Wiens förskjutningslag och Stefan - Boltzmanns lag

Exempel 1

En glödlampa har en effekt på  $60$60  W. Glödtråden i lampan har längden  $2,5$2,5  cm och diametern   $0,50$0,50  mm. Vi approximerar att glödtråden har en emittans som är  $80\%$80%  av en svartkropps. Vilken är glödtrådens temperatur?

Lösning

Vi börjar med att beräkna hur mycket strålning glödtråden skulle emittera om den vore en absolut svart kropp. Vi kan då använda sambandet $M=\frac{P}{A}$M=PA .

Men vad är arean? Vi har fått glödtrådens längd och diameter. Vi kan tänka oss glödtråden som en tunn cylinder, och dess mantelarea ges då av $A=2\pi r\cdot l$A=‍2πr·l, där $l$l är glödtrådens längd och $r$r är glödtrådens radie. (Kom ihåg att radien är halva diametern.)

 $A=2\pi r\cdot l=2\pi\cdot\frac{0,0005}{2}\cdot0,025=1,25\cdot10^{-5}\text{ }\pi$A=2πr·l=2π·0,00052 ·0,025=‍1,25·10⁻⁵ π  m$^2$² 

 $M=$M= $\frac{P}{A}=\frac{P}{2\pi r\cdot l}=\frac{60}{1,25\cdot10^{-5}\text{ }\pi}=$PA =P2πr·l =601,25·10⁻⁵ π = $1,527…\cdot10^6$1,527…·10⁶  W/m$^2$²

För att bestämma temperaturen använder vi Stefan-Boltzmans lag. Approximationen är att glödtråden strålar som  $80\%$80% av en svartkropp, vi multiplicerar därför emittansen med faktorn  $0,80$0,80.

 $0,80M=\text{σ}T^4$0,80M=σT⁴ 

 $T=$T=  $\sqrt[4]{\frac{0,80M}{\text{σ}}}=\sqrt[4]{\frac{0,80\cdot1,527\cdot10^6}{5,67\cdot10^{-8}}}$⁴√0,80Mσ =⁴√0,80·1,527·10⁶5,67·10⁻⁸  $=2154,7…$=2154,7…   K

Svar: Glödtrådens temperatur är  $2\text{ }200$2 200  K.

Exempel 2

Vi tittar på samma glödtråd som i föregående exempel, men nu ska vi ta reda på vid vilken våglängd som glödtråden har sin maximala emittans.

Lösning

Vi använder Wiens förskjutningslag.

 $\text{λ}_{max}\cdot T=2,90\cdot10^{-3}$λ_max·T=2,90·10⁻³

 $\text{λ}_{max}=$λ_max= $\frac{2,90\cdot10^{-3}}{T}=\frac{2,90\cdot10^{-3}}{2154,7…}=$2,90·10⁻³T =2,90·10⁻³2154,7… = $1,345…\cdot10^{-6}$1,345…·10⁻⁶  m  

Obs. Det är viktigt att vi använder det icke avrundade värdet på temperaturen från det förra exemplet.

 $\text{λ}_{max}\approx1300$λ_max≈1300  nm 

Tittar vi på grafen till Plancks strålningslag så ser vi att detta kan vara rimligt. Vi ser även att det allra mesta av strålningen från glödtråden inte är i det synliga området utan i IR-området, dvs strålningen avges mestadels som värme, inte synligt ljus.

Svar: Glödtråden emitterar som mest vid våglängden $1300$1300  nm.