att få den sida med en prick att hamna uppåt, vilket innebär att slå en etta, är $\frac{1}{6}$16 .

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att denna händelse ska upprepa sig tre gånger i följd, genom att multiplicera sannolikheten för vart kast med varandra. Vi får

$ P( \text{Tre ettor} ) =$ $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}$16 ·16 ·16 =1216  

Det kan även vara bra att veta att sannolikheten i ett sådant här exempel inte påverkas om man kastar tre tärningar samtidigt eller samma tärning tre gånger efter vartannat. Detta efter som att varje kast med tärningen är helt oberoende av det föregående kastet. Resultatet på tärningskastet är obundet till tiden.

Däremot finns det tillfällen då händelsens tidpunkt påverkar sannolikheten av utfallet.

Oberoende händelser

Man kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Och precis som det låter så är varje utfall till en oberoende händelser inte beroende av tidigare utfall. Vanliga exempel på detta är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. Dessa händelser är oberoende.

Exempel 2

Du kastar en tärning och får en sexa! Du kastar igen och undrar: ”Har min chans minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en sexa förra kastet?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ C stämmer bäst. Kommande kast med en tärning påverkas inte av tidigare kast och händelsen $H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}$H={Få en sexa}  är därför en oberoende händelse.

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse där utfallet påverkas av en andra händelser. Vanlig exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Utfallet på nästa händelse, ex ta en godis ur påsen, kommer att påverkas av vilka godisar du redan tagit från påsen och därmed påverka sannolikheten att du får just den bit du hoppats på.

Exempel 3

Du tar en godis ur din godis påse som bara innehåller två hallonbåtar och tio lakritsbåtar. Du får en lakrisbåt! Du tar en till och undrar: ”Har min chans att få en lakritsbåt till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en lakritsbåt förra gången?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ A stämmer bäst. Vilken godis du redan har tagit ur påsen kommer att påverka vilka godisar som finns kvar i påsen. Och då du tidigare fick en lakritsbåt, finns det en mindre andel lakritsbåtar kvar i påsen, vilken minskar sannolikheten att du får en sådan. Därför händelsen $H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}$H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

Komplementhändelse

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Summan av en händelses sannolikhet och dess komplementhändelses sannolikhet är alltid $1$1.

Komplementhändelse

Om  $A^c$Ac är komplementhändelse till händelse $A$A gäller att

 $P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(Ac)=1 

Med hjälp av komplementhändelsen kan beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera $1$1 med komplementhändelsen.

Exempel 4

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är $20\text{ }\%$20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till $P\left(\text{Regn}\right)$P(Regn) är  $P\left(\text{Inte regn}\right)$P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina. De kan lika gärna vara molnigt. Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att  det inte regnar.

b) Då sannolikheten för  $P\left(\text{Regn}\right)=0,2$P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet

 $1-0,2=0,8$10,2=0,8 

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till $80\text{ }\%$80 %.

Om uppgiften kräver att du behöver beräkna flera olika sannolikheter för att hitta ditt svar kan det ibland vara mer effektivt att beräkna komplementhändelsen.

Exempel 5

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor. Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete. Händelsen ”Få en vit socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. 

Vi får då att

 $P\left(\text{Få en vit socka}\right)=$P(Få en vit socka)=$\frac{10}{19}$1019  

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med $1$1 får vi att

 $1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }$1P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)  

vilket ger oss sannolikheten

 $1-$1 $\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx$1019 =1919 1019 =919  $0,47$0,47  

Detta motsvarar ca $47\text{ }\%$47 % chans att få en blå eller röd socka.

De finns tillfällen då komplementhändelsen är bra mycket lättare att beräkna än händelsen i sig och man på så vis kan spara en massa tid och räknearbete genom att utnyttja detta. Vi tittar med på det i lektionen Träddiagram.

