00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Ett sätt att beskriva funktioner på, är med beteckningen $f(x)$. Beteckningen $f(x)$ƒ (x) ska förstås som ”funktionen som beror av variabeln $x$x”.

Då du beräknar värdet av till exempel $f\left(2\right)$ƒ (2) får du funktionens värde för just $x=2$x=2. Ofta anges funktionens värde med ett $y$y vilket ger att  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x). 

Så fungerar f(x) och funktioner

 y=f(x)y=f\left(x\right)y=ƒ (x) motsvarar ett matematiskt samband som beskrivs med en formel eller en ekvation och ger funktionens värde för det xxx-värde man sätter in i funktionsuttrycket. 

Det värde som ges vid beräkning av formelns värde när vi sätter in ett visst xxx-värde, är samma sak som y y -värdet.

Exempel 1

Beräkna yyy -värdet då x=2x=2x=2 för funktionen  f(x)=3x+5f\left(x\right)=3x+5ƒ (x)=3x+5 

Lösning

Vi får yyy-värdet genom att beräkna funktionsvärdet f(2)f\left(2\right)ƒ (2). Det gör vi genom att ersätta xxx  i funktionsuttrycket med värdet 222. Vi får att

 f(2)=32+5=6+5=11f\left(2\right)=3\cdot2+5=6+5=11ƒ (2)=3·2+5=6+5=11 

Så funktionen har värdet y=11y=11y=11 då x=2x=2x=2.

Exempel 2

Beräkna f(3)f\left(3\right)ƒ (3) då f(x)=2x4f(x)=2x-4ƒ (x)=2x4 

Lösning

Vi beräknar funktionsvärdet f(3)f\left(3\right)ƒ (3) genom att ersätta xxx i funktionsuttrycket med värdet  333.

 f(3)=234=64=2f(3)=2\cdot3-4=6-4=2ƒ (3)=2·34=64=2 

Vi får alltså att  f(3)=2f\left(3\right)=2ƒ (3)=2  vilket innebär att yyy-värdet är 222 när  x=3x=3x=3.

 f(x)f(x)ƒ (x) motsvarar alltså en formel som beskriver funktionen, d.v.s. sambandet mellan xxx och yyy. Nyttan med denna är framförallt allt att det blir mycket tydligare hur man räknar ut funktionens värde.

Oberoende och beroende variabeln

En bild för att förstå funktioner

När man använder den här formeln så kallar vi värdet vi ersätter variabeln med för den oberoende variabeln, ofta används xxx. Resultatet som beräknas, det vill säga funktionsvärdet, kallas för den beroende variabeln, ofta motsvarar det yyy-värdet.

En funktion av en funktion

Det kan uppstå situationer där funktionens värde påverkas av en annan funktions värde. Detta kommer vi studera mer ingående i kommande genomgångar, men för nu så tittar vi bara på värden av ett sådant funktions uttryck kan beräknas.

Exempel 3

Låt  f(x)=2x5f(x)=2x-5ƒ (x)=2x5  och  g(x)=2x+1g\left(x\right)=2x+1g(x)=2x+1.  Förenkla  f(g(x))f(g(x))ƒ (g(x))

Lösning

Vi löser uppgiften stegvis. Vi ersätter variabeln xxx i funktionsuttrycket f(x)f\left(x\right)ƒ (x) med g(x)g\left(x\right)g(x) och får att
 f(g(x))=2g(x)5f(g(x))=2\cdot g(x)-5ƒ (g(x))=2·g(x)5

Vi ersätter alltså xxx i funktionen ffƒ med funktionen ggg.

Då g(x)=2x+1g\left(x\right)=2x+1g(x)=2x+1  kan vi skriva om uttrycket 
 f(g(x))=2g(x)5=2(2x+1)5f\left(g\left(x\right)\right)=2\cdot g\left(x\right)-5=2(2x+1)-5ƒ (g(x))=2·g(x)5=2(2x+1)5 

vilket vi kan förenkla till 

 2(2x+1)5=4x+25=4x32(2x+1)-5=4x+2-5=4x-32(2x+1)5=4x+25=4x3 

Vi får alltså att f(g(x))=4x3f\left(g\left(x\right)\right)=4x-3ƒ (g(x))=4x3   

Lite krångligt till en början, men jobba metodiskt stegvis så brukar det lösa sig efter lite träning.

Exempel i videon

  • f(x)=x², bestäm y då x=1 och x=3.
  • Funktionen y = f(x) beskrivs med formeln f(x) = x² + 1, beräkna y då x = 2.
  • I koordinatssystemet är grafen till y = f(x) utritad, bestäm
    a) f(-3)
    b) f(x) = 3