Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Fysik 2
/ Induktion
Växelspänning och växelström
OBS! LEKTIONEN ÄR UNDER UPPBYGGNAD!
I den här lektionen ska vi titta på växelströmsgeneratorn. Växelströmsgeneratorn anses av många vara en av de viktigaste uppfinningar som gjorts och den spelar en stor roll i vår civilisations tekniska utveckling. Det som gör växelströmsgeneratorn så användbar är att den kan omvandla mekanisk energi till elektrisk energi. En stor fördel med att ha energin i form av elektrisk energi är att den relativt lätt går att transportera i elektriska ledningar. Mekanisk energi är oftast mycket lokal, dvs. det är svårt att använda den på längre avstånd från där den genereras. Men mer om detta senare. Först ska vi titta på hur den elektriska växelströmsgeneratorn fungerar.
När vi tittat på strömmar och spänningar tidigare så har de hela tiden haft samma riktning och även samma värde under längre perioder. Denna typ av ström och spänning kallas likström och likspänning. Men som begreppen växelström och växelspänning antyder så kan man också producera strömmar och spänningar som varierar i riktning och värde. Ofta varierar de också periodiskt vilket gör att det vi tidigare lärt oss om periodisk svängningsrörelse kommer att komma till nytta. Vi behöver även minnas begreppet magnetiskt flöde från förra lektionen.
Vi tänker oss att vi har en elektrisk slinga som är placerad i ett homogent magnetfält enligt bilden. Magnetfältet B är riktat nedåt. Vi ser även att slingans ändar är kopplade till varsin kontakt som i sin tur är kopplade till den positiva och negativa polen på en voltmeter. Om det genereras en spänning mellan polerna så kommer den att ge utslag.
Eftersom magnetiskt flöde är definierat som produkten av den magnetiska flödestätheten B och arean som flödet passerar A, så innebär det ju att då slingan ligger helt horisontellt, dvs. är vriden $0\text{°}$0°, så är ju arean som slingan bildar relativt de magnetiska flödeslinjerna som störst, och maximalt med flödeslinjer passerar genom slingas area vilket innebär det magnetiska flödet då är maximalt.
Men om vi skulle rotera slingan lite som på bilden så inser vi att ju större vinkel φ vi vrider slingan, desto mindre blir arean relativt magnetfältet, dvs. färre och färre flödeslinjer passerar slingan. Det magnetiska flödet minskar. Den area som flödeslinjerna kan passera kallas för slingans effektiva area och beror alltså på vinkeln φ som slingan vridits med.
Den effektiva arean kan ses som den vinkelräta komposanten av arean och med lite geometri kan man visa att vi kan skriva den som
$A_{\perp}=A\cos\text{φ}$A⊥=Acosφ
Så det fullständiga sambandet för magnetiskt flöde är den magnetiska flödestätheten B multiplicerad med den effektiva arean $A_{\perp}$A⊥, dvs.
$\text{Φ}=BA_{\perp}=BA\cos\text{φ}$Φ=BA⊥=BAcosφ
I videon såg vi en animering av förloppet. Slingan roterades med en konstant hastighet och i stället för en voltmeter kopplades en glödlampa i serie med slingan, som lyste då en ström passerar genom den.
Vi såg tydligt att då slingan är horisontell så är den effektiva arean, dvs. den röda ytan i horisontalplanet, som störst, och då passerar flest flödeslinjer genom slingan, dvs. det magnetiska flödet är som störst. Det stämmer ju även matematiskt eftersom $\cos0=1$cos0=1.
Och när slingan har vridits $90^{\circ}$90∘, dvs. när den är helt vertikal så är den effektiva arean som minst, dvs. $0$0 och då passerar ju inga flödeslinjer slingan, för det finns ingen area alls för flödeslinjerna att passera. Eftersom den effektiva arean är noll så blir det magnetiska flödet blir också noll. Det stämmer ju också matematiskt eftersom $\cos90^{\circ}=0$cos90∘=0.
Nu kommer vi till något viktigt. Vi ser nu att vi har tre sätt att orsaka en flödesändring. Vi kan ändra magnetfältets styrka B, arean A eller vinkeln φ som ju påverkar den effektiva arean. Och vi vet från tidigare lektioner att en ändring i magnetiskt flöde inducerar en spänning. Och att en inducerad spänning kan driva en ström.
