Vad är det som gör att vi upplever något som vackert, harmoniskt eller proportionerligt? Man brukar ju säga att smaken är som baken (delad) men i många fall så upplever vi människor vissa saker som vackra eller inte.

I det här blogginlägget tänkte jag att vi skulle titta på ett förhållande som kallas för gyllene snittet som är ett alldeles speciellt förhållande mellan längder. Det är nämligen så att detta återkommer om och om igen i naturen och vi människor ofta upplever det som vackert. Vi skall börja med att försöka återskapa detta förhållande med passare och linjal fast i digital form.

Varför uppskattar vi det gyllene snittet och hur används det?

Om vi skulle filosofera lite (gissa) kring varför det gyllene snittet upplevs som vackert så kan det bero på att det faktiskt återkommer i naturen på många olika vis. Det här påverkar såklart oss människor. Du kan hitta det gyllene snittet i alltifrån grankottar, fibonaccis talföljd, tavlor till hur solrosor ser ut så säkerligen har vi människor påverkats av detta.

Låt säga att vi skall måla ett landskapsmotiv och vill använda oss av att det gyllene snittet ofta upplevs som vackert om vi placerar horisonten efter detta då tavlan är 1 meter hög (vi målar ett stående motiv). Vi kan då använda oss av att vet att gyllene snittet är cirka 1.618 för att placera ut horisonten ungefär rätt.

Så om vi tänker oss att a/b = 1,618 så ger det oss att a = 1,618⋅b. Eftersom att tavlan är 1 meter hög så vet vi att

$1,618b + b = 1  ⇔ b = 0,38$

Dvs vi drar vårt röda gyllene streck på höjden (ungefär) 38 cm och ritar vårt landskap under detta. Förhoppningsvis kommer då våra utställningsbesökare att uppskatta tavlan och vi säljer den kanske dyrt ;-).

Hur definieras det gyllene snittet?

Det kan också vara intressant att gå in på hur det gyllene snittet kan tas fram mer exakt. För detta så måste vi gå till definitionen av gyllene snittet:

När en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så är det gyllene snittet när förhållandet mellan a och b är samma som förhållandet mellan a+b till a. Dvs att
$\text{Gyllene snittet} = \varphi = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$

Vi gör så att vi sätter $\text{Gyllene Snittet} = \varphi$ och vi vet att
1) $\varphi = \frac{a+b}{a}$
2) $\varphi = \frac{a}{b}$

Vi delar alla delar i 1) med b och får då

Från 2) vet vi att $\varphi = \frac{a}{b}$. Vi byter därför ut $\frac{a}{b}$ mot $\varphi$ så att vi får att

$\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}} = \frac{\varphi+1}{\varphi}$

Detta skall vara lika med det gyllene snittet $\varphi$ så vi får därmed följande ekvation:
$\frac{\varphi+1}{\varphi} = \varphi ⇔$ (Förläng med $\varphi$)
$\varphi+1 = \varphi^2 ⇔$ (Flytta över till en sida om likhetstecknet)
$\varphi^2-\varphi-1 = 0 ⇔$

Här kan vi används oss av pq-formeln för att lösa ut $\varphi$ men vi tar bara med den positiva lösningen då det är geometriska avstånd som avses:
$\varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1} ⇔$
$\varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} ⇔$
$\varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} ⇔$
$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Nu har vi det gyllene snittet:
$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≈ 1.61803398874989$

Läs mer om Matetematik

• Att dela med noll – Vad händer egentligen?
• Vad är oändligheten?

I kursen matte 5 på gymnasiet läser man om kombinatorik och binomialsatsen och då stöter man på något som kallas för Pascals triangel. Det här är ett fascinerande sätt att enkelt kunna utveckla så kallade binom (mer om vad det är snart) som har högre grad än 2.

Vem var Pascal?

Räknemaskinen Pascalline skapad av Blaise Pascal

Den som har fått ge namn åt denna triangel, uppbyggd av tal, är den franske matematikern Blaise Pascal som levde på 1600 – talet. Pascal var verksam inte bara inom matematik utan även inom fysik och religion.

Pascal räknas bland annat som den förste att uppfinna en räknemaskin som mekaniskt kunde räkna addition och subtraktion. Hans räknemaskin, som kallades för Pascalline användes bland annat för att förenkla räknearbetet i hans fars affär.

