Faktorsatsen

Ett polynoms rötter innebär lösningarna till  $p(x)=0$p(x)=0. Det finns ett enkelt samband mellan dessa rötter och polynomets faktorer. Detta samband beskrivs av faktorsatsen. 

Formuleringen ”om och endast om” motsvarar en ekvivalens mellan påståendena. Det innebär att även det omvända gäller, alltså

Detta innebär att om vi först hittar en rot  $a$a  till polynomet, och sen dividerar polynomet med faktorn  $(x-a)$(x−a)  kan vi hitta en kvot till polynomet. Därefter kan vi faktorisera polynomet (enligt polynom = kvot ⋅ faktor) och kan då lösa polynomekvationen med hjälp av nollproduktmetoden.

Faktorsatsen ger oss sambandet mellan roten och faktorn. Detta gör att vi kan lösa ekvationer där vi inte kan tillämpa tidigare kända metoder, tex pq-formeln. Utifrån vetskapen om en av polynomets faktorer kan vi dividera polynomet med denna faktor, och på så sätt komma vidare i ekvationslösningen. Mer om detta i kommande lektioner.

Polynomdivision där resten inte är noll

Vad händer om  $a$a  inte är en rot till polynomet $p(x)$p(x)? Om vi ändå utför polynomdivisionen kommer vi att få en rest som inte är noll. Polynomet kan då skrivas som  $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r  där  $q\left(x\right)$q(x) är kvoten och  $r$r  är resten. Om vi sätter in  $x=a$x=a  i polynomet får vi:
 $p\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x-a\right)+r$p(x)=q(x)(x−a)+r 
 $p\left(a\right)=q\left(a\right)\left(a-a\right)+r$p(a)=q(a)(a−a)+r
 $p\left(a\right)=q\left(a\right)\cdot0+r$p(a)=q(a)·0+r 
 $p\left(a\right)=r$p(a)=r 
Genom att bestämma  $p\left(a\right)$p(a) har vi alltså fått värdet på resten. Detta sammanfattas i restsatsen:

Restsatsen kan användas för att kontrollera nollställen och faktorer hos ett polynom.

• Faktorisera talet $12$.
• Faktorisera $f(x)=x^2+x$.
• Visa att polynomet $p(x)=x^2+2x-3$ har en faktor $x+3$.
• Vilka rötter har polynomet $f(x)=(x+2)(x-4)(x-6)$?
• Vilka faktorer har polynomet $f(x)$ som är utritat i koordinatsystemet? (se bild i video)