Cirkulär centralrörelse

Avståndet från jorden till solen är ungefär  $1,5\cdot10^{11}$1,5·10¹¹ m. Vilken massa har solen?

Lösning:

Vi har en situation enligt bilden. Vi approximerar jordens bana runt solen som en cirkel med radien $r=1,5\cdot10^{11}$r=1,5·10¹¹ m. Vi kallar jordens massa $m_j$m_j och solens massa $m_s$m_s. Den kraft som håller jorden i omloppsbana runt solen och därmed agerar centripetalkraft  $F_C=m_j\frac{v^2}{r}$F_C=m_jv²r  är solens gravitationskraft,  $F_g=G\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$F_g=Gm_j·m_sr²  . 

Vi kan alltså ställa upp:

 $F_C=F_g$F_C=F_g 

 $m_j\frac{v^2}{r}=G\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}$m_jv²r =Gm_j·m_sr²  

Vi förkortar bort jordens massa:

 $\frac{v^2}{r}=G\frac{m_s}{r^2}$v²r =Gm_sr²  

och löser ut solens massa:

 $m_s=\frac{v^2r}{G}$m_s=v²rG  

Frågan är nu hur stor jordens hastighet runt solen är? Vi har ju approximerat banan som en cirkel med radien r. Det innebär att sträckan som jorden färdas under omloppstiden T = ett år, är lika med omkretsen av cirkeln $O=2\pi r$O=2πr. Eftersom  $v=\frac{s}{t}$v=st  kan vi skriva:

 $v=\frac{2\pi r}{T}$v=2πrT   m/s

Vi sätter in detta i uttrycket för solens massa:

 $m_s=\frac{v^2r}{G}=\frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2r}{G}=\frac{4\pi^2r^3}{T^2G}=\frac{4\pi^2\left(1,5\cdot10^{11}\right)^3}{\left(365\cdot24\cdot60\cdot60\right)^2\cdot6,67\cdot10^{-11}}\approx2\cdot10^{30}$m_s=v²rG =(2πrT )²rG =4π²r³T²G =4π²(1,5·10¹¹)³(365·24·60·60)²·6,67·10⁻¹¹ ≈2·10³⁰ kg 

En satellit kretsar runt jorden i en cirkulär omloppsbana på en höjd av 1900 km över havsytan. Vilken omloppshastighet har satelliten?

Lösning:

Vi har en situation enligt bilden. 

Eftersom satelliten utför en centralrörelse så måste det finnas en centripetalkraft. I detta fall är det gravitationskraften som agerar centripetalkraft. 
Det innebär att vi kan ställa upp följande ekvation:

 $F_g=F_c\Rightarrow G\cdot\frac{m_j\cdot m_s}{r^2}=\frac{m_sv^2}{r}$F_g=F_c⇒G·m_j·m_sr² =m_sv²r 

där $m_j$m_j är jordens massa, $m_s$m_s är satellitens massa och $r$r är avståndet mellan satelliten och jordens mittpunkt dvs. $r=r_j+h$r=r_j+h där $r_j$r_j är jordens radie och $h$h är satellitens höjd över havsytan. 

Vi löser ut hastigheten $v$v ur ekvationen och får följande samband:

 $v=\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r}}$v=√G·m_jr  

Nu sätter vi in värden:

 $v=\sqrt{\frac{G\cdot m_j}{r_j+h}}=\sqrt{\frac{6,67\cdot10^{-11}\cdot5,97\cdot10^{24}}{6,37\cdot10^6+1,9\cdot10^6}}\approx6,9\cdot10^3\text{ }\frac{m}{s}=6,9\text{ }\frac{km}{s}$v=√G·m_jr_j+h =√6,67·10⁻¹¹·5,97·10²⁴6,37·10⁶+1,9·10⁶ ≈6,9·10³ ms =6,9 kms  

Vertikal cirkelrörelse

När vi har vertikal cirkelrörelse, t.ex. en motorcykel som genomför en loop i en lodrät cirkulär bana, så måste vi ta hänsyn till att det är flera krafter som verkar på motorcykeln, dels tyngdkraften som har samma storlek och riktning under hela loopen samt normalkraften på motorcykeln från underlaget vilken kommer att variera. Det är resultanten till tyngdkraften och normalkraften som kommer agera centripetalkraft,  $F_c=F_g+N$F_c=F_g+N.  Hastigheten varierar vanligtvis i den här typen av cirkelrörelser.