Pascal har även fått ge namn åt den fysikaliska enheten för tryck och åt programmeringsspråket Pascal.

Binom och Pascals triangel

Så vad är då ett binom och pascals triangel?

Förklaring av koefficient, variabel och exponent

Ett binom är ett algebraiskt uttryck med två stycken termer, exempelvis $(a+b)$ eller $(x^2+2)$. Vanligt är man på gymnasiet övar sig att utveckla sådan uttryck med hjälp av kvadreringsreglerna, exempelvis att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ men hur gör man egentligen om man skall utveckla $(a+b)^3$, $(a+b)^4$ eller $(a+b)^8$? Om du själv provar att utveckla dessa uttryck kommer du att märka att det blir en hel del räknearbete. Väldigt mycket och ganska tråkigt räknearbete också.

Om vi ändå skulle göra några av dessa utvecklingar så kan vi se ett mönster som vi kan använda oss av.

$(a+b)^0=1$

$(a+b)^1=a+b$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Om vi här ställer upp koefficienterna i vänsterledet ovanpå varandra så får vi följande:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Här kan vi se att koefficienterna i en utveckling kan tas fram genom att man först sätter ut en etta i början och slutet på nästa rad. Sedan bildas talen mellan dessa genom att addera de två talen ovanför. Exempelvis får vi raden 1 4 6 4 1 genom 1, 1+3, 3+3, 3+1, 1. Om du automatiskt vill hitta fler koefficienterna för högre utvecklingar så kan du använda generatorn här nedan.

Notera även att det finns ett mönster för hur exponenterna utvecklas. Om vi tittar på utvecklingen av

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

så kan vi se att exponenten till a minskar för varje term samtidigt som exponenten för b ökar med ett steg för varje term!

Med hjälp av detta kan vi alltså utveckla binom med mycket höga exponenter och ändå göra det på ett snabbare och mer effektivt sätt. Genom att ha en metod så minskar vi även risken att göra enklare räknefel.

Lista fler koefficienter och Rita ut Sierpinski

Här kan du lista fler rader (än ovan nämnda) i pascals triangel. Du kan även färglägga jämna och ojämna tal och därmed få en approximation till Sierpinskis triangel.

Approximera Sierpinski, Färger

Läs mer

• Köningsbergs 7 broar
• Primtal och Eratosthenes såll
• Kotten och Fibonacci

För några veckor sedan släppte vi kursen till Matte 5 här på MatematikVideo och denna har nu även fått sin första påfyllning av videos på området grafteori. Jag tänkte därför blogga lite om just detta område och då särskilt de broar som till viss del har varit orsaken till att grafteorin har skapats.

Köningsbergs 7 broar och Euler

Det klassiska problem som i mångt och mycket gav upphov till grafteorin kallas för Köningsbergs 7 broar. Det var nämligen så att man i staden Köningsberg (nuvarande Kaliningrad) funderade på följande fråga i staden:

”Går det att passera alla broar som binder samman de två öarna med fastlandet utan att passera varje bro mer än en gång?”

Ingen hade under sin söndagspromenad över broarna hittat ett sätt att genomföra denna typ av vandring genom staden.

När Leonard Euler (Schweizisk matematiker) fick höra talas om problemet bestämde han sig för att försöka undersöka om detta var möjligt. Det han då gjorde var att rita en slags schematisk bild över broarna (det som kom att kallas grafer) för att på detta vis få en bra överblick över hur dessa kopplades samman. Det var inte bara smart ur bekvämlighetsperspektiv (han slapp vandra fram och tillbaka) utan gjorde också att han kunde bevisa att denna promenad faktiskt var omöjlig.

Det han visade var att om det finns två eller flera noder som har ett ojämnt antal kanter så är det omöjligt att genomföra en sådan vandring.

Numera är faktiskt denna vandring möjlig men inte för att Eulers bevis inte stämde. Istället raderade andra världskriget två av broarna och en ny bro byggdes vilket möjliggjorde vandringen.

Eulerväg, Eulerkrets och grafteori

En väg som beskriver en vandring enligt problemet ovan kallas för en Eulerväg. Om vandringen också skall starta och sluta i samma hörn (kallas också för nod) så kallas denna vandring istället för en Eulerkrets. Detta är alltså det man inom grafteorin kallar för en sluten vandring då man startar och slutar i samma hörn.

