Vad är det som gör att vi upplever något som vackert, harmoniskt eller proportionerligt? Man brukar ju säga att smaken är som baken (delad) men i många fall så upplever vi människor vissa saker som vackra eller inte.

I det här blogginlägget tänkte jag att vi skulle titta på ett förhållande som kallas för gyllene snittet som är ett alldeles speciellt förhållande mellan längder. Det är nämligen så att detta återkommer om och om igen i naturen och vi människor ofta upplever det som vackert. Vi skall börja med att försöka återskapa detta förhållande med passare och linjal fast i digital form.

Varför uppskattar vi det gyllene snittet och hur används det?

Om vi skulle filosofera lite (gissa) kring varför det gyllene snittet upplevs som vackert så kan det bero på att det faktiskt återkommer i naturen på många olika vis. Det här påverkar såklart oss människor. Du kan hitta det gyllene snittet i alltifrån grankottar, fibonaccis talföljd, tavlor till hur solrosor ser ut så säkerligen har vi människor påverkats av detta.

Låt säga att vi skall måla ett landskapsmotiv och vill använda oss av att det gyllene snittet ofta upplevs som vackert om vi placerar horisonten efter detta då tavlan är 1 meter hög (vi målar ett stående motiv). Vi kan då använda oss av att vet att gyllene snittet är cirka 1.618 för att placera ut horisonten ungefär rätt.

Så om vi tänker oss att a/b = 1,618 så ger det oss att a = 1,618⋅b. Eftersom att tavlan är 1 meter hög så vet vi att

$ 1,618b + b = 1  ⇔ b = 0,38 $

Dvs vi drar vårt röda gyllene streck på höjden (ungefär) 38 cm och ritar vårt landskap under detta. Förhoppningsvis kommer då våra utställningsbesökare att uppskatta tavlan och vi säljer den kanske dyrt ;-).

Hur definieras det gyllene snittet?

Det kan också vara intressant att gå in på hur det gyllene snittet kan tas fram mer exakt. För detta så måste vi gå till definitionen av gyllene snittet:

När en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så är det gyllene snittet när förhållandet mellan a och b är samma som förhållandet mellan a+b till a. Dvs att
$ \text{Gyllene snittet} = \varphi = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} $

Vi gör så att vi sätter $ \text{Gyllene Snittet} = \varphi $ och vi vet att
1) $ \varphi = \frac{a+b}{a} $
2) $ \varphi = \frac{a}{b} $

Vi delar alla delar i 1) med b och får då

Från 2) vet vi att $ \varphi = \frac{a}{b} $. Vi byter därför ut $\frac{a}{b}$ mot $\varphi$ så att vi får att

$\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}} = \frac{\varphi+1}{\varphi} $

Detta skall vara lika med det gyllene snittet $ \varphi $ så vi får därmed följande ekvation:
$ \frac{\varphi+1}{\varphi} = \varphi ⇔ $ (Förläng med $ \varphi $)
$ \varphi+1 = \varphi^2 ⇔ $ (Flytta över till en sida om likhetstecknet)
$ \varphi^2-\varphi-1 = 0 ⇔ $

Här kan vi används oss av pq-formeln för att lösa ut $ \varphi $ men vi tar bara med den positiva lösningen då det är geometriska avstånd som avses:
$ \varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $

Nu har vi det gyllene snittet:
$ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≈ 1.61803398874989 $

Läs mer om Matetematik

• Att dela med noll – Vad händer egentligen?
• Vad är oändligheten?

I kursen matte 5 på gymnasiet läser man om kombinatorik och binomialsatsen och då stöter man på något som kallas för Pascals triangel. Det här är ett fascinerande sätt att enkelt kunna utveckla så kallade binom (mer om vad det är snart) som har högre grad än 2.

Vem var Pascal?

Räknemaskinen Pascalline skapad av Blaise Pascal

Den som har fått ge namn åt denna triangel, uppbyggd av tal, är den franske matematikern Blaise Pascal som levde på 1600 – talet. Pascal var verksam inte bara inom matematik utan även inom fysik och religion.