Så när vi roterar slingan i ett magnetfält på det här sättet, och vinkeln φ varierar, så varierar flödet och en spänning induceras över slingan, som i sin tur driver elektronerna genom slingan, dvs. en ström induceras genom slingan. Det är denna ström som passerar genom glödtråden i lampan och får den att lysa.
Den här anordningen är ett exempel på en enkel växelspännings- eller växelströmsgenerator.
Om vi tittar noga på animeringen kan vi även få en första förklaring till varför det kallas för en växelströmsgenerator. Elektronernas färd genom slingan illustreras av de blå prickarna i animeringen. Vi ser att de, och därmed strömmen, byter riktning varje gång slingan passerar horisontalläget. Precis då strömmen byter riktning så är ju strömmen noll och vi ser att lampan slocknar precis i detta läge. Spänningen och därmed strömmen byter hela tiden riktning, växlar. Det är därför det kallas växelspänning och växelström.
Vi tar en lite mer matematiskt titt på detta.
Växelspänning
När något roterar med konstant vinkelhastighet på det här sättet vet vi sedan tidigare att vi kan beskriva rörelsen med trigonometriska funktioner som cosinus och sinus.
Och från avsnittet om harmonisk svängningsrörelse vet vi att vinkeln φ kan uttryckas i vinkelhastigheten ω som φ=ωt vilket ger att flödet kan skrivas:
$\text{φ}=BA\cos\text{ω}t$φ=BAcosωt
Vi har också i en tidigare lektion gått igenom Faradays induktionslag som säger att momentanvärdet hos en inducerad spänning beror på flödesändringen och det kan vi skriva som tidsderivatan av flödet, dvs.
$e=N\frac{d\text{Φ}}{dt}$e=NdΦdt
Flödet kan vi ju skriva som $\text{Φ}=BA\cos\text{ω}t$Φ=BAcosωt och vi ersätter därför ϕ med detta uttryck och deriverar:
$e=N\frac{d\text{ }}{dt}BA\cos\text{ω}t=\left(-\right)NBA\text{ω}\sin\text{ω}t$e=Nd dt BAcosωt=(−)NBAωsinωt
Vi bortser för tillfället från minustecknet som inte är av praktiskt intresse och får då att den inducerade spänningen ges av:
$e=NBA\text{ω}\sin\text{ω}t$e=NBAωsinωt
Eftersom N, B, A och ω är konstanta i det här fallet så bildar de funktionens, och därmed spänningens, amplitud och därmed blir det maximala värdet som spänningen kan anta NBAω (dvs. då sinωt=1) och vi kan ”klumpa ihop” dem och notera detta värde med ett e med en liten hatt på ê, (detta kallas ofta ”e-topp”, ”e-hatt” eller ”e-tak”).
Så uttrycket för den inducerade (momentan)spänningen ges av:
$e=\text{ê}\text{ }\sin\text{ω}t$e=ê sinωt
Nu ser vi ännu tydligare att spänningen kommer att växla i värde mellan ett topp- och ett bottenvärde, samt växla i polaritet, dvs. omväxlande vara positiv och negativ, p.g.a. av att momentanspänningen beskrivs av en sinusfunktion. Det är därför det kallas växelspänning, i kontrast till likspänning som håller ett konstant värde hela tiden.
Ofta noterar man momentanvärden av spänning och ström med små bokstäver.
Ström
Men hur blir det då med strömmen?
Vi vet ju nu att förändringen av det magnetiska flödet inducerar en spänning över slingan och att denna spänning driver en ström genom slingan. Och enligt Lenz lag så kommer en ”En inducerad elektrisk ström ha en riktning som motverkar orsaken till sin egen uppkomst”, dvs. strömmen vill alstra ett magnetfält som motverkar förändringen i det magnetiska flödet.
Och om flödet varierar och byter polaritet, eller ”riktning”, så kommer ju även strömmen att behöva göra det. Strömmen kommer alltså att växla på ett likartat sätt, dvs. elektronerna i ledaren kommer att röra sig fram och tillbaka. Detta kan vi även se i animeringen.
Vi tänker oss en enkel elektrisk krets, med ett motstånd som är kopplad till en växelströmskälla och antar att Ohm´s lag, $I=\frac{U}{R}$I=UR , eller som det blir här med momentanvärdena, $i=\frac{e}{R}$i=eR , gäller i varje ögonblick.
