Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Fysik 2
/ Kraft och Rörelse
Cirkulär centralrörelse
I den här lektionen tittar vi på cirkulär centralrörelse. Det är när objekt färdas med konstant fart i cirkelformade banor kring ett centrum. Ett exempel på cirkulär centralrörelse är om vi snurrar ett objekt i ett snöre över huvudet. Planet- och satellitbanor kan också approximeras som cirkulär centralrörelse i vissa sammanhang.
Från fysik 1 är vi bekanta med Newtons första lag som säger att ett objekt i rörelse rör sig rakt fram såvida det inte tvingas ändra sin rörelseriktning av en resulterande kraft.
Om det inte fanns någon resulterande kraft så skulle ju objektet fortsätta rakt fram med konstant hastighet. Detta gäller ju för varje punkt i cirkelrörelsen. Om vi t.ex. snurrar ett objekt i ett snöre över huvudet och snöret skulle gå av så skulle ju objektet avvika från cirkelbanan och fortsätta rakt fram.
Så för att ett objekt ska röra sig i en cirkelformad bana så måste en kraft riktad mot cirkelns centrum kontinuerligt påverka objektet genom att ändra dess riktning. Denna kraft kallas centripetalkraft och betecknas $F_c$Fc. Centripetalkraften är vinkelrät mot rörelseriktningen så den uträttar inget arbete på objektet som då inte heller ökar sin rörelseenergi och därmed inte heller den tangentiella farten $v$v.
Eftersom hastighet är en vektorstorhet som har både fart och riktning så innebär en riktningsändring att hastigheten ändras även om farten är konstant. Detta innebär att en cirkulär centralrörelse är en accelererad rörelse med en acceleration (centripetalaccelerationen $a_c$ac) riktad parallellt med centripetalkraften.
Observera att centripetalkraften inte är en ny kraft utan bara är ett annat sätt att säga “resulterande kraft vid cirkelrörelse med konstant fart”. Det är alltså alltid någon ”riktig” kraft som ”agerar” centripetalkraft. I situationen med objektet i snöret är det kraften i snöret som agerar centripetalkraft men det kan vara andra krafter som gör det, t.ex. tyngdkraften när det handlar om saker i omloppsbana som exempelvis en satellit.
Sammanfattning av samband
Centripetalacceleration
$a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2r}{T^2}=4\pi^2rf^2=\text{ω}^2r$ac=v2r =4π2rT2 =4π2rƒ 2=ω2r
Centripetalkraft
$F_c=ma_c$Fc=mac ger:
$F_c=m\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi^2mr}{T^2}=4\pi^2mrf^2=m\text{ω}^2r$Fc=mv2r =4π2mrT2 =4π2mrƒ 2=mω2r
Objektets banhastighet
$v=\frac{2\pi r}{T}$v=2πrT
Frekvens
$f=\frac{1}{T}$ƒ =1T
Objektets vinkelhastighet (rad/s)
$\text{ω}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$ω=2πT =2πƒ
Vinkeln $\alpha$α
$\alpha=\text{ω}t$α=ωt
Avståndet från jorden till solen är ungefär $1,5\cdot10^{11}$1,5·1011 m. Vilken massa har solen?
Lösning:
Vi har en situation enligt bilden. Vi approximerar jordens bana runt solen som en cirkel med radien $r=1,5\cdot10^{11}$r=1,5·1011 m. Vi kallar jordens massa $m_j$mj och solens massa $m_s$ms. Den kraft som håller jorden i omloppsbana runt solen och därmed agerar centripetalkraft $F_C=m_j\frac{v^2}{r}$FC=mjv2r är solens gravitationskraft, $F_g=G\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$Fg=Gmj·msr2 .
Vi kan alltså ställa upp:
$F_C=F_g$FC=Fg
$m_j\frac{v^2}{r}=G\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$mjv2r =Gmj·msr2
Vi förkortar bort jordens massa:
$\frac{v^2}{r}=G\frac{m_s}{r^2}$v2r =Gmsr2
och löser ut solens massa:
$m_s=\frac{v^2r}{G}$ms=v2rG
Frågan är nu hur stor jordens hastighet runt solen är? Vi har ju approximerat banan som en cirkel med radien r. Det innebär att sträckan som jorden färdas under omloppstiden T = ett år, är lika med omkretsen av cirkeln $O=2\pi r$O=2πr. Eftersom $v=\frac{s}{t}$v=st kan vi skriva:
$v=\frac{2\pi r}{T}$v=2πrT m/s
Vi sätter in detta i uttrycket för solens massa:
$m_s=\frac{v^2r}{G}=\frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2r}{G}=\frac{4\pi^2r^3}{T^2G}=\frac{4\pi^2\left(1,5\cdot10^{11}\right)^3}{\left(365\cdot24\cdot60\cdot60\right)^2\cdot6,67\cdot10^{-11}}\approx2\cdot10^{30}$ms=v2rG =(2πrT )2rG =4π2r3T2G =4π2(1,5·1011)3(365·24·60·60)2·6,67·10−11 ≈2·1030 kg
En satellit kretsar runt jorden i en cirkulär omloppsbana på en höjd av 1900 km över havsytan. Vilken omloppshastighet har satelliten?