Exempel i videon

  • Vad är sannolikheten att dra två damer på raken ur en kortlek med 52 kort?
  • Pelle skall kasta tre tärningskast i följd. Vad är sannolikheten att han först får en femma, sedan en fyra och sist en sexa?
  • Du kastar en tärning tre gånger i följd, vad är sannolikheten att du får minst en tvåa?

Kommentarer

Vivian Jordan

Om exemplet med tärningar. Vi vill ha minst ett tvåa. Alltså vi vill INTE ha någon 1. Därför förstår jag inte motsats exemplet, när det stor 5/6, för att det skulle betyda att en etta vore också en önskad resultat. Har jag missförstått någonting?

    Vivian Jordan

    Hah. Gick till reddit r/learnmath och började skriva ut mitt undrande på engelska och fattade direkt varför jag hade förstått fel. 😀

Daniel Manassis

Kastar 3 tärningar?? Ni menar väl att man kastar 1 tärning 3 gånger?? Blev en stund av total förvirring innan jag kollade vidare på videon:/

Fredrik Hellberg

Hej kompis!

En bra grej att tänka på är att i första exemplet så kan man nämna att många gånger är det lättare att förkorta före multiplikation. (detta fallet så gör det ingen större skillnad kanske, men många gånger är det lättare att hantera och man får dessutom bättre översikt.)

Så istället för 4/52*3/51 så kan man skriva 1/13*1/17 = 1/221 (vilket gör det mer överskådligt att det faktiskt handlar om ca. en halv procent och man kommer därför med största säkerhet kunna välja sitt svar på ett högskoleprov.)

Mvh Fredrik

Abdi Odawaa

hej!
Den andra exampele har ni svaret fell tror jag. 0,0046 är inte= 46% utan det e ju 4,6%

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det står $0,46\,\%$ som svar där då $ 0,0046·100=0,46 $.
    Det skall alltså vara korrekt.

Johanna Olofsson

Hej!
Måste säga att frågan om yatsy är jäkligt dryg för någon som aldrig spelat spelet förut och därför inte ens har den blekaste om hur många tärningar etc…
har nu suttit i 15 min och googlat spelregler istället för att lösa talet.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det låter ju inte bra att du fastnade på grund av en sådan sak. Jag har formulerat om uppgiften så att inga Yatzykunskaper skall krävas.
    Tack för att du påpekade detta så att ingen annan fastnar på ett liknande sätt!

mattias.ram

Hej i ett av exemplen gör du den här uppställningen för att visa sannolikheten för att få olika tärningsslag:

p (5-> 4-> 6->)

Vad betyder ex de olika > och minustecknet i denna uppställning?

Tack för en underbar sida!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är ingen matematisk betydelse i det här fallet utan bara ett sätt att beskriva att först få en 5:a sedan en 4:a och slutligen en 6:a. Skall fundera på om inte det behöver förtydligas i denna video. Det är inte bra om det missuppfattas.

BotenAnnie

hur ska man hinna rita upp allt det här på 30 sek som man har på sig att räkna ut ett tal på högskoleprovet?

BotenAnnie

ska man på hp provet kunna räkna 12/2652 i huvet ?! måste man vara Rainman för att bevisa att man klara att plugga på högskola? ref till videon om sannolikhet
mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej på HP är det sällan så att man behöver räkna ut krångliga beräkningar i huvudet. Många genomgångar på matematiken här tar också upp andra typ av tal än just sådana uppgifter som kommer på hp och då förutsätts ofta att man har en räknare.

Joelas

Hej vad mig beträffar är det fel i facit på uppgift nr.2 men lösningens facit är korrekt.

Mitt svar: 99,75%
”Rätt svar” : 95%

Förklaringen är däremot korrekt med rätt svar…

Förklaring
Sannolikheten är 120•120=0,0025=0,25
För att slå två ettor på raken, så sannolikheten för att falla ner är 100 – 0,25 = 99,75%.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, uppgiften är korrigerad, tack för att du uppmärksammade detta.