Vi ersätter $e$e med uttrycket för momentanspänningen $e=\text{ê}\text{ }\sin\text{ω}t$e=ê sinωt och får att
$i=\frac{e}{R}=\frac{\text{ê}\text{ }}{R}\cdot\sin\text{ω}t$i=eR =ê R ·sinωt
Då måste ju kvoten $\frac{\text{ê}\text{ }}{R}$ê R vara toppvärdet för strömmen vilken vi kan kalla $\text{î}$î , (”i-topp”). Vi ersätter $\frac{\text{ê}\text{ }}{R}$ê R med $\text{î}$î och vi får:
$i=\text{î}\cdot\sin\text{ω}t$i=î·sinωt
för momentanströmmen, dvs. samma sinusfunktion beskriver både spänningen och strömmen så när som på amplituden.
De varierar alltså i takt, vilket man kallar för att de är i fas. Dvs. då spänningen har sitt största värde så har även strömmen sitt största värde osv.
Effekt i växelströmskrets
Hur blir det då med effekten som utvecklas i motståndet i en växelströmskrets?
P.g.a. resistansen i motståndet så utvecklas värme, dvs. energi lämnar kretsen i form av värme, och effekten är då hur mycket energi per sekund som utvecklas i motståndet.
Effekten i en växelströmskrets kan i princip beräknas som vanligt men p.g.a. att strömmen inte är konstant utan varierar med tiden så kommer ju även effekten att variera med tiden, dvs. vara en funktion av tiden.
Vi vet från fysik 1 att effekten i en elektrisk krets kan skrivas som $P=RI^2$P=RI2. För att få momentaneffekten ersätter vi då den konstanta strömmen $I$I med momentanströmmen $i$i vilket ger $P=Ri^2$P=Ri2 och detta kan vi ju då kan skriva som
$P=R\text{î}^2\cdot\sin^2\text{ω}t$P=Rî2·sin2ωt
Effektivvärde
För att lättare kunna jämföra likströmskretsar och växelströmskretsar så har man infört begreppet effektivvärde.
Man kan visa att medeleffekten under en period är $\overline{P}=\frac{1}{2}R\text{î}^2$P=12 Rî2 och om vi tittar på kretsen igen och tänker att vi byter ut växelspänningskällan mot en likspänningskälla istället, vilket ger en likström i kretsen som är så pass stor att effektutvecklingen i resistorn blir lika stor som medeleffektutvecklingen i växelströmskretsen. Denna ström kallas strömmens effektivvärde $I_e$Ie.
Vi har alltså:
$P=\overline{P}$P=P
Detta kan vi ju då skriva som:
$RI^2_e=\frac{1}{2}R\text{î}^2$RI2e=12 Rî2
Vi förkortar bort resistansen och får:
$I^2_e=\frac{1}{2}\text{î}^2$I2e=12 î2
Och om vi nu löser ut effektivvärdet för strömmen får vi att den är:
$I_e=\frac{\text{î}}{\sqrt{2}}$Ie=î√2
På liknande sätt kan vi få fram ett uttryck för spänningens effektivvärde.
$U_e=\frac{\text{ê }}{\sqrt{2}}$Ue=ê √2
Växelströmmens och växelspänningens effektivvärde $I_e$Ie respektive $U_e$Ue motsvarar alltså den likström och likspänning som skulle ge samma effektutveckling i en resistor och när man pratar om ström och spänning i en växelströmkrets är det vanligen effektivvärdena man avser.
Vi kan nu använda våra ”vanliga” uttryck för effekt samt Ohms lag i en växelströmskrets. Vi får då att:
$P=RI^2_e$P=RI2e
$P=U_eI_e$P=UeIe
$U_e=RI_e$Ue=RIe
Sammanfattningsvis har vi:
Växelströmskretsar
Momentanspänning i växelströmskrets
$e=\text{ê}\text{ }\sin\text{ω}t$e=ê sinωt
Momentanström i växelströmskrets
$i=\text{î}\cdot\sin\text{ω}t$i=î·sinωt
Effektivvärden
$I_e=\frac{\text{î}}{\sqrt{2}}$Ie=î√2
$U_e=\frac{\text{ê }}{\sqrt{2}}$Ue=ê √2
Effekt i växelströmskrets
$P=R\text{î}^2\cdot\sin^2\text{ω}t$P=Rî2·sin2ωt
$\overline{P}=\frac{1}{2}R\text{î}^2$P=12 Rî2
$P=RI^2_e$P=RI2e
$P=U_eI_e$P=UeIe
Ohms’s lag i växelströmskrets
$U_e=RI_e$Ue=RIe
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
Endast Premium-användare kan kommentera.