Gravitationsfält och elektriska fält

I fältmodellen tänker man sig att ett objekt med en viss egenskap skapar en störning i ”rummet”. Med ”rummet” avses den 3-dimensionella rymd som vi lever i. Den här störningen gör sedan att andra objekt med samma egenskap som befinner sig i denna förändrade del av rummet reagerar på störningen. Detta tolkar vi som att de påverkas av en kraft.

I fallet med elektriska laddningar så tänker man sig att objekt med egenskapen laddning, t.ex. en elektron, skapar en störning, ett elektriskt fält, omkring sig. Vi tänker oss även att en annan partikel, en s.k. testladdning, som har en positiv men mycket liten laddning och negligerbar massa, befinner sig i störningen, dvs. i fältet. Testladdningen kommer då att påverkas av fältet och påverkas av en kraft riktad mot elektronen. Detta ser vi i den övre vänstra bilden nedan. Eftersom testladdningen har så liten laddning så bortser vi från att den också skapar ett fält.

Vi kan ju inte se fältet men det finns lite olika sätt att illustrera det. Till att börja med så ska vi påminna oss om att laddningar påverkar varandra med krafter enligt Coulombs lag. Om vi kallar testladdningens laddning för lilla $q$q medan vi tänker oss elektronen som en mycket större, stationär laddning som vi kallar stora $Q$Q.

 $F_e=k\cdot\frac{Q\cdot q}{r^2}$F_e=k·Q·qr²  

Vi ser på formeln att kraften avtar med avståndet i kvadrat. Detta bör ju framgå då vi försöker illustrera fältet.

Ett sätt är att tänka sig ett fält är att det i alla punkter i fältet finns ett värde, en fältstyrka, som påverkar ett objekt med rätt egenskap som placeras där. Om fältstyrkan på avståndet $r_1$r₁ är $81$81 så är fältstyrkan på avståndet $r_2$r₂ istället $9$9 och på avståndet $r_3$r₃ så är den $3$3 osv. Ett exempel på detta ser vi i övre högra bilden nedan.

I den nedre vänstra bilden ser vi ett alternativt sätt att illustrera fältet, dvs. att rita ut pilar vars längd representerar fältets styrka. Fältet är vad man brukar kalla ett vektorfält.

Men även detta sätt kan bli lite omständligt och för att kvalitativt illustrera fältet använder man ofta s.k. fältlinjer vilket vi ser i den nedre högra bilden. Ju tätare fältlinjerna är, desto starkare är fältet. T.ex. ser vi att fältlinjerna är tätare närmare laddningen Q än längre ut, dvs. fältet är starkare där. Pilarna visar fältets riktning, i fallet med laddningar handlar det om den riktning en positiv laddning påverkas av fältet. Det är detta sätt vi kommer att använda fortsättningsvis.

Elektrisk fältstyrka

Coulombs lag ger alltså kraften som en laddning $q$q påverkas av då den befinner sig i det elektriska fältet skapat av den stationära laddningen $Q$Q. $r$r är avståndet mellan laddningarna och $k$k är en konstant.
Eftersom $Q$Q och $k$k är konstanta så ser vi att på ett givet avstånd $r$r så kommer kraften endast att bero på hur stor laddningen $q$q är, $Q$Q , $k$k och $r$r är ju då alla  konstanta. Så om vi dividerar kraften med laddningen $q$q så kommer vi få ett konstant värde som gäller på avståndet $r$r från $Q$Q, dvs.

 $\frac{F_e}{q}=k\cdot\frac{Q}{r^2}$F_eq =k·Qr² 

Detta värde kallas för fältstyrka, och speciellt för elektrisk fältstyrka i det här fallet. Vi betecknar detta värde E (ofta med dubbla streck för att inte förväxla det med beteckningen för energi) och får då att:

 $E=\frac{F_e}{q}=k\cdot\frac{Q}{r^2}$E=F_eq =k·Qr²  

Gravitationell fältstyrka

Om vi istället för egenskapen laddning pratar om egenskapen massa, och istället för en stationär elektron tänker oss jorden med massan $M$M. Och att på avståndet $r$r finns istället för en testladdning en liten testmassa $m$m, med så liten massa att den inte påverkar jorden så kanske vi minns att Newtons gravitationslag beskrev gravitationskrafterna mellan dessa massor som

 $F_g=G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$F_g=G·M·mr² 

Vi ser att Coulombs lag och Newtons gravitationslag är väldigt lika. Vi kan på motsvarande sätt som med laddningar och elektriska fält prata om massor och gravitationsfält eller ”tyngdkraftsfält”. Man tänker sig då på liknande sätt att objekt med egenskapen massa alstrar ett fält omkring sig som påverkar andra objekt med egenskapen massa som befinner sig i detta fält. Vi ser att tyngdkraften även de avtar med avståndet i kvadrat.