Detta problem är alltså en av orsakerna till att vi idag jobbar med området grafteori i kursen matematik 5. Man kan tycka att det faktiskt inte verkar vara så stor praktisk nytta med att förstå detta område. Men grafteorin innehåller numera en rad andra tillämpningar som faktiskt kan komma till användning. Exempelvis kan man med grafteori bygga upp metoder för att hitta kortaste vägar mellan orter eller för att minimera kostnader.

Läs mer om matematik och kända problem

• Primtal, Eratosthenes såll och att få betalt för primtal
• Kotten och Fibonacci
• Get eller Bil – Monty Hall problemet

i 3 stycken blogginlägg har jag här på Matematikvideo.se introducerat det område inom den diskreta matematiken som kallas för kombinatorik. Du hittar det första inlägget här (introduktion och lådprincipen) och det andra här (additions- och multiplikationsprincipen).

I det här sista inlägget tänkte jag att vi skulle kika på det som kallas för kombinationer och permutationer.

Kombination och permutation – Vilka frågor besvaras?

De flesta principer och metoder inom kombinatorik handlar framförallt om att besvara frågan ”På hur många sätt?”. Man vill ofta ta reda hur många sätt som något kan göras, väljas ut eller grupperas om. Kombinationer och permutationer handlar framförallt om att man vill avgöra på hur många sätt som något kan väljas ut och här är det viktigt att hålla koll på om urvalet görs på ett ordnat eller oordnat vis. Hur skall man då förstå det här med ordning eller oordning i det här sammanhanget?

För att förklara det här så är det nog enklast att ta ett exempel. Låt säga att vi vill välja ut 3 besättningsmän till en båt ur en grupp på 20 personer.

Ett alternativ är då att välja ut personer till bestämda platser, tex till kapten, styrman och maskinist. Då säger man att urvalet skall ha en bestämd ordning och då kan vi använda det som kallas för permutationer för att veta hur många sätt som detta kan göras på.

Om urvalet inte görs på ett sätt där det får bestämda platser så kallas det istället för en kombination. Här kan man från exemplet säga att man istället bara väljer ut 3 besättningsmän och att dessa inte har några bestämda platser.

Hur beräknas permutationer och kombinationer?

För att kunna göra beräkningar på kombinationer och permutationer så behöver man känna till det som kallas för fakultet och som betecknas ! (utropstecken). Om man exempelvis skall beräkna 4! så multipliceras alla heltal från 4 till 1 med varandra för att få resultatet. Några exempel kan då vara:

• $4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24$
• $5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120$
• $0! = 1$ (definieras på detta vis).

För att sedan beräkna en permutation (urvalet är ordnat) så gäller följande

• $P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ – Detta innebär att du beräknar antal permutationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer till bestämda platser så kan detta göras på

• $P(20,3) = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20⋅19⋅18 = 6840$ olika sätt.

När du skall beräkna en kombination (urvalet är oordnat) så görs detta istället enligt

• $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – Detta innebär att du beräknar antal kombinationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer där ordningen inte spelar någon roll så kan detta göras på

$C(20,3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20⋅19⋅18}{6} =  1140$ olika sätt.

Träna på att se när olika principer går att använda

När man håller på med kombinatorik så är det sällan som algebran eller aritmetiken är särskilt krånglig eller kräver särskilt många steg. Istället så är den största utmaningen oftast att förstå själva frågan och vilken av alla principer som går att använda. Ett viktigt moment när du jobbar med denna typ av matematik är därför att sätta sig in i alla principer, försöka se skillnader mellan dessa och att träna mycket på dessa.

Med de här avslutande orden om kombinatorik så avslutar vi denna lilla bloggserie i 3 delar. Hoppas att du som letar grundläggande information i detta ämne har lärt dig något nytt och att du fått en bra övergripande bild av området.

I det första inlägget om kombinatorik skrev jag om vad kombinatorik är och vilka typer av frågor som denna del inom matematiken svarar på. Nu tänkte jag att vi tar det här ett steg till och fortsätter att se fler principer. Nu skall vi kika på multiplikationsprincipen och additionsprincipen.

