Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Komplexa tal och Polynom
Faktorsatsen
Innehåll
Ett polynoms rötter innebär lösningarna till $p(x)=0$p(x)=0. Det finns ett enkelt samband mellan dessa rötter och polynomets faktorer. Detta samband beskrivs av faktorsatsen.
Faktorsatsen
Polynomet $p(x)$p(x) har en faktor $(x-a)$(x−a) om och endast om $x=a$x=a är en rot till $p(x)=0$p(x)=0.
Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså
$a$a är ett nollställe till $p\left(x\right)$p(x) om och endast om $\left(x-a\right)$(x−a) är en faktor till $p\left(x\right)$p(x).
Detta innebär att om vi först hittar en rot $a$a till polynomet, och sen dividerar polynomet med faktorn $(x-a)$(x−a) kan vi hitta en kvot till polynomet. Därefter kan vi faktorisera polynomet (enligt polynom = kvot ⋅ faktor) och kan då lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.
Polynomet $p(x)$p(x) kan faktoriseras enligt $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)$p(x)=q(x)(x−a) där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten vid polynomdivision mellan $p\left(x\right)$p(x) och $\left(x-a\right)$(x−a) om resten är noll.
Faktorsatsen ger oss sambandet mellan roten och faktorn. Detta gör att vi kan lösa ekvationer där vi inte kan tillämpa tidigare kända metoder, tex pq-formeln. Utifrån vetskapen om en av polynomets faktorer kan vi dividera polynomet med denna faktor, och på så sätt komma vidare i ekvationslösningen. Mer om detta i kommande lektioner.
Polynomdivision där resten inte är noll
Vad händer om $a$a inte är en rot till polynomet $p(x)$p(x)? Om vi ändå utför polynomdivisionen kommer vi att få en rest som inte är noll. Polynomet kan då skrivas som $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r där $q\left(x\right)$q(x) är kvoten och $r$r är resten. Om vi sätter in $x=a$x=a i polynomet får vi:
$p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r
$p\left(a\right)=q\left(a\right)\left(a-a\right)+r$p(a)=q(a)(a−a)+r
$p\left(a\right)=q\left(a\right)\cdot0+r$p(a)=q(a)·0+r
$p\left(a\right)=r$p(a)=r
Genom att bestämma $p\left(a\right)$p(a) har vi alltså fått värdet på resten. Detta sammanfattas i restsatsen:
Restsatsen
När ett polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $\left(x-a\right)$(x−a) är resten $r=p\left(a\right)$r=p(a).
Restsatsen kan användas för att kontrollera nollställen och faktorer hos ett polynom.
Exempel 1
Visa att polynomet $p\left(x\right)=x^3-3x-2$p(x)=x3−3x−2 är delbart med $x-2$x−2 genom att använda
a) faktorsatsen.
b) restsatsen.
Lösning
a) Faktorsatsen säger att polynomet $p(x)$p(x) har en faktor $(x-2)$(x−2) om och endast om $x=2$x=2 är en rot till $p(x)=0$p(x)=0. Vi kontrollerar detta:
$x^3-3x-2=0$x3−3x−2=0
$VL=2^3-3\cdot2-2=8-6-2=0$VL=23−3·2−2=8−6−2=0
$HL=0$HL=0
$VL=HL$VL=HL
$x=2$x=2 är en rot till $p\left(x\right)$p(x)
$\text{⇒}$⇒ $p\left(x\right)$p(x) har en faktor $(x-2)$(x−2)
$\text{⇒}$⇒ $p\left(x\right)$p(x) är delbart med $(x-2)$(x−2)
v.s.v.
b) Restsatsen säger att när polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $\left(x-2\right)$(x−2) är resten $r=p\left(2\right)$r=p(2). Vi bestämmer resten:
$r=p\left(2\right)=2^3-3\cdot2-2=0$r=p(2)=23−3·2−2=0
Att resten är noll innebär att $p\left(x\right)$p(x) är delbart med $(x-2)$(x−2).
v.s.v.
Exempel i videon
- Faktorisera talet $12$.
- Faktorisera $ f(x)=x^2+x $.
- Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
- Vilka rötter har polynomet $ f(x)=(x+2)(x-4)(x-6) $?
- Vilka faktorer har polynomet $ f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Vilka rötter har följande polynom $p(x)=(x+2)(x-1)$p(x)=(x+2)(x−1)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
2. Premium
Vilka faktorer har polynomet $p(x)=2x^2-4x$p(x)=2x2−4x?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
3. Premium
Ett polynom $p(x)$p(x) har nollställena $x_1=1$x1=1 , $x_2=0$x2=0 och $x_3=-3$x3=−3.
Grafen går genom punkten $\left(2,10\right)$(2,10). Bestäm $p(x)$p(x) .Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
4. Premium
Ange ett fjärdegradspolynom med rötterna $x_1=-3$x1=−3 , $x_2=5$x2=5, $x_3=2i$x3=2i och $x_4=-2i$x4=−2i. Svara i faktorform.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
5. Premium
Polynomet $p\left(x\right)=5x^3-4x^2+x$p(x)=5x3−4x2+x divideras med $x+2$x+2. Bestäm resten.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar... -
c-uppgifter (2)
-
6. Premium
Ett polynom $p\left(x\right)$p(x) divideras med $2x^2-3$2x2−3 och ger kvoten $x^2-x+2$x2−x+2 samt resten $1$1. Bestäm polynomet och svara i utvecklad form.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4Rättar... -
-
7. Premium
Visa att polynomet $p\left(x\right)=x^4-3x^2-4$p(x)=x4−3x2−4 är delbart med $x^2-4$x2−4.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar... -
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Bestäm $k\ne0$k≠0, så att $x-k$x−k är en faktor i polynomet $p\left(x\right)=x^3+3x^2-kx+k^2$p(x)=x3+3x2−kx+k2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Faktorsatsen Komplexa tal och Polynom Matematik 4 restsatsenRättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.