00:00
00:00
Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vad är ett gränsvärde?

Att undersöka gränsvärden till funktioner, innebär att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta xxx, närmar sig ett givet värde.

Vi kan inte beräkna funktionsvärdet för f(x)=f\left(x\right)=ƒ (x)= x26x+9x3\frac{x^2-6x+9}{x-3}x26x+9x3  för x=3x=3x= genom insättning. För när x=3x=3x=3 blir nämnaren lika med noll och vi får en kvot vi inte kan beräkna värdet av. Det leder till att funktionen inte är definierar för detta värde. 

Däremot kan vi bestämma värdet på kvoten för xxx -värden som ligger väldigt nära 333, tex x=2,9999x=2,9999x=2,9999 eller x=3,0001x=3,0001x=3,0001. Genom att bestämma kvotens värde för xxx-värden oändligt nära  ett värde som inte ingår i definitionsmängden kan vi beräkna ett gränsvärde.

Ett gränsvärde är det värde uttrycket eller funktionen antar, när variabeln närmar sig det värde variabeln ”går mot”. 

Skrivsättet limes i matematiken

Gränsvärden betecknas med lim efter latinskans limes. För att ange att x går mot a” skriver man xa{x \to a} .

För att skriva  ffƒ  går mot gränsvärdet LLL när x går mot a”  använder man skrivsätten

limxaf=L \lim\limits_{x \to a} f=L

eller

 fLf\rightarrow Lƒ L när xax\rightarrow axa .

Man kan förstå uttrycket ”går mot” som att xxx -värdet närmar sig det värde det ”går mot” otroligt mycket. Så mycket att man till och med kan ersätta variabeln med värdet vid beräkningen av uttryckets gränsvärde.

Att beräkna gränsvärden algebraiskt

Du beräknar ett gränsvärde genom att ersätta variabeln med det givna värdet det går mot, för att sedan beräkna uttryckets eller funktionens värde. 

För vissa uttryck och funktioner kan man beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver man först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet.

Gränsvärden då xxx går mot aaa 

Vi har två olika typer av gränsvärden.

Ett då variabeln xxx närmar sig en punkt  x=ax=ax=a. Med matematiska symboler skriver gränsvärdet så här. 

limxaf(x)=A \lim\limits_{x \to a} f(x)=A

Det utläses ”gränsvärdet då xxx går mot noll för funktionen ffƒ  av xxx är lika med A.”

För att kunna bestämma gränsvärden då  xax\rightarrow axa måste funktionen  ffƒ  vara definierad för värden väldigt nära aaa, om än ej i själva punkten. Vi tar ett exempel.

Exempel 1

Beräkna gränsvärdet  limx3 \lim\limits_{x \to 3} 4+x4+x4+x 

Lösning

Genom att låta xxx närma sig värdet 333 kommer uttrycket närma sig värdet 777, därför att 

limx3 \lim\limits_{x \to 3}  4+x=4+x=4+x= 4+3=74+3=74+3=7 

Här var det det inget problem att låta variabeln gå mot värdet utan att skriva om eller förenkla först. Men det är inte alltid så lätt.

Exempel 2

Beräkna gränsvärdet limh0 \lim\limits_{h \to 0} 3h+h2h\frac{3h+h^2}{h}3h+h2h  

Lösning

Ersätter vi  hhh med noll direkt, får vi en nolldivision, alltså en kvot där nämnaren är noll. Då kan vi inte beräkna kvotens värde och därmed inte gränsvärdet. Därför förenklar vi först uttrycket till

 3h+h2h=h(3+h)h=3+h1=\frac{3h+h^2}{h}=\frac{h\left(3+h\right)}{h}=\frac{3+h}{1}=3h+h2h =h(3+h)h =3+h1 = 3+h3+h3+h  

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att ersätta hhh med noll.

limh0 \lim\limits_{h \to 0}  (3+h)=3+0=3\left(3+h\right)=3+0=3(3+h)=3+0=3 

Gränsvärden då xxx går mot oändligheten

Den andra gränsvärdestypen är den då variabeln xxx närmar sig väldigt stora positiva eller negativ tal. Med matematiska symboler skriver vi det gränsvärdet så här. 

limxf(x)=A \lim\limits_{x \to \infty } f(x)=A

limxf(x)=A \lim\limits_{x \to -\infty } f(x)=A

Det utläses ”gränsvärdet då xxx går mot positiva/negativa oändligheten för funktionen ffƒ  av xxx är lika med A.”

Skrivsättet \infty motsvarar underförstått + +\infty .