Multiplikationsprincipen – Antalet val du kan göra i följd

Om du skall göra ett val efter ett eller flera andra val så är det multiplikationsprincipen som används. Den säger nämligen följande:

”Om ett första val kan göras på x olika sätt och nästa val på y olika vis så kan de bägge valen göras på x⋅y sätt om de görs efter varandra. Gäller även för flera än 2 val i följd.”

Vi kan ta ett exempel på detta.

• På hur många sätt kan du dra 3 kungar på raken om du plockar  3 kort på raken i en kortlek med 52 kort?
• Det första valet kan göras på 4 olika sätt, det andra på 3 olika sätt (tur som vi har så har vi ju redan dragit en kung) och det sista på 2 olika sätt.
  För att beräkna det totala antalet val så får vi enligt multiplikationsprincipen beräkna 4⋅3⋅2 = 24. Det finns alltså 24 olika sätt att dra 3 kungar på raken ur en kortlek med 52 kort.

Multiplikationsprincipen kan också kombineras med additionsprincipen, men innan vi gör det behöver vi gå igenom vad just denna säger.

Additionsprincipen – Val från en grupp ELLER en annan grupp

Nyckelordet när det gäller additionsprincipen är ordet ”eller”. Det är nämligen när vi gör val från en grupp eller en annan grupp som additionsprincipen kommer till användning. Den säger följande:

”Om man väljer ett föremål från en grupp med x föremål ELLER ett föremål från en grupp med y föremål så kan detta göras på x + y sätt.”

Här handlar det alltså om val av ett visst antal föremål från en samling föremål eller en eller flera samlingar av föremål. Vi tar ett enkelt exempel på detta.

•  Du kastar 2 tärningar. På hur många sätt kan du få summan 2 eller 3 när du kastar två kast?
• Man kan få summan 2 på ett sätt. Man kan få summan 3 två sätt. Enligt additionsprincipen kan man få summan 2 eller 3 på 1 + 2 = 3 olika sätt.

Multiplikationsprincipen och additionsprincipen kombinerade

Det är också ganska vanligt att dessa två principer kombineras med varandra. Låt oss ta ett exempel även på detta.

• Du skall välja kläder att ha på dig under dagen. I en garderob finns det 3 par byxor och 4 T-shirts och i en annan garderob finns det 8 par byxor och 10 T-shirt. På hur många sätt kan du välja en byxa och en T-shirt om du väljer från den ena garderoben eller den andra garderoben?
• Här kan vi enligt multiplikationsprincipen välja klädesplagg på 3⋅4 = 12 sätt från den första garderoben och 8⋅10 = 80 olika sätt från den andra. Additionsprincipen ger att det finns finns 12 + 80 = 92 olika val om vi väljer från den första eller den andra garderoben.

Läs mera

• Vad är kombinatorik

Den senaste tiden har vi på matematikvideo.se fyllt på med fler genomgångar för dig som läser matematik 2a,b eller c och då framförallt videogenomgångar till ett nationellt prov i matematik 2c.

Att träna på gamla nationella prov är ett alldeles utmärkt sätt för att få en helhetsbild över sin kurs, repetera områden som behandlats tidigare och inte minst för att vässa sina kunskaper och sin problemlösningsförmåga inför kommande nationellt prov till 2c, 2b eller 2a.

Nationellt prov matte 2c – Se lösning på 3 uppgifter från del 3

Exempel i videon

16. Två likformiga rektanglar har olika mått. Rektangel A har sidorna 4 cm och 6 cm och rektangel B har en
    sida som är 12 cm. Vilka kan den andra sidan hos rektangel B ha?
17. En linje L₁ ritas genom punkterna A och B och en linje L₂ ritas genom punkterna C och D. Avgör om dessa bägge linjer är parallella eller inte.
18. Marcus sätter in en stek i ugnen klockan 14.30. Då är temperaturen i steken 16,5 °C. Därefter ökar temperaturen T C° i steken enligt sambandet: T(t) = 16,5⋅1,0085^(t) där t är tiden i minuter. När stektermometern visar 77 °C är steken klar. Hinner steken bli klar till klockan 18.00 då Marcus ska bjuda på middag?

I genomgången här ovan så går vi igenom några av uppgifterna från del 3 i ett nationellt prov i matematik 2c från vårterminen 2012. Det är uppgifter som handlar om geometri, ekvationslösning, räta linjer och parallella linjer och exponentialfunktioner, exponentialekvationer och logaritmer.