Vi gör på samma sätt som vi gjorde med det elektriska fältet, vi dividerar med testmassan $m$m för att få bara konstanter i högerledet. Dessa konstanter utgör ju den gravitationella fältstyrkan på avståndet $r$r från $M$M och vi kan kalla dem gemensamt för $g$g.

Vi kan därför skriva:

 $g=\frac{F_g}{m}=G\cdot\frac{M}{r^2}$g=F_gm =G·Mr² 

och löser vi ut kraften så får vi vårt gamla bekanta uttryck för tyngdkraften $F_g=mg$F_g=mg.

Notera likheterna mellan elektriska krafter och gravitationskrafter, massa och laddning spelar samma roll och tyngdaccelerationen och elektriska fältstyrkan spelar samma roll. Båda fenomenen kan alltså beskrivas av fältmodellen.

Om vi tittar på det radiella tyngdkraftfältet som jorden alstrar p.g.a. sin massa och zoomar in mer och mer så inser vi att fältlinjerna blir mer och mer parallella. Väldigt nära jordytan så använder vi approximationen att fältlinjerna är parallella och att avståndet till jordens mittpunkt, dvs. jordens radie är i stort sett konstant. Överallt är ju då fältstyrkan konstant och riktat åt samma håll och ett sådant fält kallas ett homogent fält.

Fältstyrkan vid jordens yta blir då:

 $g=\frac{F_g}{m}=G\cdot\frac{M_j}{r_j^2}=6,67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5,97\cdot10^{24}}{\left(6,37\cdot10^6\right)^2}\approx9,81\text{ }\frac{N}{kg}$g=F_gm =G·M_jr_j² =6,67·10⁻¹¹·5,97·10²⁴(6,37·10⁶)² ≈9,81 Nkg  

dvs. i princip det värde på tyngdaccelerationen vi använt tidigare i kursen. Notera att tyngdaccelerationen kan ha båda enheterna $\frac{N}{kg}$Nkg  och $\frac{m}{s^2}$ms² . 

Löser vi nu ut tyngdkraften ur $g=\frac{F_g}{m}$g=F_gm  så får vi ju också det uttryck för tyngdkraften vi använt tidigare, $F_g=mg$F_g=mg, som vi nu inser är Newtons gravitationslag omformulerad för att gälla lokalt vi jordytan. Det spelar alltså ingen roll var (i närheten av jordytan) vi placerar en massa m. Kraften som den påverkas av blir alltid $F_g=mg$F_g=mg.

Homogent elektriskt fält

Men detta var ju ett gravitationsfält. För att skapa ett homogent elektriskt fält kan vi använda två parallella plattor med motsatt laddning. Mellan dessa plattor kan man approximera fältet som homogent, dvs. det har samma styrka och samma riktning överallt i fältet.

Detta syns kvalitativt även på att fältlinjerna ligger lika tätt överallt. Det spelar alltså ingen roll var vi placerar en laddad partikel, det finns inte något avståndsberoende och på motsvarande sätt som för tyngdkraftfältet kan fältstyrkan skrivas $E=\frac{F_e}{q}$E=F_eq  och löser vi ut kraften så får vi att en laddning $q$q överallt i fältet kommer påverkas av kraften $F_e=qE$F_e=qE. Från fysik 1 vet vi även att om vi har en spänning $U$U och avståndet $d$d mellan plattorna så ges fältstyrkan även av $E=\frac{U}{d}$E=Ud .

Vi har nu tittat på begreppet fält och sett att vi kan beskriva kraftverkan på avstånd med fältmodellen. I synnerhet har vi sett att vi kan hantera gravitationella fält och elektriska fält på liknande sätt.

Tabellen nedan är en sammanställning av det vi gått igenom om fält i den här lektionen.

Vi har sett att när det gäller radiella fält såsom kring en laddad partikel eller en massa så ges storleken på krafterna av Newtons gravitationslag respektive Coulombs lag. Dividerar vi bort laddningen $q$q respektive massan $m$m ur dessa formler så får vi fältstyrkan $E=k\cdot\frac{Q}{r}$E=k·Qr  för elektriska fält och $g=G\cdot\frac{M}{r^2}$g=G·Mr²  för gravitationella fält.

Vi kan också tänka oss fält som är lika starka och lika riktade i alla punkter, s.k. homogena fält.

I homogena fält har vi inget beroende på avståndet och fältstyrkan är lika stor och lika riktad överallt. Detta gör att vi kan skriva kraftverkan på en laddning $q$q eller massa $m$m som placeras i fältet som $F_e=qE$F_e=qE respektive $F_g=mg$F_g=mg och fältstyrkorna som $E=\frac{F_e}{q}$E=F_eq  samt $g=\frac{F_g}{m}$g=F_gm .

Glöm bara inte bort att massa alltid är attraherande medan elektrisk laddning kan vara både attraherande eller repellerande. Här måste vi hålla koll på riktningen.