00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Cosinussatsen beskriver förhållandet mellan en vinkel och triangelns sidor.

Framförallt är detta samband bra att använda sig av när man vill få fram sidor eller vinklar som man inte kan få fram med hjälp av areasatsen och sinussatsen.

Dessutom kan du få använda dig av cosinussatsen tillsammans med någon av de andra två satserna för att lösa vissa problem.

Formeln för cosinussatsen

Cosinussatsen

För en triangel ABCABCABC gäller att

Cosinussatsen

c2=a2+b22abcosCc^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos Cc2=a2+b22·a·b·cosC

där sidan aaa är motstående vinkeln AAA, sidan bbb motstående vinkeln BBB och sidan ccc motstående vinkel CCC.

Cosinussatsen är användbar vid följande situationer

När du kan använda cosinussatsen

  1. När du känner till tre sidor (fig 1)
  2. När du känner till en vinkel och två sidor (fig 2)

Även denna sats ger som följd av att triangeln har tre vinklar, tre fall.

Fall 1:  a2=b2+c22bccosAa^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos Aa2=b2+c22·b·c·cosA

Fall 2:  b2=a2+c22accosBb^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos Bb2=a2+c22·a·c·cosB

Fall 3:  c2=a2+b22abcosCc^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot\cos Cc2=a2+b22·a·b·cosC

Räkna ut vinkeln med cosinussatsen

Det går att skriva om formeln så att det snabbare går att räkna ut vinkeln. Då gör du på följande vis för att exempelvis lösa ut vinkeln AAA.

a2=b2+c22bccosAa^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos Aa2=b2+c22·b·c·cosA

Subtrahera med kvadraterna i högerledet

a2b2c2=2bccosAa^2-b^2-c^2=-2\cdot b\cdot c\cdot\cos Aa2b2c2=2·b·c·cosA

Dela med 2bc-2\cdot b\cdot c2·b·c

a2b2c22bc-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}a2b2c22·b·c  =cosA=\cos A=cosA

A=cos1A=\cos^{-1}A=cos1 (a2b2c22bc)\left(-\frac{a^2-b^2-c^2}{2\cdot b\cdot c}\right)(a2b2c22·b·c )

Räkneexempel

Exempel 1

Använd figuren och cosinussatsen och bestäm längden på sidan x.

Räkneexempel-1

Lösning

Här har vi en okänd sida x som vi kan ta reda på genom att använda oss av vårt trigonometriska samband för cosinus. Därför får vi att

x2=102+12221012cos38°x^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cdot\cos38°x2=102+1222·10·12·cos38°

Om vi därefter beräknar högerledet får vi:

 x2=54,877x^2=54,877…x2=54,877… 

Slutligen tar vi roten ur bägge leden och får

 x±7,4x\approx\pm7,4x±7,4 

Då vi söker en längd är endast 7,47,47,4 cm aktuellt som svar.

Exempel 2

Bestäm triangelns alla vinklar.

Exempel cosinussatsen

Lösning

Vi använder cosinussatsen för att beräkna två vinklar. Efter det ges den tredje av att vinkelsumman är 180°180\text{°}180° i trianglar.

Först markerar vi ut vinklarna vi söker.

Därefter räknar vi ut vinkeln aaa

102=92+1422914cosa10^2=9^2+14^2-2\cdot9\cdot14\cdot\cos a102=92+1422·9·14·cosa

100=81+196252cosa100=81+196-252\cdot\cos a100=81+196252·cosa

177=252cosa-177=-252\cdot\cos a177=252·cosa

cosa=177252\cos a=\frac{-177}{-252}cosa=177252 

a=cos1a=\cos^{-1}a=cos1 45,38\approx45,38…^{\circ}45,38… 

Efter det beräknar vi vinkeln bbb på samma vis

142=92+1022910cosb14^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cdot\cos b142=92+1022·9·10·cosb

196=81+100280cosb196=81+100-280\cdot\cos b196=81+100280·cosb

15=280cosb15=-280\cdot\cos b15=280·cosb

cosb=15280\cos b=\frac{15}{-280}cosb=15280 

b=cos1b=\cos^{-1}b=cos1 (15280)\left(\frac{15}{-280}\right)(15280 ) 93,07\approx93,07…^{\circ}93,07… 

Slutligen får vi den sista vinkeln genom  c=18045,3893,0742c=180^{\circ}-45,38…^{\circ}-93,07…^{\circ}\approx42^{\circ}c=18045,38…93,07…42 

Därför gäller att

 a45,  b93,  c42a\approx45^{\circ},\text{ }\text{ }b\approx93^{\circ},\text{ }\text{ }c\approx42^{\circ}a45, b93, c42 

Bevis av cosinussatsen

Cosinussatsen kan bevisas för fall både med spetsig och trubbig vinkel. Här nedan görs ett bevis för när triangeln är spetsig. Med andra ord när vinkeln som används är mindre än 9090^{\circ}90.

Beviset

Bevis av cosinussatsen

Därefter använder vi pythagoras sats och ställer upp följande samband för den vänstra och den högra triangeln.

  1. Vänstra triangeln:  c2=h2+m2  h2=c2m2c^2=h^2+m^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=c^2-m^2c2=h2+m2h2=c2m2
  2. Högra triangeln:  a2=h2+(bm)2  h2=a2(bm)2a^2=h^2+\left(b-m\right)^2\text{ }\Leftrightarrow\text{ }h^2=a^2-\left(b-m\right)^2a2=h2+(bm)2h2=a2(bm)2

Då bägge sambanden innehåller h2h^2h2 så kan vi sätta dem lika med varandra.

c2m2=a2(bm)2c^2-m^2=a^2-\left(b-m\right)^2c2m2=a2(bm)2

Vi utvecklar parentesen

c2m2=a2(b22bm+m2)c^2-m^2=a^2-\left(b^2-2bm+m^2\right)c2m2=a2(b22bm+m2)

c2m2=a2b2+2bmm2c^2-m^2=a^2-b^2+2bm-m^2c2m2=a2b2+2bmm2

Vi adderar med m2m^2m2 i bägge leden

c2=a2b2+2bmc^2=a^2-b^2+2bmc2=a2b2+2bm

Vi löser ut a2a^2a2

a2=b2+c22bma^2=b^2+c^2-2bma2=b2+c22bm

Nu är vi nästan klara. Det sista steget blir att skriva om mmm med hjälp av cosinus. Från figuren ser vi att

 cosA=mcm=ccosA\cos A=\frac{m}{c}\Leftrightarrow m=c\cdot\cos AcosA=mc m=c·cosA 

Detta sätter vi in i sambandet

 a2=b2+c22bccosAa^2=b^2+c^2-2b\cdot c\cdot\cos Aa2=b2+c22b·c·cosA 

Nu är vi klara och har visat vart cosinussatsen kommer ifrån. Du kan dessutom bevisa sambandet för de övriga vinklarna på samma sätt som visades här ovan.

Exempel i videon

  • Beräkna längden aa i en triangel med cosinussatsen med ett antal kända sidor och vinklar (se bild i video).
  • Över dörren till en butik sitter en flaggstång. Den hålls upp av ett stag med längden 1,0m1,0 \, m. Butiksägaren skall flytta stagets väggfäste så att flaggstången bildar vinkeln v=30°v=30° med väggen. Väggfästen placeras rakt ovanför punkten PP (se bild i video). Bestäm avståndet mellan PP och väggfästets nya läge.