Cirkulär centralrörelse

Exempel 1

Avståndet från jorden till solen är ungefär  $1,5\cdot10^{11}$1,5·10¹¹  m. Vilken massa har solen?

Lösning

Vi har en situation enligt bilden. Vi approximerar jordens bana runt solen som en cirkel med radien $r=1,5\cdot10^{11}$r=1,5·10¹¹  m. Vi kallar jordens massa  $m_j$m_j  och solens massa  $m_s$m_s . Den resulterande kraft som håller kvar jorden i omloppsbanan runt solen, och därmed agerar centripetalkraft, är solens gravitationskraft: 
$F_g=G$F_g=G $\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$m_j·m_sr²  

Vi kan alltså ställa upp:

 $F_c=F_g$F_c=F_g 

 $m_j$m_j $\frac{v^2}{r}=$v²r = $G$G $\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$m_j·m_sr²  

Vi förkortar bort jordens massa och löser ut solens massa:

 $\frac{v^2}{r}=$v²r = $G$G $\frac{m_s}{r^2}$m_sr²   

 $m_s=$m_s= $\frac{v^2r}{G}$v²rG  

Frågan är nu hur stor jordens hastighet runt solen är. Vi har ju approximerat banan som en cirkel med radien  $r$r . Det innebär att den sträcka som jorden färdas under ett varv är omkretsen av cirkeln $O=2\pi r$O=2πr . Tiden för ett varv är omloppstiden  $T=1$T=1 år. Eftersom farten är konstant,   $v=\frac{\text{Δ}s}{\text{Δ}t}$v=ΔsΔt   , kan vi skriva:

 $v=\frac{2\pi r}{T}$v=2πrT   m/s

Vi sätter in detta i uttrycket för solens massa:

 $m_s=$m_s= $\frac{v^2r}{G}=\frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2r}{G}=\frac{4\pi^2r^3}{T^2G}$v²rG =(2πrT )²rG =4π²r³T²G 
  $m_s=$m_s= $\frac{4\pi^2\left(1,5\cdot10^{11}\right)^3}{\left(365\cdot24\cdot60\cdot60\right)^2\cdot6,67\cdot10^{-11}}=$4π²(1,5·10¹¹)³(365·24·60·60)²·6,67·10⁻¹¹ = $2,00...\cdot10^{30}$2,00...·10³⁰  kg  

Svar: Solens massa är  $2,0\cdot10^{30}$2,0·10³⁰  kg  

Exempel 2

En satellit kretsar runt jorden i en cirkulär omloppsbana på höjden  $1900$1900  km över havsytan. Vilken omloppsfart har satelliten?

Lösning

Vi har en situation enligt bilden. 

Eftersom satelliten utför en centralrörelse, måste det finnas en centrumriktad kraftresultant, en centripetalkraft. I detta fall är det gravitationskraften som agerar centripetalkraft. Det innebär att vi kan ställa upp följande ekvation:

 $F_g=F_c\text{ }\text{ }$F_g=F_c  
 $G$G $\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}=\frac{m_sv^2}{r}$m_j·m_sr² =m_sv²r  

där $m_j$m_j  är jordens massa, $m_s$m_s  är satellitens massa och $r$r  är avståndet mellan satelliten och jordens mittpunkt. Det ger $r=r_j+h$r=r_j+h  där $r_j$r_j  är jordens radie och $h$h  är satellitens höjd över havsytan. 

Vi löser ut farten $v$v  ur ekvationen och får följande samband:

 $v=$v= $\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r}}$√G·m_jr   

Nu sätter vi in värden:

 $v=$v= $\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r_j+h}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}}{6,37\cdot10^6+1,9\cdot10^6}}=$√G·m_jr_j+h =√6,67·10⁻¹¹·5,97·10²⁴6,37·10⁶+1,9·10⁶ =  $6\text{ }939,\text{ }...$6 939, ...  m/s

Svar: Satellitens omloppsfart är  $6,9$6,9  km/s.

Exempel 3 - Konisk pendel

En kula som hänger i ett snöre och rör sig i en cirkel i horisontalplanet kallas för en konisk pendel. Längden på snöret betecknar vi  $l$l , cirkelns radie  $r$r  och vinkeln som snöret bildar med lodlinjen  $\alpha$α . Om  $l=0,90$l=0,90  m och  $\alpha=30^{\circ}$α=30^∘ , vad är kulans banhastighet? 

Lösning

De krafter som verkar på kulan är kraften i snöret  $F_s$F_s  snett uppåt samt tyngdkraften  $F_g=mg$F_g=mg  rakt nedåt. 

I  $y$y-led har vi jämvikt, eftersom kulan ligger kvar på samma höjd:  $\left|F_{sy}\right|=\left|F_g\right|$|F_sy|=|F_g| 

I  $x$x-led har vi bara snörets horisontella kraftresultant. Det innebär att  $F_{sx}$F_sx  är den centrumriktade kraftresultanten, och alltså den kraft som agerar centripetalkraft:  $F_c=F_{sx}$F_c=F_sx 

Vi kan då skriva tangens för vinkeln som:
 $\tan\alpha=$tanα= $\frac{F_{sx}}{F_{sy}}=\frac{F_c}{F_g}=\frac{F_c}{mg}$F_sxF_sy =F_cF_g =F_cmg  

Vi löser ut centripetalkraften:
 $F_c=mg\cdot\tan\alpha$F_c=mg·tanα  

Eftersom vi kan skriva centripetalkraften som  $F_c=\frac{mv^2}{r}$F_c=mv²r  , kan vi även skriva:
 $mg\cdot\tan\alpha=$mg·tanα= $\frac{mv^2}{r}$mv²r  

Vi förkortar bort massan och löser ut hastigheten:
 $v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}$v=√rg·tanα 

För att beräkna hastigheten behöver vi bestämma radien  $r$r . Vi använder figuren och kan skriva:
 $r=l\cdot\sin\alpha=0,90\cdot\sin30^{\circ}=0,45$r=l·sinα=0,90·sin30^∘=0,45  m

Vi kan nu beräkna hastigheten:
 $v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}=\sqrt{0,45\cdot9,82\cdot\tan30^{\circ}}=1,597...$v=√rg·tanα=√0,45·9,82·tan30^∘=1,597...  m/s 

Svar: Kulans banhastighet är  $1,6$1,6  m/s.

Exempel 4

En bil kör genom en loop enligt bilden. Loopens radie är   $5,0$5,0  meter och bilen väger  $900$900  kg. Hur stor är normalkraften på bilen i loopens nedersta läge om farten där är  $30$30  km/h? 

Lösning

Vi anger positiv riktning uppåt. I det nedersta läget har vi då: 

 $F_c=F_N-mg$F_c=F_N−mg 
 $F_c=m\cdot a_c=m\cdot$F_c=m·a_c=m· $\frac{v^2}{r}$v²r    

 $F_N-mg=m\cdot$F_N−mg=m· $\frac{v^2}{r}$v²r   

Vi löser ut normalkraften och sätter in värden:

 $F_N=m\cdot\frac{v^2}{r}+mg=$F_N=m·v²r +mg= $m\left(\frac{v^2}{r}+g\right)=$m(v²r +g)= $900\left(\frac{\left(\frac{30}{3,6}\right)^2}{5}+9,82\right)=$900((303,6 )²5 +9,82)= $21\text{ }338$21 338  N

Svar: Normalkraften är  $21$21  kN.