Pascal räknas bland annat som den förste att uppfinna en räknemaskin som mekaniskt kunde räkna addition och subtraktion. Hans räknemaskin, som kallades för Pascalline användes bland annat för att förenkla räknearbetet i hans fars affär.

Pascal har även fått ge namn åt den fysikaliska enheten för tryck och åt programmeringsspråket Pascal.

Binom och Pascals triangel

Så vad är då ett binom och pascals triangel?

Förklaring av koefficient, variabel och exponent

Ett binom är ett algebraiskt uttryck med två stycken termer, exempelvis $(a+b)$ eller $(x^2+2)$. Vanligt är man på gymnasiet övar sig att utveckla sådan uttryck med hjälp av kvadreringsreglerna, exempelvis att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ men hur gör man egentligen om man skall utveckla $(a+b)^3$, $(a+b)^4$ eller $(a+b)^8$? Om du själv provar att utveckla dessa uttryck kommer du att märka att det blir en hel del räknearbete. Väldigt mycket och ganska tråkigt räknearbete också.

Om vi ändå skulle göra några av dessa utvecklingar så kan vi se ett mönster som vi kan använda oss av.

$(a+b)^0=1$

$(a+b)^1=a+b$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Om vi här ställer upp koefficienterna i vänsterledet ovanpå varandra så får vi följande:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Här kan vi se att koefficienterna i en utveckling kan tas fram genom att man först sätter ut en etta i början och slutet på nästa rad. Sedan bildas talen mellan dessa genom att addera de två talen ovanför. Exempelvis får vi raden 1 4 6 4 1 genom 1, 1+3, 3+3, 3+1, 1. Om du automatiskt vill hitta fler koefficienterna för högre utvecklingar så kan du använda generatorn här nedan.

Notera även att det finns ett mönster för hur exponenterna utvecklas. Om vi tittar på utvecklingen av

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

så kan vi se att exponenten till a minskar för varje term samtidigt som exponenten för b ökar med ett steg för varje term!

Med hjälp av detta kan vi alltså utveckla binom med mycket höga exponenter och ändå göra det på ett snabbare och mer effektivt sätt. Genom att ha en metod så minskar vi även risken att göra enklare räknefel.

Lista fler koefficienter och Rita ut Sierpinski

Här kan du lista fler rader (än ovan nämnda) i pascals triangel. Du kan även färglägga jämna och ojämna tal och därmed få en approximation till Sierpinskis triangel.

Läs mer

• Köningsbergs 7 broar
• Primtal och Eratosthenes såll
• Kotten och Fibonacci

För några veckor sedan släppte vi kursen till Matte 5 här på MatematikVideo och denna har nu även fått sin första påfyllning av videos på området grafteori. Jag tänkte därför blogga lite om just detta område och då särskilt de broar som till viss del har varit orsaken till att grafteorin har skapats.

Köningsbergs 7 broar och Euler

Det klassiska problem som i mångt och mycket gav upphov till grafteorin kallas för Köningsbergs 7 broar. Det var nämligen så att man i staden Köningsberg (nuvarande Kaliningrad) funderade på följande fråga i staden:

”Går det att passera alla broar som binder samman de två öarna med fastlandet utan att passera varje bro mer än en gång?”

Ingen hade under sin söndagspromenad över broarna hittat ett sätt att genomföra denna typ av vandring genom staden.

När Leonard Euler (Schweizisk matematiker) fick höra talas om problemet bestämde han sig för att försöka undersöka om detta var möjligt. Det han då gjorde var att rita en slags schematisk bild över broarna (det som kom att kallas grafer) för att på detta vis få en bra överblick över hur dessa kopplades samman. Det var inte bara smart ur bekvämlighetsperspektiv (han slapp vandra fram och tillbaka) utan gjorde också att han kunde bevisa att denna promenad faktiskt var omöjlig.

Det han visade var att om det finns två eller flera noder som har ett ojämnt antal kanter så är det omöjligt att genomföra en sådan vandring.

Numera är faktiskt denna vandring möjlig men inte för att Eulers bevis inte stämde. Istället raderade andra världskriget två av broarna och en ny bro byggdes vilket möjliggjorde vandringen.