Vi tittar på kraftsituationen på bilen i fyra olika lägen under loopen. När vi arbetar med vertikal cirkelrörelse definierar vi positiv riktning radiellt mot centralrörelsens mitt, dvs. centripetalkraften är alltid positiv. :

I läge 1 har vi att normalkraften verkar i positiv riktning medan tyngdkraften verkar nedåt, i negativ riktning. Vi får följande situation:

 $F_{C1}=N_1-mg=m\frac{v_1^2}{r}$F_C1=N₁−mg=mv₁²r  

I läge 2 påverkar inte tyngdkraften i radiell riktning och bidrar därmed inte till centripetalkraften:

 $F_{C2}=N_2=m\frac{v_2^2}{r}$F_C2=N₂=mv₂²r  

I läge 3 har vi att både normalkraften och tyngdkraften verkar i centripetalaccelerationens riktning, dvs. de är positiva. Vi får följande situation:

 $F_{C3}=N_3+mg=m\frac{v_3^2}{r}$F_C3=N₃+mg=mv₃²r  

I läge 4 har vi återigen att tyngdkraften inte påverkar i radiell riktning och därmed inte bidrar till centripetalkraften:

 $F_{C4}=N_4=m\frac{v_4^2}{r}$F_C4=N₄=mv₄²r  

En bil kör genom en loop enligt bilden. Loopen har en radie på $5$5 meter och bilen väger $900$900 kg. Hur stor är normalkraften på bilen i det nedersta läget om hastigheten där är $30$30 km/h? 

Lösning:

I det nedersta läget har vi att 

 $N_1-mg=m\frac{v_1^2}{r}$N₁−mg=mv₁²r  

Vi löser ut normalkraften och sätter in värden:

 $N_1=m\frac{v_1^2}{r}+mg=m\left(\frac{v_1^2}{r}+g\right)=900\left(\frac{\left(\frac{30}{3,6}\right)^2}{5}+9,82\right)=21338$N₁=mv₁²r +mg=m(v₁²r +g)=900((303,6 )²5 +9,82)=21338  N

Svar: Normalkraften är ca $21$21 kN. 

Konisk pendel

En kula som hänger i ett snöre och rör sig i en cirkel i horisontalplanet kallas för en ”konisk pendel”. Längden på snöret betecknar vi $l$l, cirkelns radie med $r$r och vinkeln som snöret bildar med lodlinjen för $\alpha$α.  

Om  $l=0,90$l=0,90 m och  $\alpha=30^{\circ}$α=30^∘, vad är kulans banhastighet?

Lösning:

Vi ritar ut kraftsituationen på kulan. De krafter som verkar på kulan är kraften i tråden $F_s$F_s snett uppåt samt tyngdkraften  $F_g=mg$F_g=mg rakt nedåt. I y-led har vi jämvikt, kulan ligger ju kvar på samma höjd, dvs.

$F_{sy}=F_g$F_sy=F_g 

I x-led, så har vi inte jämvikt utan vi har en accelererad rörelse dvs. en centripetalacceleration. Detta innebär att vi har en resulterande kraft, dvs. en centripetalkraft $F_c$F_c i radiell riktning som utgörs av den horisontella komposanten av kraften i snöret $F_{sx}$F_sx.  Det är alltså denna kraft som ”agerar” centripetalkraft. Vi har alltså att:

 $F_c=F_{sx}$F_c=F_sx

Vi kan då skriva tangens för vinkeln som:

 $\tan\alpha=\frac{F_{sx}}{F_{sy}}=\frac{F_c}{F_g}=\frac{F_c}{mg}$tanα=F_sxF_sy =F_cF_g =F_cmg 

Vi löser ut centripetalkraften:

 $F_c=mg\cdot\tan\alpha$F_c=mg·tanα  

Eftersom vi kan skriva centripetalkraften som  $F_c=\frac{mv^2}{r}$F_c=mv²r  så kan vi även skriva:

 $mg\cdot\tan\alpha=\frac{mv^2}{r}$mg·tanα=mv²r 

Vi förkortar bort massan och löser ut hastigheten:

 $v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}$v=√rg·tanα 

Återstår dock att lista ut vad radien är. Vi använder att radien blir motstående katet till vinkeln $\alpha$α och kan skriva:

 $r=l\cdot\sin\alpha=0,90\cdot\sin30^{\circ}=0,45$r=l·sinα=0,90·sin30^∘=0,45 m

Vi kan nu beräkna hastigheten:

 $v=\sqrt{rg\cdot\tan\alpha}=\sqrt{0,45\cdot9,82\cdot\tan30^{\circ}}\approx1,6$v=√rg·tanα=√0,45·9,82·tan30^∘≈1,6  m/s