Växelspänning och växelström

I den här lektionen ska vi titta på växelströmsgeneratorn. Växelströmsgeneratorn anses av många vara en av de viktigaste uppfinningar som gjorts och den spelar en stor roll i vår civilisations tekniska utveckling. Det som gör växelströmsgeneratorn så användbar är att den kan omvandla mekanisk energi till elektrisk energi. En stor fördel med att ha energin i elektrisk form är att den då relativt enkelt går att transportera i elektriska ledningar. Mekanisk energi är oftast mycket lokal, dvs det är svårt att använda den på längre avstånd från där den genereras. Men mer om detta senare. Först ska vi titta på hur en elektrisk växelströmsgenerator fungerar.

De strömmar och spänningar vi arbetat med hittills har hela tiden haft samma riktning, och även samma värde under längre perioder. Denna typ av ström och spänning kallas likström och likspänning. Men som begreppen växelström och växelspänning antyder kan vi också producera strömmar och spänningar som varierar i riktning och värde. Ofta varierar de periodiskt, vilket gör att vi kommer att ha nytta av det vi tidigare lärt oss om periodisk svängningsrörelse. Vi behöver även minnas begreppet magnetiskt flöde från förra lektionen.

Vi tänker oss att vi har en elektrisk slinga, som är placerad i ett homogent magnetfält enligt bilden. Magnetfältet  $B$B  är riktat nedåt. Vi ser även att slingans ändar är kopplade till varsin kontakt, som i sin tur är kopplade till den positiva och negativa polen på en voltmeter. Om det genereras en spänning mellan polerna kommer den att ge utslag.

Magnetiskt flöde  $\text{Φ}$Φ  är definierat som produkten av den magnetiska flödestätheten  $B$B  och den vinkelräta arean  $A_{\perp}$A_⊥, som flödeslinjerna passerar,  $Φ=BA_{\perp}$Φ=BA_⊥ . Det innebär att när slingan ligger helt horisontellt, dvs är vriden $0^{\circ}$0^∘, är den vinkelräta arean som störst relativt de magnetiska flödeslinjerna. Maximalt antal flödeslinjer passerar genom slingas area, vilket innebär det magnetiska flödet då är maximalt. 

Om vi skulle rotera slingan lite, som i bilden, inser vi att ju större vinkel  $φ$φ  vi vrider slingan, desto mindre blir arean relativt magnetfältet, dvs färre och färre flödeslinjer passerar slingans vinkelräta area. Det magnetiska flödet minskar. Den vinkelräta area som flödeslinjerna kan passera kallas slingans effektiva area och beror alltså på vridningsvinkeln  $φ$φ .

Den effektiva arean kan ses som den vinkelräta komposanten av arean (projektionsarean), och med lite geometri kan vi visa att den kan skrivas som:

 $A_{\perp}=A\cosφ$A_⊥=Acosφ 

Så det fullständiga sambandet för magnetiskt flöde är den magnetiska flödestätheten  $B$B  multiplicerad med den effektiva arean  $A_{\perp}$A_⊥ :

 $Φ=BA_{\perp}=BA\cosφ$Φ‍=BA_⊥=BAcosφ 

I videon visas en en animering av förloppet. Slingan roteras med en konstant hastighet, och i stället för en voltmeter kopplas i serie med slingan en glödlampa, som lyser då en ström passerar genom den.

Vi ser tydligt att när slingan är horisontell är den effektiva arean (den röda ytan i horisontalplanet) som störst. Då passerar flest flödeslinjer genom slingan, och det magnetiska flödet är därför som störst. Det stämmer matematiskt, eftersom $\cos0=1$cos0=1.

När slingan har vridits  $90^{\circ}$90^∘, dvs när den är helt vertikal, är den effektiva arean som minst,  $A_{\perp}=0$A_⊥‍=0 , och inga flödeslinjer passerar slingan (det finns ingen area att passera). Eftersom den effektiva arean är noll blir det magnetiska flödet blir också noll. Det stämmer matematiskt, eftersom  $\cos90^{\circ}=0$cos90^∘=0 .

Nu kommer vi till något viktigt. Vi kan ändra magnetfältets styrka  $B$B  eller vridningsvinkeln  $φ$φ , som då påverkar den effektiva arean  $A_{\perp}$A_⊥. Vi vet från tidigare lektioner att en ändring i magnetiskt flöde inducerar en spänning, och att en inducerad spänning kan driva en ström.

