00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Derivata och deriveringsregler

Deriveringsregler Polynomfunktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I denna lektion presenterar vi deriveringsregeln för polynomfunktionen.

Polynomfunktionen definieras som en summa av monom, med variabeln i basen och där alla exponenter tillhör de positiva heltalen.

Deriveringsregeln för polynomfunktioner

Alla deriveringsregler kan härledas från derivatans definition. Det som är så bra med deriveringsregler är att det förenklar deriveringen, vilket gör räknandet mer tidseffektivt. Istället för långa, tidskrävande och krångliga beräkningar av ändringskvoters gränsvärden, kan man med dessa regler derivera både snabbt och enkelt.

Deriveringsregler

Vi börjar med att ange hur man matematiskt betecknar deriveringsregeln för polynomfunktioner, innan vi går igenom steg för steg hur du ska göra med några exempel. I början brukar det vara lite ovant att jobba med reglerna, men med en del träning brukar dessa regler bli relativt lätta att tillämpa. 

Deriveringsregel för monom

 f(x)=kxnf\left(x\right)=kx^nƒ (x)=kxn   har derivatan  f(x)=nkxn1f'\left(x\right)=n\cdot kx^{n-1}ƒ ´(x)=n·kxn1 

Monom är ett polynom som består av endast en term.  Den är en sammansättning av följande två regler som kan bevisas med hjälp av derivatans definition.

Funktionen  f(x)=xnf\left(x\right)=x^nƒ (x)=xn   har derivatan  f(x)=nxn1f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}ƒ ´(x)=n·xn1 

och

För alla funktioner  f(x)=kg(x)f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)ƒ (x)=k·g(x) där kkk är en konstant, gäller att  f(x)=kg(x)f'\left(x\right)=k\cdot g'\left(x\right)ƒ ´(x)=k·g´(x)    

Vi kan alltså bryta ut en konstant ur funktionsuttrycket innan vi använder deriveringsregeln för monomet. 

Exempel 1

Derivera följande funktion med hjälp av deriveringsregeln.

 f(x)=4x3f(x)=4x^3ƒ (x)=4x3 

Lösning

Uttrycket är en monom och vi använder deriveringsregeln som säger, att derivatan till  f(x)=kxnf\left(x\right)=kx^nƒ (x)=kxn är lika med f(x)=nkxn1f'\left(x\right)=n\cdot kx^{n-1}ƒ ´(x)=n·kxn1 

och får då att

 f(x)=4x3f(x)=4x^3ƒ (x)=4x3      ⇒      f(x)=12x2f'\left(x\right)=12x^2ƒ ´(x)=12x2 

Monomet består av en tredjegradsterm. Derivatan blir enligt regeln en grad lägre, alltså en andragradsterm. Koefficienten, som är en fyra, multipliceras med exponenten, som var en trea. Derivatan blir därför  12x212x^212x2.

 Om vi skriver ut derivatan med hjälp av deriveringsregeln får vi att

 f(x)=4x3  ⇒f(x)=4\cdot x^3\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=4·x3      f(x)=34x31=12x2f’\left(x\right)=3\cdot4\cdot x^{3-1}=12x^2ƒ (x)=3·4·x31=12x2 

Lägger vi dessutom till följande regel kan vi derivera alla potensfunktioner. Eftersom att en polynomfunktion kan ha flera termer använder vi följande regler för att kunna derivera dem.

 D(f+g)=f+gD\left(f+g\right)=f'+g'D(ƒ +g)=ƒ ´+g´ 

Skrivsättet DDD är , som vi nämnt i tidigare lektion, en annan vanlig beteckning för derivatan. Regeln säger att derivatan för en summa är lika med summan av derivatan för var term. Det ger att vi deriverar en term i tagen enligt regeln för monom.

Innan vi tar ytterligare några exempel av hur man derivera med hjälp av reglerna, går vi igenom några saker som är bra att komma ihåg när man jobbar med dem.

Potensregel som är viktig att känna till

Potensregeln a0=1a^0=1a0=1, som säger att alla tal upphöjt till noll bli ett, kan här vara bra att påminna sig om. Det är detta som gör det möjlig att förstå varför variabeln xxx ser ut att ”försvinna” när man deriverar en förstagradsterm kxkxkx.