Lösning:
Vi har en situation enligt bilden.
Eftersom satelliten utför en centralrörelse så måste det finnas en centripetalkraft. I detta fall är det gravitationskraften som agerar centripetalkraft.
Det innebär att vi kan ställa upp följande ekvation:
$F_g=F_c\Rightarrow G\cdot\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}=\frac{m_sv^2}{r}$Fg=Fc⇒G·mj·msr2 =msv2r
där $m_j$mj är jordens massa, $m_s$ms är satellitens massa och $r$r är avståndet mellan satelliten och jordens mittpunkt dvs. $r=r_j+h$r=rj+h där $r_j$rj är jordens radie och $h$h är satellitens höjd över havsytan.
Vi löser ut hastigheten $v$v ur ekvationen och får följande samband:
$v=\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r}}$v=√G·mjr
Nu sätter vi in värden:
$v=\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r_j+h}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}}{6,37\cdot10^6+1,9\cdot10^6}}\approx6,9\cdot10^3\text{ }\frac{m}{s}=6,9\text{ }\frac{km}{s}$v=√G·mjrj+h =√6,67·10−11·5,97·10246,37·106+1,9·106 ≈6,9·103 ms =6,9 kms
Vertikal cirkelrörelse
När vi har vertikal cirkelrörelse, t.ex. en motorcykel som genomför en loop i en lodrät cirkulär bana, så måste vi ta hänsyn till att det är flera krafter som verkar på motorcykeln, dels tyngdkraften som har samma storlek och riktning under hela loopen samt normalkraften på motorcykeln från underlaget vilken kommer att variera. Det är resultanten till tyngdkraften och normalkraften som kommer agera centripetalkraft, $F_c=F_g+N$Fc=Fg+N. Hastigheten varierar vanligtvis i den här typen av cirkelrörelser.
Vi tittar på kraftsituationen på bilen i fyra olika lägen under loopen. När vi arbetar med vertikal cirkelrörelse definierar vi positiv riktning radiellt mot centralrörelsens mitt, dvs. centripetalkraften är alltid positiv. :
I läge 1 har vi att normalkraften verkar i positiv riktning medan tyngdkraften verkar nedåt, i negativ riktning. Vi får följande situation:
$F_{C1}=N_1-mg=m\frac{v_1^2}{r}$FC1=N1−mg=mv12r
I läge 2 påverkar inte tyngdkraften i radiell riktning och bidrar därmed inte till centripetalkraften:
$F_{C2}=N_2=m\frac{v_2^2}{r}$FC2=N2=mv22r
I läge 3 har vi att både normalkraften och tyngdkraften verkar i centripetalaccelerationens riktning, dvs. de är positiva. Vi får följande situation:
$F_{C3}=N_3+mg=m\frac{v_3^2}{r}$FC3=N3+mg=mv32r
I läge 4 har vi återigen att tyngdkraften inte påverkar i radiell riktning och därmed inte bidrar till centripetalkraften:
$F_{C4}=N_4=m\frac{v_4^2}{r}$FC4=N4=mv42r
En bil kör genom en loop enligt bilden. Loopen har en radie på $5$5 meter och bilen väger $900$900 kg. Hur stor är normalkraften på bilen i det nedersta läget om hastigheten där är $30$30 km/h?
Lösning:
I det nedersta läget har vi att
$N_1-mg=m\frac{v_1^2}{r}$N1−mg=mv12r
Vi löser ut normalkraften och sätter in värden:
$N_1=m\frac{v_1^2}{r}+mg=m\left(\frac{v_1^2}{r}+g\right)=900\left(\frac{\left(\frac{30}{3,6}\right)^2}{5}+9,82\right)=21338$N1=mv12r +mg=m(v12r +g)=900((303,6 )25 +9,82)=21338 N
Svar: Normalkraften är ca $21$21 kN.
Konisk pendel
En kula som hänger i ett snöre och rör sig i en cirkel i horisontalplanet kallas för en ”konisk pendel”. Längden på snöret betecknar vi $l$l, cirkelns radie med $r$r och vinkeln som snöret bildar med lodlinjen för $\alpha$α.
