00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Aritmetik, polynom och rationella Uttryck

Tredjegradsekvationer

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är en tredjegradsekvation?

En ekvation, där största exponent för variabeltermerna är talet tre, kallas för en tredjegradsekvation. Den tillhör polynomekvationerna och är, som avslöjas av namnet, av graden tre.

Tredjegradsekvationen i allmän form

 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 

där  aaa , bbb , ccc  och ddd alla är konstanter.

Så ser du en ekvation, där x3x^3x3 finns med och ingen variabelterm med ett större tal i exponenten, så är det helt enkelt en tredjegradsekvation.

Lösningar, dubbel- och trippelrötter

En tredjegradsekvation har tre lösningar. Men lösningarna kan sammanfalla, alltså vara identiska, vilket gör att de ser ut som bara en eller två lösningar. De kallas då för en trippel- eller dubbelrot.

tredjegradsekvationens grafiska lösningsalternativ

Viktigt att observera är följande. Det som ser ut att vara en trippelrot grafiskt, kan vara en tredjegradsekvation där en av rötterna är reell och de andra två komplexa. Om ekvationen endast har reella koefficienter är alltid antingen en av lösningarna, eller rötterna som de också kallas, eller alla tre reella lösningar. Vi kan alltså inte ha två reella och en komplex lösning. Ekvationen har då i stället en dubbelrot, alltså reella rötter där två av dem sammanfaller.

Metoder för att lösa tredjegradsekvationer

Det finns tyvärr ingen enkel formel för att lösa tredjegradsekvationer.

Men ofta kan man genom att först faktorisera och sedan använda lösningsmetoder för andragradsekvationen ganska enkelt hitta lösningen ändå.

Exempel 1

Lös ekvationen  x34x25x=0x^3-4x^2-5x=0x34x25x=0 

Lösning

Vi har en tredjegradsekvation med tredjegradsterm, andragradsterm och en förstagradsterm , men ingen konstantterm. Vi löser den genom att först faktorisera och sedan lösa med en kombination av nollproduktmetoden och PQ.

 x34x25x=0x^3-4x^2-5x=0x34x25x=0        Bryt ut xxx 

 x(x24x5)=0x(x^2-4x-5)=0x(x24x5)=0 

Den första lösningen ges av nollproduktmetoden och är x1=0x_1=0x1=0 

Vi använder pq-formeln för att ta reda på lösningarna som ges från parentesen genom att sätt den lika med noll.

 x24x5=0x^2-4x-5=0x24x5=0 

 x=2±4+5x=2\pm\sqrt{4+5}x=2±4+5 

 x=2±9x=2\pm\sqrt{9}x=2±9 

 x=2±3x=2\pm3x=2±3 

{x2=5 x3=1  \begin{cases} x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases}

Det tre lösningarna är

{x1=0 x2=5 x3=1  \begin{cases} x_1=0 \\ x_2 =5 \\  x_3 = -1  \end{cases}

Exempel 2

Lös ekvationen  2x3+16=02x^3+16=02x3+16=0   

Lösning

Då ekvationen bara har en tredjegradsterm och konstantterm använder vi rotmetoden.

 4x3+32=04x^3+32=04x3+32=0    Dividerar båda leden med 444 

 x3+8=0x^3+8=0x3+8=0    Subtraherar båda leden med 888 

 x3=8x^3=-8x3=8    Dra tredjeroten ur båda leden

{x1=2x2=2 x3=2  \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =-2 \\  x_3 = -2  \end{cases}

Denna ekvation har en reell trippelrot. Alltså alla tre lösningarna på ekvationen är  x=2x=-2x=2 . 

Man skulle även kunna lösa denna ekvation med två komplexa rötter  x=1±i3x=1\pm i\sqrt{3}x=1±i3.

{x1=2x2=1+i3 x3=1i3  \begin{cases} x_1=-2 \\ x_2 =1+i\sqrt3 \\  x_3 =1-i\sqrt3  \end{cases}

I faktorform skulle den i så fall skrivas som (x+2)(x+(1i3))(x(1i3))=0\left(x+2\right)\left(x+\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)=0(x+2)(x+(1i3))(x(1i3))=0 Men det behöver vi inte tänka på så mycket i denna kurs.

Exempel 3

Lös ekvationen  (x+1)x2(x+1)4=0\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0(x+1)x2(x+1)4=0   

Lösning

Vi börjar med att faktorisera VL.

  (x+1)x2(x+1)4=0\left(x+1\right)x^2-\left(x+1\right)4=0(x+1)x2(x+1)4=0        Bryt ut  (x+1)\left(x+1\right)(x+1) 

 (x+1)(x24)=0\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)=0(x+1)(x24)=0    

Med nollprodukt- och kvadratrotsmetoden kan vi nu ta fram lösningarna.

Den första faktorn ger att  x=1x=-1x=1  är en lösning eftersom att

 (x+1)=0\left(x+1\right)=0(x+1)=0           Subtrahera båda leden med 111 

 x=1x=-1x=1 

Den andra faktorn ger att  x=±2x=\pm2x=±2 eftersom att

  x24=0x^2-4=0x24=0         Addera båda leden med 444 

 x2=4x^2=4x2=4               Dra roten ut båda leden 

 x=±2x=\pm2x=±2 

Vi får rötterna

{x1=1x2=2 x3=2  \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2 =2 \\  x_3 = -2  \end{cases}

Metoder för att lösa andragradsekvationer

Vi repeterar här kort de olika metoderna för att lösa en andragradsekvation.

PQ-formeln

En andragradsekvation med andragradsterm, förstagradsterm och en konstantterm, måste lösas med lösningsformeln. För

 x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0     

där ppp är förstagradstermens koefficient och qqq motsvarar konstanttermen, gäller att

 x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}x1,2=p2 ±(p2 )2q 

Nollproduktsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och förstagradsterm, men ingen konstantterm, kan lösas med nollproduktmetoden.

Antar en av faktorerna värdet noll, blir hela produktens resultat noll.

Andragradsekvationen som i faktorform skrivs

 (xa)(xb)=0\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0(xa)(xb)=0 

har lösningarna {x1=ax2=b \begin{cases} x_1=a\\ x_2 =b\end{cases}

Kvadratrotsmetoden

En andragradsekvation med andragradsterm och konstantterm, men ingen förstagradsterm, kan lösas med kvadratrotsmetoden.

 x2a=0x^2-a=0x2a=0 

har lösningarna {x1=ax2=a \begin{cases} x_1=\sqrt a\\ x_2 =-\sqrt a\end{cases}

Grafisk lösning

Läs av ekvationens nollställen.

Andragradsekvationens grafiska lösningar

Exempel i videon

  • Lös ekvationen x3=27 x^3 = 27 .
  • Lös ekvationen x3+x2=0 x^3+x^2=0.
  • Lös ekvationen x38x2+7x=0 x^3-8x^2+7x=0 .
  • Lös ekvationen x38x2+7x=0 x^3-8x^2+7x=0 grafiskt.