Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Trigonometriska ekvationer med formler
Många trigonometriska ekvationer innehåller uttryck som kan skrivas om, vilket gör att ekvationen blir enklare att lösa. Till detta används t ex trigonometriska ettan, additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus samt formler för dubbla vinkeln.
Trigonometriska ettan
$\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1
Additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cos v+\cos u\sin v$sin(u+v)=sinucosv+cosusinv
$\sin\left(u-v\right)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$sin(u−v)=sinucosv−cosusinv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cos v-\sin u\sin v$cos(u+v)=cosucosv−sinusinv
$\cos\left(u-v\right)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$cos(u−v)=cosucosv+sinusinv
Formler för dubbla vinkeln
$\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv
$\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2 v-1 \\1-\sin ^2v \end{cases} $
I Matematik 3c arbetade vi med trigonometriska ekvationer och fullständiga lösningar till dessa. Repetera gärna detta om du behöver.
Samtliga lösningar till ekvationer med sinus
Alla lösningar till $\sin v=a$sinv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges i grader av
$v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \\ 180^{\circ } -\sin ^{-1}a+n\cdot 360^{\circ } \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
och i radianer av
$v=$v=$\begin{cases} \sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \\\pi -\sin ^{-1}a+n\cdot 2\pi \end{cases}$ där $n$n är ett heltal
Samtliga lösningar till ekvationer med cosinus
Alla lösningar till $\cos v=a$cosv=a där $-1\le a\le1$−1≤a≤1 ges i grader av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot360^{\circ}$v=±cos−1a+n·360∘ där $n$n är ett heltal
och i radianer av
$v=\pm\cos^{-1}a+n\cdot2\pi$v=±cos−1a+n·2π där $n$n är ett heltal
Nu har vi dessutom några olika trigonometriska samband, som kan användas för att skriva om de uttryck som ingår i ekvationerna.
Exempel 1
Lös ekvationen $4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x−4sin2x+2=0
Lösning
Vi förenklar och skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
$4\cos^2x-4\sin^2x+2=0$4cos2x−4sin2x+2=0
$2\cos^2x-2\sin^2x+1=0$2cos2x−2sin2x+1=0
$2\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=-1$2(cos2x−sin2x)=−1
$2\cos2x=-1$2cos2x=−1
$\cos2x=$cos2x= $-\frac{1}{2}$−12
Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
$2x=\pm120^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$2x=±120∘+n·360∘
$x=\pm60^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$x=±60∘+n·180∘
Exempel 2
Lös ekvationen $2\sin3x\cos2x+2\cos3x\sin2x=\sqrt{3}$2sin3xcos2x+2cos3xsin2x=√3
Lösning
Vi skriver om med hjälp av additionsformeln för sinus.
$2\sin\left(3x+2x\right)=\sqrt{3}$2sin(3x+2x)=√3
$\sin5x=$sin5x= $\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och får två olika alternativ.
$5x_1=60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x1=60∘+n·360∘
$x_1=$x1= $\frac{60^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$60∘5 +n·360∘5
eller
$5x_2=180^{\circ}-60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$5x2=180∘−60∘+n·360∘
$x_2=$x2= $\frac{120^{\circ}}{5}+n\cdot\frac{360^{\circ}}{5}$120∘5 +n·360∘5
$\begin{cases} x_1=12^{\circ }+n\cdot 72^\circ \\ x_2=24^{\circ }+n\cdot 72^\circ \end{cases} $
Exempel 3
Lös ekvationen $2\sin^2x-\cos x=1$2sin2x−cosx=1
Lösning
Vi skriver om $\sin^2x$sin2x med hjälp av trigonometriska ettan, och förenklar.
$2\left(1-\cos^2x\right)-\cos x=1$2(1−cos2x)−cosx=1
$2-2\cos^2x-\cos x=1$2−2cos2x−cosx=1
$-2\cos^2x-\cos x+1=0$−2cos2x−cosx+1=0
$\cos^2x+\frac{1}{2}\cos x-\frac{1}{2}=0$cos2x+12 cosx−12 =0
Vi sätter $\cos x=t$cosx=t och löser med pq-formeln.
$t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}=0$t2+12 t−12 =0
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}}$−14 ±√(14 )2+12
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}}$−14 ±√116 +816
$t=$t= $-\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}$−14 ±34
$\begin{cases} t_1=\frac{1}{2} \\ t_2=-1 \end{cases} $
Detta innebär att $\cos x=$cosx= $\frac{1}{2}$12 eller $\cos x=-1$cosx=−1. Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet.
$x_1=\pm60^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x1=±60∘+n·360∘
$x_2=180^{\circ}+n\cdot360^{\circ}$x2=180∘+n·360∘
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Lös ekvationen $\sin^2x-\cos^2x=1$sin2x−cos2x=1.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
2. Premium
Lös ekvationen $\sin^2x-\sin x=0$sin2x−sinx=0.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
3. Premium
Lös ekvationen $4\sin x\cos x=\sqrt{3}$4sinxcosx=√3.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
4. Premium
Lös ekvationen $\sin4x=$sin4x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
5. Premium
Lös ekvationen $\sin3x=$sin3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$√32
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: trigonometri trigonometriska ekvationerRättar... -
c-uppgifter (5)
-
6. Premium
Lös ekvationen $\cos\left(x-30^{\circ}\right)-\cos\left(x+30^{\circ}\right)=1$cos(x−30∘)−cos(x+30∘)=1
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
7. Premium
Lös ekvationen $\sin2x=6\cos x$sin2x=6cosx.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
8. Premium
Lös ekvationen $2\sin^2x=3\cos x$2sin2x=3cosx .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
9. Premium
Lös ekvationen $8\sin^2x\cos^2x=$8sin2xcos2x=$\frac{3}{2}$32 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
-
10. Premium
Lös ekvationen $\frac{1}{\cos^2x}$1cos2x $+\tan x=1$+tanx=1.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
a-uppgifter (1)
-
11. Premium
Vilket är det största värde $3-4\sin x\cos x$3−4sinxcosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Kapiteltest Trigonometri och Trigonometriska funktioner Ma4Rättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.