Binomialsatsen och Pascals triangel

Pascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (Algebraiska uttryck med 2 termer) utvecklas. I Pascals triangel ges hela tiden koefficienterna genom att addera de två närmaste talen ovanför. Varje rad påbörjas och avslutas med en etta. Dessa två ettor är alltså koefficienterna framför den först och den sista termen.

De första 5 raderna i Pascals triangel är därför

• 1
• 1 1
• 1 2 1 (2:an ges av att addera 1+1 = 2)
• 1 3 3 1 (3:an ges genom att addera 1+2 = 3)
• 1 4 6 4 1
• 1 5 10 10 5 1

Så om man utvecklar $(a+b)^5$ kommer koefficienterna framför termerna att vara 1 5 10 10 5 1. Pascals triangel underlättar alltså en hel del för de allra första binomialutvecklingarna. Men för att få med alla typer av binom som kan utvecklas så behöver vi se hur binomialsatsen fungerar och hur vi kan utveckla binom med högre exponent.

Binomialsatsen ger utvecklingen av binom på formen $(a+b)^n$. Här ges koefficienterna och exponenterna genom kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:

Om vi utvecklar $(a+b)^5$ kan man alltså få både koefficienter och exponenter för a och b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.

• Utveckla $(a+b)$, $(a+b)^2$, $(a+b)^3$, $(a+b)^4$
• Utveckla $(a + b)^5$
• Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a + b)^4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)$