Så när vi roterar slingan i ett magnetfält på det här sättet, och vinkeln  $φ$φ  ändras, varierar det magnetiska flödet och en spänning induceras över slingan, som i sin tur driver elektronerna genom slingan, en ström induceras genom slingan. Det är denna ström som passerar genom glödtråden i lampan och får den att lysa.

Den här anordningen är ett exempel på en enkel växelspännings- eller växelströmsgenerator.

Om vi tittar noga på animeringen kan vi även få en första förklaring till varför det kallas växelströmsgenerator. Elektronernas färd genom slingan illustreras av de blå prickarna i animeringen. Vi ser att de, och därmed strömmen, byter riktning varje gång slingan passerar horisontalläget. Precis när strömmen byter riktning är strömmen noll, och vi ser att lampan slocknar precis i detta läge. Spänningen, och därmed strömmen, byter hela tiden riktning, de växlar. Det är därför det kallas växelspänning och växelström.

Vi ska nu titta lite mer matematiskt på detta.

Från avsnittet om harmonisk svängningsrörelse vet vi att när något roterar med konstant vinkelhastighet kan rörelsen beskrivas med trigonometriska funktioner. Vinkeln  $φ$φ  kan då anges utifrån vinkelhastigheten  $ω$‍ω  som    $φ=ωt$φ=ωt , vilket ger att flödet kan skrivas:

 $Φ=BA_{\perp}=BA\cosφ=BA\cosωt$Φ=BA_⊥=BAcosφ=BAcosωt 

Vi har också i en tidigare lektion gått igenom Faradays induktionslag, som säger att momentanvärdet hos en inducerad spänning beror på flödesändringen med avseende på tiden, vilket kan skrivas som tidsderivatan av flödet:

 $e=N$e=N $\frac{d\text{Φ}}{dt}$dΦdt  

Vi sätter in uttrycket för flödet,  $Φ=BA\cosωt$Φ=BAcosωt ,  och deriverar:

 $e=N$e=N $\frac{dΦ\text{ }}{dt}=$dΦ dt = $N$N $\frac{d\left(BA\cosωt\right)}{dt}$d(BAcosωt)dt   

 $e=N\cdotΦ\text{ }’\left(t\right)=-NBAω\sinωt$e=N·Φ ’(t)=−NBAωsinωt 

Vi bortser för tillfället från minustecknet, som inte är av praktiskt intresse, och får då att den inducerade spänningen är:

 $e=NBA\text{ }ω\sinωt$e=NBA ωsinωt 

Faktorerna  $N$N,  $B$B,  $A$A  och  $ω$ω  är konstanter i det här fallet. Produkten av dem bildar då funktionens, och därmed spänningens, amplitud. Det maximala värde som spänningen kan anta är  $NBAω$N‍BAω , vilket fås då  $\sinωt=1$sinωt=1.  Detta maxvärde på den inducerade spänning betecknas  $\text{ê}$ê  och  utläses ”e-topp” (eller ”e-hatt” eller ”e-tak”).   Spänningens amplitud är alltså  $\text{ê}=NBAω$ê=NBAω  och den inducerade momentana spänningen är:

 $e=\text{ê }\sinωt$e=ê sinωt 

Nu ser vi ännu tydligare att spänningen kommer att växla mellan ett topp- och ett bottenvärde, samt växla i polaritet, dvs omväxlande vara positiv och negativ, på grund av att momentanspänningen beskrivs av en sinusfunktion. Det är därför det kallas växelspänning, i kontrast till likspänning som håller ett konstant värde hela tiden.

Ofta skrivs momentanvärden av spänning och ström med små bokstäver.

Men hur blir det då med strömmen?

Vi vet nu att förändringen av det magnetiska flödet inducerar en spänning över slingan, och att denna spänning driver en ström genom slingan. Enligt Lenz lag kommer en inducerad elektrisk ström ha ”en riktning som motverkar orsaken till sin egen uppkomst”, dvs strömmen vill skapa ett magnetfält, som motverkar förändringen i det magnetiska flödet.