Exempel 3

Beräkna gränsvärdet  limx  \lim\limits_{x  \to \infty}  4x+\frac{4}{x}+4x +666  

Lösning

Genom att låta xxx närma sig oändligt stora positiva värden kommer uttrycket närma sig värdet 666, därför att 

limx \lim\limits_{x \to \infty}  4x+\frac{4}{x}+4x +  6=0+6=66=0+6=66=0+6=6    

Sammanfattningsvis lägger vi till följande definition.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

limxaf(x)=f(a) \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)

Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen f(x)f(x) då vi låter xx-värdet gå mot aa, är lika med funktionsvärdet f(a)f\left(a\right)ƒ (a).

Gränsvärdet är oegentligt eller saknas

När vi beräknar gränsvärden kommer vi upptäcka att vi inte alltid får fram ett entydigt gränsvärde. Exempelvis är inte kvoterna k\frac{k}{\infty}k   där kkk är en konstant eller \frac{\infty}{\infty}  definierade. Inte heller produkten kk\cdot\inftyk· eller nolldivision, alltså kvoter där nämnaren är lika med noll.

För att kunna avgöra om gränsvärdet är oegentligt eller saknas behöver vi studera funktionen närmre. 

I de fall då gränsvärdet går mot positiva eller negativa oändligheten, ±\pm\infty±, för x=ax=ax=a, säger man att vi har ett oegentligt gränsvärde. Det vill säga, vi kan inte ange ett specifikt numeriskt värde.

När man ska förenkla rationella funktionsuttryck för att beräkna gränsvärden då xx\to\inftyx är en effektiv metod att bryta ut, eller förkorta med, den dominerande faktorn i täljaren och nämnare, alltså faktorn med högst grad.

Exempel 4

Beräkna gränsvärdet  limx  \lim\limits_{x  \to \infty}  4x33x2x25\frac{4x^3-3x}{2x^2-5}4x33x2x25  

Lösning

Genom att direkt ersätta xxx med oändligheten ger  \frac{\infty}{\infty}  vilket inte är definierat. Även om vi förkortar uttrycket får vi att 

 limx  \lim\limits_{x  \to \infty}  4x33x2x25=\frac{4x^3-3x}{2x^2-5}=4x33x2x25 = 

limx  \lim\limits_{x  \to \infty}  x3x243x225x2=\frac{x^3}{x^2}\cdot\frac{4-\frac{3}{x^2}}{2-\frac{5}{x^2}}=x3x2 ·43x2 25x2  = 

limx  \lim\limits_{x  \to \infty}   xx\cdotx·43x225x2=\frac{4-\frac{3}{x^2}}{2-\frac{5}{x^2}}=43x2 25x2  = 

 4+02+0=2\infty\cdot\frac{4+0}{2+0}=\infty\cdot2·4+02+0 =·2 

som inte är definierat som ett gränsvärde och vi säger att gränsvärdet är oegentligt.

Vi säger även att gränsvärdet saknas då det inte närmar sig samma funktionsvärdevärde om vi närmar oss x=ax=ax=a från höger eller vänster.

Det andra fallet inträffar när en funktion går mot olika -värden för samma -värde. Man kan dra denna slutsats både utifrån algebraiska beräkningar och grafiska studier. Grafiskt ser vi att gränsvärden saknas i punkten x=ax=ax=a när grafen inte ger samma gränsvärde om man närmar sig punkten från höger eller vänster.

Att bestämma gränsvärden grafiskt

Ett alternativ till att bestämma gränsvärdet algebraiskt är att skissa grafen. Vi undersöker gränsvärdet grafiskt.

Exempel 5

Avgör om gränsvärdet existerar för  f(x)=f\left(x\right)=ƒ (x)= 1x3\frac{1}{x^3}1x3  +2+2+2  genom att rita grafen till funktionen.

a) limx 0f(x) \lim\limits_{x  \to 0} f(x)

b) limx f(x) \lim\limits_{x  \to \infty} f(x)

Lösning

Vi ritar grafen.

Grafen till en rationell funktion

a) Då limx 0f(x)= \lim\limits_{x  \to -0} f(x)=-\infty och limx +0f(x)=+ \lim\limits_{x  \to +0} f(x)=+\infty är gränsvärdet inte det samma från höger och vänster och existerar därmed inte. Vi säger att gränsvärdet saknas.

b) Vi ser att grafen närmar sig yyy-värdet 222xxx går mot oändligheten och vi får därmed att gränsvärdet existerar. Vi får att limx f(x)=2 \lim\limits_{x  \to \infty} f(x)=2

Räkneregel för gränsvärden

Vi uppmärksamma följande räkneregel för gränsvärden, vilken kan bli användbar när vi längre fram ska ta fram ett antal deriveringsregler.

limxa(f(x)+g(x))=limxaf(x)+limxag(x) \lim\limits_{x \to a} (f(x)+g(x))= \lim\limits_{x \to a} f(x)+\lim\limits_{x \to a} g(x)

Vi tittar på ett exempel på detta.