Detta är områden som är mycket viktiga i matematik 2b och matematik 2c och som man verkligen behöver ha koll på så det här kan vara en bra video att se för att kolla att man känner till dessa begrepp.

Tips på mer läsning om nationella prov

• 10 tips inför ett nationellt prov
• Inför ett nationellt prov

I det här blogginlägget skall vi kika närmare på det som kallas för primtal. Vi skall undersöka hur man egentligen kan hitta hitta dessa tal, vad de används till och om man kan få bra betalt för att hitta dem?

Vad ett primtal är och vad de är bra för

Ett primtal är ett tal som endast är delbart med 1 och sig själv. Vad betyder egentligen detta? Jo för att ett tal p skall vara ett primtal så kan det inte finnas något tal mellan 1 och p som delar just det tal (så att ett helta ges som resultat).

Exempel på primtal kan vara 7, 23 eller 29. Inget av dessa tal kan delas med något annat än sig själv eller 1. Exempel på tal som inte är primtal kan vara 9, 15, 21. Alla dessa tal är exempelvis delbara med talet 3.

Så vad används egentligen primtal till? Idag är det framförallt inom datorsäkerhet som dessa primtal används inom det som kallas för RSA kryptering. Dessa tal och produkter av dessa har visat sig vara mycket användbara för att säkert kunna skicka information mellan datorer.

Hur hittar du primtal på ett effektivt sätt?

Matematiker har genom alla tider varit väldigt intresserade av primtal och letat efter de allra bästa algoritmerna för att hitta just primtal. I vissa fall så har även detta visat sig vara lönsamt (se mer nedan).

I den allra enklaste formen av algoritm (instruktioner/metod för att lösa något eller hitta något) så skulle man kunna ta ett tal och sedan testa om det finns något tal mindre än detta tal som delar ursprungstalet. Det här innebär att algoritmen kommer att vara väldigt ineffektiv. Om vi letar efter mycket stora primtal så kommer vi (dvs datorn) att få jobba väldigt, väldigt mycket.

Nu finns det diverse olika algoritmer för att snabbare hitta primtal där den kändaste nog är Eratosthenes såll. Eratosthenes levde cirka 200 f.Kr. och är bland annat känd för att han kunde bestämma jordens storlek. Han gjorde alltså även en algoritm kallad för Eratosthenes såll som lyder enligt följande:

1. Gör en lista på alla tal från 2 till ett högsta tal, vi kallar det högsta talet för m.
2. Ta bort alla jämna tal från listan som är större än 2. (Ett alternativ för oss som har datorer är att direkt göra en lista på alla udda tal större än 2).
3. Det första talet i listan är nu ett primtal (talet 3 vid första iterationen).
4. Ta nu bort alla tal som är delbara av det första primtalet. Dessa tal kan ju inte vara ett primtal.
5. Upprepa nu steg 3 och 4 tills du har nått ett tal som är större än kvadratroten ur ditt maxtal m.
6. De tal som blir kvar i listan är nu primtal.

Om du sätter dig in i metoden här ovan så kommer du att märka att i jämförelse med den första, mer tidskrävande metoden, så finns det ett antal olika effektiviseringar av algoritmen. Men många matematiker anser ändå att denna metod är allt för tidskrävande och effektiv och har därför utvecklat ännu mer avancerade metoder för att hitta så stora primtal som möjligt.

Bland annat så finns det ett projekt som heter GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) där man använder internets hjälp för att använda flera datorer världen över för att hitta primtal. Med hjälp av detta har de hittat det enormt stora primtalet $2^{57,885,161}-1$.

Kan man få betalt för att hitta primtal?

Ibland hör man rykten om att det faktiskt skulle kunna gå att tjäna pengar på att hitta primtal då dessa är så eftertraktade inom kryptografin. Detta stämmer dock bara med viss modifikation. Det finns visserligen priser som belönar de som hittar extremt stora primtal. Du kan exempelvis få 250 000 $ av Electronic Frontier Foundation om du hittar ett primtal med över 1,000,000,000 siffror. Det här är dock extremt svårt och kräver mängder av datorkapacitet och tur.

Men att företag som använder RSA kryptering skulle vara intresserade av stora primtal stämmer tydligen inte. Det behövs egentligen inte särskilt stora primtal för att just denna typ av kryptering skall vara säker.