00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Andragradsekvationer
Andragradsekvationer

PQ - formeln

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

PQ-formeln, eller lösningsformeln, är namnet på en metod för att lösa andragradsekvationer. Metoden kan lösa alla andragradsekvationer och är den enda som direkt kan lösa andragradsekvationer som består av en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm. 

PQ-formel kalkylator – Prova lösningsformeln själv

Men hjälp av denna kalkylator kan du se lösningen steg för steg till en andragradsekvation. Du fyller i koefficienterna i andragradsekvationen och kan sedan se lösningen steg för steg.

x2+ x^2 +
x+ x +
=0 = 0
Här visas lösningen steg för steg.
  • Kalkylatorn avrundar till 3 decimaler
  • Tryck på tab för att hoppa mellan fälten
  • Tomt i textfälten framför x2x^2 och xx tolkas som koefficienten 11
  • Tomt i textfältet för konstanttermen tolkas som 00

Andragradsekvationer med alla sorters olika termer

Vi kan lösa alla andragradsekvationer som har en lösning med PQ – formeln. Och för de ekvationen som har alla tre sorters termer, det vill säga andragrads-, förstagrads- och konstantterm, har vi inte så mycket annat val, förutom möjligen kvadratkomplettering. Här är en typisk andragradsekvation som måste lösas med PQ.

Andragradsekvationen har både en andragrads-, förstagrads- och konstantterm.

En sätt att sammanfatta alla andragradsekvation är att skriva dem på så kallad allmän form. Så här.

Allmän form

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

där a,a, bb och cc är konstanter och a≠0a≠0

Och vid de tillfällen då a,a, bb och cc alla är skilda från noll, vilket leder till att alla tre sortens termer finns i ekvationen, använder vi alltså lösningsformeln/PQ-formeln.

Lösningsformeln

Andragradsekvationen  x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0  har lösningarna

 x1,2=x_{1,2}=x1,2= −p2±(p2)2−q-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}−p2 ±√(p2 )2−q 

Vid en första anblick är det förståeligt att lösningsformeln upplevs något krånglig. Men med lite tålamod och övning i att ta det steg för steg brukar det med tiden inte vara några större problem att använda den. Men visst krävs en del övning!

Vi tar ett första exempel där vi löser en andragradsekvation med PQ – formeln.

Exempel 1

Lös ekvationen x2+6x−7=0x^2+6x-7=0x2+6x−7=0

Lösning

Vi börjar med att plocka fram värdena för ppp och qqq. Genom att jämföra formeln  x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0  med ekvationen ser vi att  p=6p=6p=6 och q=−7q=-7q=−7.

Så vi sätter in våra värden i lösningsformeln och får att

 x1,2=x_{_{1,2}}=x1,2= −62±(62)2−(−7)-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-\left(-7\right)}−62 ±√(62 )2−(−7)   

vilket vi förenklar till

 x1,2=−3±(−3)2+7x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{(-3)^2+7}x1,2=−3±√(−3)2+7 

Vi förenklar uttrycket under rottecknet och får att  (−3)2=9\left(-3\right)^2=9(−3)2=9  och  −(−7)=+7-\left(-7\right)=+7−(−7)=+7 

 x1,2=−3±9+7x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{9+7}x1,2=−3±√9+7 

 x1,2=−3±16x_{_{1,2}}=-3\pm\sqrt{16}x1,2=−3±√16 

 x1,2=−3±4x_{_{1,2}}=-3\pm4x1,2=−3±4 

Detta betyder att en lösning ges av  x=−3+4x=-3+4x=−3+4 och den andra av  x=−3−4x=-3-4x=−3−4.

Detta kan vi skriva som 

{x1=−3+4x2=−3−4 \begin{cases} x_1 = -3+4 \\ x_2 = -3-4 \end{cases}

och beräknar sedan det och får svaret

{x1=1x2=−7 \begin{cases} x_1 = 1 \\ x_2 = -7 \end{cases}

Vi får alltså att x2+6−7=0x^2+6-7=0x2+6−7=0 när  x=1x=1x=1  eller  x=−7x=-7x=−7 

Nödvändigt förarbete

För att kunna använda PQ – formeln så måste andragradsekvationen skrivas om på formeln  x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0

Det innebär att a=1a=1a=1 och det ena ledet måste vara lika med noll. Först då kan vi tillämpa denna formel.

Två nödvändiga check

Koefficienten framför andragradstermen måste vara lika med ett.

Ena ledet måste vara lika med noll.

Om dessa två krav inte är uppfyllda måste alltså ekvationen först skrivas om så att de uppfylls. Därefter kan vi använda lösningsformeln. Vi tittar mer på det i lektionen Träna mera på PQ-formeln. Men redan här smygtittar vi på ett exempel, där vi först måste skriva om ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen  2x2−16x=182x^2-16x=182x2−16x=18 

Lösning

Vi genomför våra två check, ”Koefficienten framför andragradstermen måste vara lika med ett”.  Redan här går vi bet.

Vi dividerar därför båda leden med två för att uppfylla detta krav.

 2x2−16x=182x^2-16x=182x2−16x=18       dividera båda leden med två

 x2−8x=9x^2-8x=9x2−8x=9 

Så ja. Nu var det i alla fall klart. Nästa koll är att ”Ena ledet måste vara lika med noll.” Inte heller här får vi ok. Men vi kan fixa till det. Vi subtraherar båda leden med 999.

 x2−8x=9x^2-8x=9x2−8x=9      subtrahera båda leden med 999 

x2−8x−9=0x^2-8x-9=0x2−8x−9=0

Ni är vi redo för att läsa av värdet på ppp och qqq och sätta in i formeln.