Eulerväg, Eulerkrets och grafteori

En väg som beskriver en vandring enligt problemet ovan kallas för en Eulerväg. Om vandringen också skall starta och sluta i samma hörn (kallas också för nod) så kallas denna vandring istället för en Eulerkrets. Detta är alltså det man inom grafteorin kallar för en sluten vandring då man startar och slutar i samma hörn.

Detta problem är alltså en av orsakerna till att vi idag jobbar med området grafteori i kursen matematik 5. Man kan tycka att det faktiskt inte verkar vara så stor praktisk nytta med att förstå detta område. Men grafteorin innehåller numera en rad andra tillämpningar som faktiskt kan komma till användning. Exempelvis kan man med grafteori bygga upp metoder för att hitta kortaste vägar mellan orter eller för att minimera kostnader.

Läs mer om matematik och kända problem

• Primtal, Eratosthenes såll och att få betalt för primtal
• Kotten och Fibonacci
• Get eller Bil – Monty Hall problemet

i 3 stycken blogginlägg har jag här på Matematikvideo.se introducerat det område inom den diskreta matematiken som kallas för kombinatorik. Du hittar det första inlägget här (introduktion och lådprincipen) och det andra här (additions- och multiplikationsprincipen).

I det här sista inlägget tänkte jag att vi skulle kika på det som kallas för kombinationer och permutationer.

Kombination och permutation – Vilka frågor besvaras?

De flesta principer och metoder inom kombinatorik handlar framförallt om att besvara frågan ”På hur många sätt?”. Man vill ofta ta reda hur många sätt som något kan göras, väljas ut eller grupperas om. Kombinationer och permutationer handlar framförallt om att man vill avgöra på hur många sätt som något kan väljas ut och här är det viktigt att hålla koll på om urvalet görs på ett ordnat eller oordnat vis. Hur skall man då förstå det här med ordning eller oordning i det här sammanhanget?

För att förklara det här så är det nog enklast att ta ett exempel. Låt säga att vi vill välja ut 3 besättningsmän till en båt ur en grupp på 20 personer.

Ett alternativ är då att välja ut personer till bestämda platser, tex till kapten, styrman och maskinist. Då säger man att urvalet skall ha en bestämd ordning och då kan vi använda det som kallas för permutationer för att veta hur många sätt som detta kan göras på.

Om urvalet inte görs på ett sätt där det får bestämda platser så kallas det istället för en kombination. Här kan man från exemplet säga att man istället bara väljer ut 3 besättningsmän och att dessa inte har några bestämda platser.

Hur beräknas permutationer och kombinationer?

För att kunna göra beräkningar på kombinationer och permutationer så behöver man känna till det som kallas för fakultet och som betecknas ! (utropstecken). Om man exempelvis skall beräkna 4! så multipliceras alla heltal från 4 till 1 med varandra för att få resultatet. Några exempel kan då vara:

• $ 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 $
• $ 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 $
• $ 0! = 1 $ (definieras på detta vis).

För att sedan beräkna en permutation (urvalet är ordnat) så gäller följande

• $ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal permutationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer till bestämda platser så kan detta göras på

• $ P(20,3) = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20⋅19⋅18 = 6840 $ olika sätt.

När du skall beräkna en kombination (urvalet är oordnat) så görs detta istället enligt

• $ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal kombinationer av k element bland n element.

Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer där ordningen inte spelar någon roll så kan detta göras på

$ C(20,3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20⋅19⋅18}{6} =  1140 $ olika sätt.

Träna på att se när olika principer går att använda

När man håller på med kombinatorik så är det sällan som algebran eller aritmetiken är särskilt krånglig eller kräver särskilt många steg. Istället så är den största utmaningen oftast att förstå själva frågan och vilken av alla principer som går att använda. Ett viktigt moment när du jobbar med denna typ av matematik är därför att sätta sig in i alla principer, försöka se skillnader mellan dessa och att träna mycket på dessa.

Med de här avslutande orden om kombinatorik så avslutar vi denna lilla bloggserie i 3 delar. Hoppas att du som letar grundläggande information i detta ämne har lärt dig något nytt och att du fått en bra övergripande bild av området.