Annsowsen

Bör inte sannolikheten att få minst en tvåa vara 5/6?
Och därmed att få minst en tvåa på tre tärningar vara (5/6)^3?

    Annsowsen

    Haha, jag tar tillbaka det där. Insåg nu att det som beräknades var att få en två på minst en tärning, och inte att få minst en tvåa eller mer på varje tärning.

    Mvh Anna

knut1941olav

Varför är p(tretreor=1/3*1/3*1/3 och inte 1/6*1/6*1/6?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för påpekandet, nej det skall förstås vara 1/6. Det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Nisse spelar Yatzy och ska kasta fem tärningar. Han har kastat fyra av dessa och har fått $4$4 stycken ettor.
    Nu vill han självklart ha en femte etta så att han får Yatzy.

    Hur stor chans har han att få en etta?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Vad är komplementhändelsen till händelsen  $P\text{ (En etta)}$P (En etta) om du kastar en vanlig tärning? 

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M


    Kurt uppskattar att sannolikheten för att det ska vara soligt en dag i juli är $0,65$0,65. Om det är soligt säger han att sannolikheten att det är sol även nästa dag ökar till $0,72$0,72.

    Hur stor chans är det att det är soligt två dagar i rad i juli, enligt Kurt?
    Ange svaret i procent med en decimal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Sannolikheten för händelse A är P(A)$=0,35$=0,35 

    Vilken händelse skulle kunna vara en komplementhändelse till A?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Beräkna sannolikheten för att Mia hinner med bussen om
    P(Mia missar bussen) $=0,27$=0,27.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M

    Du är på tivoli och bestämmer dig för att spela två gånger på chokladhjulet. Hjulet är numrerat från $1$1 till $32$32 och vinster delas ut på nr $1,\text{ }8,\text{ }16\text{ och }24$1, 8, 16 och 24 .

    Hur stor är chansen att du vinner båda gångerna du spelar?
    Ange svaret i procent med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Du tar en godis ur din godis påse som bara innehåller fyra chokladbitar och sex polkagrisar. Du får en polkagris!

    Du tar en till och undrar: ”Har min chans att få en polkagris till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en polkagris förra gången?”

    Vilket påstående stämmer bäst?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M

    Sannolikheten att skjuta ett straffmål på Thomas Ravelli, som var fotbollsmålvakt i svenska landslaget, brukade sägas vara $60\%$60%.

    Vad är sannolikheten att skjuta tre mål i följd på honom?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R 1
    K
    M

    Georg spelar rollspel med sina kompisar och skall slå ett färdighetsslag för ett uppdrag. Om han slår en $1:\text{a}$1:a på en $20$20-sidig tärning två gånger i rad, betyder det att han klarar av att balansera över en bottenlös avgrund på en smal spång.

    Hur stor är sannolikheten att Georg ramlar ner i avgrunden?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M

    Vad är sannolikheten att du drar två ess i rad om du drar två kort slumpvis ur en kortlek?

    Det finns $52$52 kort i leken varav fyra stycket är ess.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    Just den dag som Piff och Puff ska köpa ett överaskningsägg med en leksak i, råkar sannolikheten för att få en blå bil i överraskningsägget vara $4\%$4%. Sannolikheten för en grön bil är $\text{P(grön bil)}=$P(grön bil)=$\frac{11}{25}$1125  och en rosa $\text{P(rosa bil)}=$P(rosa bil)=$\frac{10}{25}$1025     

    Piff påstår att komplementhändelsen till $\text{P(en blå bil)}$P(en blå bil), när man köper ett ägg, är $\text{P(en grön eller en rosa bil)}$P(en grön eller en rosa bil). Puff säger att det inte stämmer.

    Vad tror du?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Visa detaljerad matris Redigera övning
Tid kvar
00:00
Totalpoäng
0/0
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
E C A
Totalt
Dina svar lämnas in automatiskt.