Om $l=0,90$l=0,90 m och $\alpha=30^{\circ}$α=30∘, vad är kulans banhastighet?
Lösning:
Vi ritar ut kraftsituationen på kulan. De krafter som verkar på kulan är kraften i tråden $F_s$Fs snett uppåt samt tyngdkraften $F_g=mg$Fg=mg rakt nedåt. I y-led har vi jämvikt, kulan ligger ju kvar på samma höjd, dvs.
$F_{sy}=F_g$Fsy=Fg
I x-led, så har vi inte jämvikt utan vi har en accelererad rörelse dvs. en centripetalacceleration. Detta innebär att vi har en resulterande kraft, dvs. en centripetalkraft $F_c$Fc i radiell riktning som utgörs av den horisontella komposanten av kraften i snöret $F_{sx}$Fsx. Det är alltså denna kraft som ”agerar” centripetalkraft. Vi har alltså att:
$F_c=F_{sx}$Fc=Fsx
Vi kan då skriva tangens för vinkeln som:
$\tan\alpha=\frac{F_{sx}}{F_{sy}}=\frac{F_c}{F_g}=\frac{F_c}{mg}$tanα=FsxFsy =FcFg =Fcmg
Vi löser ut centripetalkraften:
$F_c=mg\cdot\tan\alpha$Fc=mg·tanα
Eftersom vi kan skriva centripetalkraften som $F_c=\frac{mv^2}{r}$Fc=mv2r så kan vi även skriva:
$mg\cdot\tan\alpha=\frac{mv^2}{r}$mg·tanα=mv2r
Vi förkortar bort massan och löser ut hastigheten:
$v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}$v=√rg·tanα
Återstår dock att lista ut vad radien är. Vi använder att radien blir motstående katet till vinkeln $\alpha$α och kan skriva:
$r=l\cdot\sin\alpha=0,90\cdot\sin30^{\circ}=0,45$r=l·sinα=0,90·sin30∘=0,45 m
Vi kan nu beräkna hastigheten:
$v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}=\sqrt{0,45\cdot9,82\cdot\tan30^{\circ}}\approx1,6$v=√rg·tanα=√0,45·9,82·tan30∘≈1,6 m/s
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Månen ligger i omloppsbana runt jorden i en bana vi kan approximera som en cirkel och gör ett varv på $27$27 dagar. Avståndet till månen från jorden är $384\text{ }400$384 400 km. Beräkna jordens massa. Svara i grundpotensform med en värdesiffra.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
Planeten Mars går i en omloppsbana runt solen som vi kan approximera som en cirkelrörelse. Mars färdas runt solen med en medelhastighet på $24$24 km/s. Om solens massa är $2,0\cdot10^{30}$2,0·1030 kg vad är avståndet mellan solen och Mars? Ange svaret i grundpotensform med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Alice genomför en fysiklaboration där hon har fäst en boll med massan $600$600 g på ett lätt snöre som hon fört genom ett friktionslöst plaströr enligt bilden. Längst ner i snöret har hon fäst en dynamometer som kan mäta kraften i snöret. Då hon snurrar bollen med konstant hastighet och en konstant radie på $1,4$1,4 m visar dynamometern $3,0$3,0 N. Beräkna vinkelhastigheten. Svara i rad/s med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En motorcykel kör genom en loop enligt bilden. Loopen har en radie på $6,0$6,0 meter. Beräkna normalkraften på motorcykeln i banans högsta punkt om hastigheten är $35$35 km/h och motorcykeln + förare väger $250$250 kg.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Du har anställts för att planera ett horisontellt (dvs. platt) vägavsnitt åt kommunen. Under en del av vägen måste du bygga en cirkulär kurva enligt bilden. Om radien på cirkeln är $200$200 m och friktionskoefficienten mellan däck och vägbana är $0,35$0,35, vilken hastighetsbegränsning är lämplig att ha i kurvan?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
6. Premium
Du har en konisk pendel enligt bilden nedan. Om snörets längd är $1,2$1,2 m och vinkeln $\alpha=35^{\circ}$α=35∘, vad är omloppstiden? Svara med lämpligt antal värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
När en bil gör en loop så är det som mest kritiskt i det översta läget då bilen är uppochned. Om hastigheten är för låg här så kommer normalkraften att bli noll vilket innebär att bilen tappar kontakt med vägbanan och förlorar friktionen, dvs. den kan inte röra sig framåt och den kommer falla. Om radien på loopen är $7,0$7,0 meter, vilken fart måste bilen ha för att inte falla? Avrunda svaret till hela km/h.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.