Exempelprov Matematik 1a 2018 Del C

Myrans promenad

$1.$1. I en kvadrat med sidan $12$12 cm dras fyra cirkelbågar med samma radie (se figur $1$1). Cirkelbågarnas medelpunkter ligger i kvadratens hörn. En myra promenerar längs cirkelbågarna. Den startar i A och går till B vidare till C och D och sedan till A igen. Hur långt har myran då gått?

$2.$2. I en annan kvadrat med sidan $12$12 cm dras fyra andra cirkelbågar, två med radien $4$4 cm och två med radien $8$8 cm (se figur $2$2). Myran gör en promenad längs alla fyra cirkelbågarna. Visa att denna promenad är lika lång som promenaden myran gjorde i figur $1$1.

$3.$3. Cirkelbågarnas radier kan ha många olika värden i kvadrater med sidan $12$12 cm. Visa att myrans promenad alltid blir lika lång.

$4.$4. Om myran inte får korsa sin egen väg kan cirkelbågarnas radier inte ha vilka värden som helst. Undersök vilka radier som är möjliga.