Exempel 6

Beräkna gränsvärdet  limx 3 \lim\limits_{x  \to 3}   6x+8x6\frac{6}{x}+\frac{8x}{6}6x +8x6    

Lösning

Vi delar upp uttrycket i två funktionsuttryck där  f(x)=f\left(x\right)=ƒ (x)=  6x\frac{6}{x}6x  och  g(x)=g\left(x\right)=g(x)= 8x6\frac{8x}{6}8x6   och beräknar gränsvärdena var för sig.

limx3f(x)=limx3 \lim\limits_{x \to 3} f(x)= \lim\limits_{x \to 3}  6x=63\frac{6}{x}=\frac{6}{3}6x =63  =2=2=2    

och 

limx3g(x)=limx3 \lim\limits_{x \to 3} g(x)= \lim\limits_{x \to 3}  836=246\frac{8\cdot3}{6}=\frac{24}{6}8·36 =246  =4=4=4    

vilket ger att

limx3(f(x)+g(x))= \lim\limits_{x \to 3}(f(x)+g(x))=2+4=62+4=62+4=6 

Att beräkna gränsvärden numeriskt

För vissa funktioner är det inte möjligt att beräkna gränsvärdet algebraiskt. Då kan man försöka bestämma gränsvärdet genom att sätta värden nära värdet variabeln går mot för att på så sätt beräkna ett gränsvärdet numeriskt.

Exempel 7

Grafen beskriver exponentialfunktionen   y=0,7x+5y=-0,7^x+5y=0,7x+5. Bestäm funktionens gränsvärde då xxx blir oändligt stort.

Lösning

Genom att studera grafen ser vi att funktionen närmar sig värdet  y=5y=5y=5 då funktionen antar större och större värde på  xxx .

Algebraiskt kan vi beräkna detta genom att större och större värden för xxx.

 x=10x=10x=10 ⇒ y(10)=0,710+52,8101+5=4,72y\left(10\right)=-0,7^{10}+5\approx-2,8\cdot10^{-1}+5=4,72y(10)=0,710+52,8·101+5=4,72

 x=100x=100x=100 ⇒   y(100)=0,7100+53,231016+50+5=5y\left(100\right)=-0,7^{100}+5\approx-3,23\cdot10^{16}+5\approx0+5=5y(100)=0,7100+53,23·1016+50+5=5 

x=1 000 ⇒ y(1 000)=0,71 000+51,2510155+50+5=5y\left(1\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000}+5\approx-1,25\cdot10^{-155}+5\approx0+5=5y(1 000)=0,71 000+51,25·10155+50+5=5 

x=1 000 000 ⇒ y(1 000 000)=0,71 000 000+51,1010154 902+50+5=5y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx-1,10\cdot10^{-154\text{ }902}+5\approx0+5=5y(1 000 000)=0,71 000 000+51,10·10154 902+50+5=5 

Vi ser att för  x=1 000 000x=1\text{ }000\text{ }000x=1 000 000 får  y(1 000 000)=0,71 000 000+50+5=5y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx0+5=5y(1 000 000)=0,71 000 000+50+5=5. 

Det innebär att gränsvärdet för funktionen när xxx blir oändligt stort är 555

Med ett matematiskt språk skriver vi

limx \lim\limits_{x \to ∞}  0,7x+5=0+5=5-0,7^x+5=0+5=50,7x+5=0+5=5 

Man skulle även resonera sig fram till svaret genom att veta att en bas som finns i intervallet  0<0<0< a<1a<1a<1 kommer bli mindre och mindre ju större exponenten blir. Tillslut kommer värdet vara så litet att man kan räkna med det som det som värdet noll.

När använder man gränsvärden?

När vi vill beskriva hur en funktion förändras beräknar vi en ändringskvot i ett intervall. Ju mindre intervall vi väljer, ju bättre närmevärde till funktionens faktiska förändringshastighet. Vill vi få en exakt beskrivning av förändringen i en punkt behöver vi en tangent istället. Alltså en linje som tangerar, ”rör vid”, grafen i endast en punkt.