Om flödet varierar och byter polaritet (”riktning”), kommer även strömmen att behöva göra det. Strömmen kommer alltså att växla på ett likartat sätt, och elektronerna i ledaren kommer att röra sig fram och tillbaka. Detta kan vi även se i animeringen.

Vi tänker oss en enkel elektrisk krets, med ett motstånd som är kopplat till en växelströmskälla. Vi utgår från att Ohms lag, $I=\frac{U}{R}$I=UR ,  gäller i varje ögonblick. Med våra momentanvärden kan vi skriva detta som:  $i=\frac{e}{R}$i=eR  

Vi ersätter  $e$e  med uttrycket för momentanspänningen  $e=\text{ê }\sinωt$e=ê sinωt :

 $i=$i=  $\frac{e}{R}=\frac{\text{ê}\text{ }}{R}\cdot$eR =êR · $\sinωt$sinωt  

Då måste kvoten $\frac{\text{ê}\text{ }}{R}$êR   vara toppvärdet för strömmen, som vi betecknar  $\text{î}$î , (”i-topp”). Vi ersätter  $\frac{\text{ê}\text{ }}{R}$êR   med  $\text{î}$î :

 $i=\text{î}\cdot\sinωt$i=î·sinωt 

Detta är momentanströmmen. Samma sinusfunktion beskriver alltså både spänning och ström, så när som på amplituden. De varierar alltså i takt, vilket kallas att de är i fas. Det innebär att då spänningen har sitt största värde har även strömmen sitt största värde osv.

Hur blir det då med effekten som utvecklas i motståndet i en växelströmskrets?

På grund av resistansen i motståndet utvecklas värme, dvs energi lämnar kretsen i form av värme. Effekten motsvarar hur mycket energi som utvecklas i motståndet per sekund. 

Effekten i en växelströmskrets kan i princip beräknas som vanligt, men på grund av att strömmen inte är konstant, utan varierar med tiden, kommer även effekten att variera med tiden. Vi kan därför beskriva effekten som en funktion av tiden.

Vi vet från Fysik 1 att effekten i en elektrisk krets kan skrivas som $P=UI=RI^2$P=UI=RI² . För att få momentaneffekten ersätter vi den konstanta strömmen  $I$I  med momentanströmmen  $i$i , vilket ger  $P=Ri^2$P=Ri² . Detta kan vi då skriva som:

 $P=R\text{î}^2\cdot\sin^2ωt$P=Rî²·sin²ωt 

För att lättare kunna jämföra likströmskretsar och växelströmskretsar har begreppet effektivvärde införts.

Det kan visas att medeleffekten under en period är $\overline{P}=\frac{1}{2}R\text{î}^2$P=12 Rî²  (vi härleder inte detta här). Vi tittar på kretsen igen och tänker att vi byter ut växelspänningskällan mot en likspänningskälla, som ger en likström i kretsen så att effektutvecklingen i resistorn blir lika stor som medeleffektutvecklingen i växelströmskretsen. Denna ström kallas strömmens effektivvärde  $I_e$I_e .

Vi har alltså:

 $P=\overline{P}$P=P 

Detta kan vi då skriva som:

 $RI^2_e=$RI²_e= $\frac{1}{2}$12  $R\text{î}^2$Rî²  

Vi förkortar bort resistansen och får:

 $I^2_e=$I²_e= $\frac{1}{2}$12  $\text{î}^2$î²  

Om vi nu löser ut effektivvärdet för strömmen får vi:

 $I_e=$I_e= $\frac{\text{î}}{\sqrt{2}}$î√2  

På liknande sätt kan vi få fram ett uttryck för spänningens effektivvärde:

 $U_e=$U_e= $\frac{\text{ê }}{\sqrt{2}}$ê √2   

Växelströmmens och växelspänningens effektivvärde   $I_e$I_e  respektive  $U_e$U_e  motsvarar alltså den likström respektive likspänning som skulle ge samma effektutveckling i en resistor. När det talas om ström och spänning i en växelströmkrets är det vanligen effektivvärdena som avses.

Vi kan nu använda våra ”vanliga” uttryck för effekt, samt Ohms lag i en växelströmskrets. Vi får då att:

 $P=RI^2_e$P=RI²_e 

 $P=U_eI_e$P=U_eI_e 

 $U_e=RI_e$U_e=RI_e