Förstgradstermen xxx  har nämligt koefficienten ett och exponenten ett. Vi kan skriva om x=1x1x=1\cdot x^1x=1·x1. Enligt deriveringsreglerna är då derivatan

 11x11=1x0=11=11\cdot1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1\cdot1=11·1·x11=1·x0=1·1=1 .

Man brukar sällan skriva ut det utan använder denna kunskap och säger bara att derivatan av xxx är 111 eller att derivatan av 10x10x10x är 101010. Alltså derivatan av en förstagradsterm är lika med sin koefficient.

Hur många olika deriveringsregler finns det?

Egentligen är det bara två deriveringsregler du behöver lära dig. En för potensfunktionerna och en för exponentialfunktionerna. Men om man vill kan man lägga till några minnesregler, som vissa väljer att kalla för deriveringsregler, som gör det ännu lättare att derivera. 

Eftersom att en konstant CCC kan skrivas som funktionen

 f(x)=C=C1=Cx0f\left(x\right)=C=C\cdot1=C\cdot x^0ƒ (x)=C=C·1=C·x0 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 f(x)=0Cx01=0f'\left(x\right)=0\cdot C\cdot x^{0-1}=0ƒ ´(x)=0·C·x01=0 

eftersom att om en faktor är noll, blir produkten alltid noll. Vi drar slutsatsen att derivatan av alla konstanttermer alltid är lika med noll. 

På liknande vis kan vi se att en förstagradsterm kxkxkx, kan skrivas som funktionen

 f(x)=kx=kx1f\left(x\right)=kx=k\cdot x^1ƒ (x)=kx=k·x1 

kan med deriveringsreglerna konstatera att

 f(x)=1kx11=kx0=k1=kf'\left(x\right)=1\cdot k\cdot x^{1-1}=k\cdot x^0=k\cdot1=kƒ ´(x)=1·k·x11=k·x0=k·1=k 

vilket ger att derivatan av alla förstagradstermer alltid är lika med koefficienten. 

Ett funktionsuttryck innehåller ofta en blandning av termer av olika slag. Termer med och utan variabler, men variablerna i basen eller exponenten, heltalsexponenter eller andra reella tal. När man deriverar deriverar man alltid en term i taget och tillämpar den regel som är lämpad för var term.

Viktigt att tänka på när man använder deriveringsreglerna

För att underlätta arbetet med deriveringsreglerna samman fattar vi följden av ovanstående text med följande saker.

Tre bra kom ihåg när du deriverar
  1. Du deriverar alltid ett uttryck ”term för term”.
  2. Derivatan av en konstant är alltid lika med noll.
  3. Derivatan av en förstagradsterm är alltid lika med koefficienten.

Hur gör man när man deriverar med deriveringsreglerna?

Vi visar nu två exempel till på hur du ska derivera. Vi kommer att ha användning av det vi precis har lärt oss.

Exempel 2

Derivera följande funktion med hjälp av deriveringsregeln.

 f(x)=10+xf(x)=10+xƒ (x)=10+x 

Lösning

Vi deriverar term för term och då första termen är en konstant är dess derivatan noll. Andra termen är en förstagradsterm, vars koefficient är lika med ett. Det ger oss att derivatan för denna term är lika med ett. Vi får att

 f(x)=10+x  ⇒f(x)=10+x\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=10+x    f(x)=0+1=1f'\left(x\right)=0+1=1ƒ ´(x)=0+1=1 

Vi kan också använda oss strikt av deriveringsregeln då 10=10x010=10\cdot x^010=10·x0 och x=1x1x=1\cdot x^1x=1·x1. Om vi skriver ut derivatan med hjälp av deriveringsregeln får vi att

 f(x)=10x0+1x1  ⇒f(x)=10x^0+1\cdot x^1\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=10x0+1·x1      f(x)=010x01+11x11=0+1f’\left(x\right)=0\cdot10x^{0-1}+1\cdot1\cdot x^{1-1}=0+1ƒ (x)=0·10x01+1·1·x11=0+1 

Exempel 2

Derivera följande funktion med hjälp av deriveringsregeln.

 f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xƒ (x)=x2+4x 

Lösning

Vi deriverar term för term och då uttrycket är ett polynom, deriverar vi med deriveringsregeln för polynom.

 f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xƒ (x)=x2+4x      ⇒      f(x)=2x+4f'\left(x\right)=2x+4ƒ ´(x)=2x+4 

Hur fick vi nu fram detta? Vi går nu igenom sakta steg för steg.