Men en tangent är inte helt lätta att rita så att den får en korrekt lutning, en lutning som faktiskt motsvarar punktens lutning. Lättare då är att rita en sekant, med ett mycket litet avstånd mellan de två punkterna. Det är här gränsvärdet framför allt tillämpas i denna kurs. Vi vill göra så att avståndet mellan punkterna närmar sig värdet noll. Alltså sammanfaller och går från att vara två punkter till att bli en. Det är detta gränsvärde som vi ska använda för att definiera derivatan.

En annan tillämpning är, som vi nämnt tidigare i denna text, för att kunna beräkna funktionens närmevärde för i punkter på grafen som ligger mycket nära variabelvärden där funktionen annars inte är definierad.  Till exempel för rationella funktioner. För att kunna motivera kontinuitet hos en rationell funktion kan vi använda gränsvärdet gör att utvidga den.

Utvidgad kontinuitet

För den som vill gräva ännu djupare inom begreppet gränsvärde ska vi nu titta på ett exempel på hur vi kan utvidga kontinuiteten med hjälp av gränsvärdet. Vi har tidigare sagt att ett gränsvärde existerar då  xax\rightarrow axa  och funktionen ff  är definierad för värden väldigt nära aa.

Exempel 8

Undersök om den rationella funktionen f(x)=f(x)= x26xx25x\frac{x^2-6x}{x^2-5x}x26xx25x  är kontinuerlig i punkterna x=0x=0 och x=5x=5.

Lösning

En funktionen är kontinuerligt om den är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd.

Vi ser att vi får nolldivision för  x=0x=0x=0 och x=5x=5x=5 vilket ger att det rationella uttrycket inte är definierat för dessa värden. Men hur är det med den rationella funktionen?

Vi undersöker om vi kan utvidga definitionsmängden för den rationella funktionen med hjälp av gränsvärdenax0x\rightarrow 0 och  x5x\rightarrow 5

Vi beräknar gränsvärdet för  x0x\rightarrow0  och får att

limx0f(x)= \lim\limits_{x \to 0} f(x)=  x26xx25x=\frac{x^2-6x}{x^2-5x}=x26xx25x =limx5f(x)= \lim\limits_{x \to 5} f(x)=  x(x6)x(x5)=\frac{x\left(x-6\right)}{x\left(x-5\right)}=x(x6)x(x5) =limx0f(x)= \lim\limits_{x \to 0} f(x)= x6x5=\frac{x-6}{x-5}=x6x5 = 65=\frac{-6}{-5}=65 = 1,21,21,2 

vilket ger att gränsvärdet existerar och vi kan utvidga definitions och värdemängden med hjälp av gränsvärdet  f(0)=1,2f\left(0\right)=1,2ƒ (0)=1,2.

Däremot kan vi inte definiera f(5)f\left(5\right) eftersom att limx5f(x) \lim\limits_{x \to 5} f(x) inte existerar. Vi kan avgöra detta grafiskt genom att skissa grafen till den rationella funktionen.

Rationell funktion

Vi ser att då vi närmar oss  x=5x=5x=5 från vänster gäller att

limx5f(x) \lim\limits_{x \to 5^-} f(x) går mot oändligt stora positiva funktionsvärden

och då vi närmar oss  x=5x=5x=5 från höger ger att

limx5+f(x) \lim\limits_{x \to 5^+} f(x) går mot oändligt stora negativ funktionsvärden

vilket leder till att

limx5+f(x)limx5f(x)  \lim\limits_{x \to 5^+} f(x) \ne \lim\limits_{x \to 5^-} f(x) 

och vi saknar därmed ett gränsvärde då xxx går mot 555.

Den rationella funktionen ffƒ  är kontinuerlig. Och med hjälp av gränsvärdet kan vi även lägga till x=0x=0 i definitionsmängden så att  ffƒ   blir kontinuerlig även för  x=0x=0x=0. Men inte x=5x=5 då gränsvärdet limx5f(x) \lim\limits_{x \to 5} f(x) inte existerar.

Exempel i videon

  • Beräkna gränsvärdet limx1x \lim\limits_{x \to ∞} \frac{1}{x}
  • Beräkna gränsvärdet limx10(100+x) \lim\limits_{x \to 10} (100+x)
  • Beräkna gränsvärdet limh02hx+h2h \lim\limits_{h \to 0} \frac{2hx +h^2}{h}
  • Beräkna gränsvärdet limx(9+9x) \lim\limits_{x \to ∞} \left( 9+\frac{9}{x} \right)