Vi får att  p=−8p=-8p=−8  och  q=−9q=-9q=−9. Det ger att

 x1,2=x_{_{1,2}}=x1,2=  −(−8)2±((−8)2)2−(−9)-\frac{\left(-8\right)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-8\right)}{2}\right)^2-\left(-9\right)}−(−8)2 ±√((−8)2 )2−(−9) 

 x1,2=x_{_{1,2}}=x1,2=  82±\frac{8}{2}\pm82 ±(−4)2+9\sqrt{\left(-4\right)^2+9}√(−4)2+9   

 x1,2=4±16+9x_{_{1,2}}=4\pm\sqrt{16+9}x1,2=4±√16+9 

 x1,2=4±25x_{_{1,2}}=4\pm\sqrt{25}x1,2=4±√25 

 x1,2=4±5x_{_{1,2}}=4\pm5x1,2=4±5 

vilket leder till de två rötterna

{x1=9x2=−1 \begin{cases} x_1 = 9 \\ x_2 = -1 \end{cases}

Fixa ditt eget facit

För alla andragradsekvationer gäller att du kan kontrollera att dina lösningar är korrekta med hjälp av följande två samband.

 p=−(x1+x2)p=-\left(x_1+x_2\right)p=−(x1+x2) 

 q=x1⋅x2q=x_1\cdot x_2q=x1·x2 

där x1x_1x1 och x2x_2x2 motsvarar rötterna till andragradsekvationen och  ppp och  qqq  syftar på ekvationen omskriven på formen  x2+px+q=0x^2+px+q=0x2+px+q=0.

Detta gäller eftersom att då

{x1=–p2+(p2)2−qx2=–p2−(p2)2−q \begin{cases} x_1 = – \frac{p}{2} +\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \\ x_2= – \frac{p}{2} -\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \end{cases}

får vi att

 −(x1+x2)=-\left(x_1+x_2\right)=−(x1+x2)= −((−p2+(p2)2−q)+(−p2−(p2)2−q))=-\left(\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)+\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\right)=−((−p2 +√(p2 )2−q)+(−p2 −√(p2 )2−q))=   p2−(p2)2−q+p2+(p2)2−q=p2+p2=\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}+\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}=\frac{p}{2}+\frac{p}{2}=p2 −√(p2 )2−q+p2 +√(p2 )2−q=p2 +p2 =  ppp 

och vidare att

 x1⋅x2=x_1\cdot x_2=x1·x2= (−p2+(p2)2−q)⋅(−p2−(p2)2−q)=\left(-\frac{p}{2}+\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)\cdot\left(-\frac{p}{2}-\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)=(−p2 +√(p2 )2−q)·(−p2 −√(p2 )2−q)=   (−p2)2−((p2)2−q)2=(p2)2−((p2)2−q)=\left(-\frac{p}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\right)^2=\left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\left(\frac{p}{2}\right)^2-q\right)=(−p2 )2−(√(p2 )2−q)2=(p2 )2−((p2 )2−q)= qqq  

PQ-formeln och kvadratkomplettering

Den metod som ligger till grund för lösningsformeln kallas för kvadratkomplettering. Kortfattat går kvadratkomplettering ut på att lösa andragradsekvationen genom att först komplettera med en särskild kvadrat på bägge sidor om likhetstecknet. Tillägget av denna kvadrat möjliggör att man kan faktorisera uttrycket med kvadreringsregeln, som i sin tur ger möjlighet att lösa ekvationen.

Nedan visar vi hur det går till att härleda PQ-formeln med hjälp av denna metod.

Genom att subtrahera qq i båda leden får vi att x2+px+q=0 x^2 + px +q = 0 blir

x2+px=−q x^2 + px = -q

Nu lägger vi till kvadraten (p2)2 (\frac{p}{2})^2 i båda leden.

x2+px+(p2)2=(p2)2−q x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 -q

Faktorisera vänsterledet med hjälp av kvadreringsregeln

(x+p2)2=(p2)2−q (x + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 -q

Dra roten ur på bägge sidor

x+p2=±(p2)2−q x + \frac{p}{2} = ±\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q}

Subtrahera både leden med p2\frac{p}{2}

{x1=–p2+(p2)2−qx2=–p2−(p2)2−q \begin{cases} x_1 = – \frac{p}{2} +\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \\ x_2= – \frac{p}{2} -\sqrt{ (\frac{p}{2})^2 -q} \end{cases}

vilket ger det två lösningarna på ekvationen.

Om man får negativt tal (minus) under rotenurtecknet

Ett speciellt fall av andragradsekvationer är om man får ett minustecken under rotenurtecknet. Då finns det nämligen inga reella lösningar till den ekvationen då man inte kan ta roten ur ett negativt tal. Istället är detta en andragradsekvation med komplexa rötter. Dessa typer av ekvationer behandlas inte i denna lektion utan det räcker att du i detta fall känner till att ekvationen saknar reella lösningar.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen x2–4x–5=0 x^2 – 4x – 5 = 0
  • Lös ekvationen 2x2+16x–18=0 2x^2 + 16x – 18 = 0
Nästa lektion: Träna mera på PQ-formeln

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server