Deriveringsregeln säger, att derivatan är lika med  f(x)=nkxn1f'\left(x\right)=n\cdot kx^{n-1}ƒ ´(x)=n·kxn1 

Detta läser vi ut som att ”Derivatan av f av x är lika med exponenten multiplicerad med koefficienten, multiplicerad med variabeln, som upphöjs till exponenten minus ett.”

Den första termen är en andragradsterm. Derivatan av första termen blir enligt regeln en grad lägre, alltså en förstagradsterm. Koefficienten, som är en osynlig etta, multipliceras med exponenten, som var en tvåa. Derivatan av den första termen blir därför 2x2x2x .

Andra termen är en förstagradsterm, vars koefficient är lika med fyra. Det ger oss att derivatan för denna term är lika med fyra. Vi får att

 f(x)=x2+4xf(x)=x^2+4xƒ (x)=x2+4x      ⇒      f(x)=2x+4f'\left(x\right)=2x+4ƒ ´(x)=2x+4 

Vill vi skriva ut regeln mer tydligt kan använda oss av att x2=1x2x^2=1\cdot x^2x2=1·x2 och 4x=4x14x=4\cdot x^14x=4·x1 . Om vi skriver ut derivatan med hjälp av deriveringsregeln får vi att

 f(x)=1x2+4x1  ⇒f(x)=1\cdot x^2+4\cdot x^1\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=1·x2+4·x1      f(x)=21x21+14x11=f’\left(x\right)=2\cdot1\cdot x^{2-1}+1\cdot4\cdot x^{1-1}=ƒ (x)=2·1·x21+1·4·x11= 2x1+4x0=2x+41=2x+42\cdot x^1+4\cdot x^0=2\cdot x+4\cdot1=2x+42·x1+4·x0=2·x+4·1=2x+4  

Några olika derivator att lägga på minnet

Alla polynomfunktioner deriveras enligt regeln ovan. Här har vi tagit fram derivatan för några potenstermer som alla har variabeln i basen och exponenter som tillhör de naturliga talen. Alltså termer som alla kan ingå i en polynomfunktion. 

  f(x)=C  ⇒f\left(x\right)=C\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=C     f(x)=0f'\left(x\right)=0ƒ ´(x)=0    där CCC är en konstant 
  f(x)=4  ⇒f\left(x\right)=4\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=4     f(x)=0f'\left(x\right)=0ƒ ´(x)=0 
  f(x)=xn  ⇒f\left(x\right)=x^n\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=xn    f(x)=nxn1f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}ƒ ´(x)=n·xn1 
  f(x)=x  ⇒f\left(x\right)=x\text{ }\text{ ⇒}ƒ (x)=x      f(x)=1f'\left(x\right)=1ƒ ´(x)=1 
  f(x)=x2  ⇒f\left(x\right)=x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=x2      f(x)=2xf'\left(x\right)=2xƒ ´(x)=2x 
  f(x)=x3  ⇒f\left(x\right)=x^3\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=x3      f(x)=3x2f'\left(x\right)=3x^2ƒ ´(x)=3x2 
  f(x)=x4  ⇒f\left(x\right)=x^4\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=x4      f(x)=4x3f'\left(x\right)=4x^3ƒ ´(x)=4x3 
 … 
 f(x)=kxn  ⇒f\left(x\right)=kx^n\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=kxn    f(x)=nkxn1f'\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}ƒ ´(x)=n·k·xn1 
 f(x)=3x2  ⇒f\left(x\right)=3x^2\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=3x2    f(x)=6xf'\left(x\right)=6xƒ ´(x)=6x 
 f(x)=7x3  ⇒f\left(x\right)=7x^3\text{ }\text{ }\text{⇒}ƒ (x)=7x3    f(x)=21x2f'\left(x\right)=21x^2ƒ ´(x)=21x2 

Exempel i videon

  • Bestäm derivatan för f(x)=2 f(x)=2 .
  • Bestäm derivatan för f(x)=2000 f(x)=-2000 .
  • Bestäm derivatan för f(x)=x f(x)=x , f(x)=x2f(x) = x^2 och f(x)=3x3 f(x)=3x^3 .
  • Bestäm derivatan för f(x)=2x2+3x10 f(x)=2x^2+3x-10 .
  • Bestäm derivatan då x=2x=2 om f(x)=3x3+2x f(x)=3x^3+2x .