Laddade partiklar i magnetfält

Men vad beror kraften storlek på? Genom ledaren går en ström, och definitionen av ström är den laddningsmängd som passerar ett tvärsnitt av ledaren per sekund, eller matematiskt uttryckt:

 $I=$I= $\frac{\bigtriangleup Q}{\bigtriangleup t}$△Q△t   

Vi kan även skriva laddningsmängden som antalet elektroner multiplicerat med elektronladdningen:  $\bigtriangleup Q=N\cdot q_e$△Q=N·q_e  Om ledarens längd i magnetfältet är  $l$l  kan vi tänka det som en viss sträcka som elektronerna ska färdas på tiden $\bigtriangleup t$△t. Vi kan använda sambandet för konstant hastighet och skriva:

 $v=$v= $\frac{l}{\bigtriangleup t}$l△t    $\Rightarrow$⇒   $\bigtriangleup t=$△t= $\frac{l}{v}$lv  

 Vi sätter in detta i uttrycket för strömmen:

 $I=$I= $\frac{\bigtriangleup Q}{\bigtriangleup t}=\frac{N\cdot q_e\cdot v}{l}$△Q△t =N·q_e·vl   

Från en tidigare lektion vet vi att kraften på en strömförande ledare i ett yttre magnetfält ges av:

 $F=B_{\perp}Il$F=B_⊥Il

Detta är den sammanlagda kraften, och kraften på varje elektron är då:

 $F=$F=  $\frac{B_{\perp}Il}{N}$B_⊥IlN  , där  $N$N  är antal elektroner som i varje ögonblick befinner sig i ledaren inom magnetfältet.

Vi flyttar om och ersätter strömmen  $I$I  med uttrycket vi nyss tog fram, och förenklar:

 $F=$F= $\frac{B_{\perp}l}{N}\cdot I=\frac{B_{\perp}l}{N}\cdot\frac{N\cdot q_e\cdot v}{l}=$B_⊥lN ·I=B_⊥lN ·N·q_e·vl = $B_{\perp}\cdot q_e\cdot v$B_⊥·q_e·v 

Vi kan nu generalisera detta att gälla vilken ladd  $q$q  som helst och får då:

Notera att laddningens hastighetsriktning och magnetfältets riktning måste vara vinkelräta mot varandra. Om de inte är det från början måste vi komposantuppdela och endast räkna med den vinkelräta komposanten.

Vi ska nu se hur kraften är riktad. Vi kan använda samma högerhandsregel som vi använde för kraftriktningen på en strömförande ledare i ett yttre magnetfält. Eftersom laddningar i rörelse i praktiken är vad vi brukar kalla ström sätter vi återigen högra handens tumme i strömmens riktning. Obs! Kom nu ihåg att strömriktningen är definierad som den riktning som positiva laddningar rör sig i. Om vi vill bestämma kraftens riktning på negativa laddningar, som t ex elektroner, är alltså strömmens riktning motsatt elektronernas rörelseriktning. Övriga fingrar sätts i magnetfältets riktning, och vi får då kraften på laddningen i handflatans riktning precis som tidigare:

Det här innebär att laddade partiklar som kommer in i ett magnetfält med hastigheten vinkelrät mot magnetfältets riktning kommer att böja av och börja färdas i en cirkelrörelse.

I figuren är magnetfältet riktat ut ur pappret, vilket innebär att en negativt laddad partikel med hastigheten riktad åt höger påverkas av en kraft riktad uppåt, medan en positivt laddad partikel med samma riktning påverkas av en kraft riktad nedåt. Kontrollera själv med högerhandsregeln!

Allteftersom den laddade partikeln böjer av och ändrar riktning, ändras också strömriktningen, vilket då även påverkar kraftriktningen. Kraften är alltid vinkelrät mot rörelseriktningen, vilket gör att partikeln böjer av i en cirkelbana, och kraften är då riktad in mot cirkelns mitt. Den magnetiska kraften på partikeln agerar alltså centripetalkraft! (Kontrollera med högerhandsregeln.) Detta gör att vi kan styra laddade partiklar i olika praktiska tillämpningar genom att använda lämpliga hastigheter och magnetiska flödestätheter.

Hastighetsfilter (hastighetsväljare)

En tillämpning är ett så kallat hastighetsfilter eller hastighetsväljare, som filtrerar ut partiklar med en viss hastighet. För att skapa ett sådant filter behöver vi ”korsa” två fält, ett elektriskt fält och ett magnetiskt. Vi tänker oss därför ett homogent elektriskt fält med fältstyrkan  $E$E  mellan två laddade plattor, med den positiva plattan överst. En elektron som kommer in i fältet med en hastighet åt höger, vinkelrät mot fältet, kommer därmed att påverkas av en elektrisk kraft   $F_{el}=qE$F_el=qE  uppåt. Vi lägger sedan ett magnetfält vinkelrätt över det elektriska fältet, riktat in i skärmen. Elektronen kommer då även att påverkas av en magnetisk kraft  $F_m=qvB_{\perp}$F_m=qvB_⊥, riktad nedåt i figuren.

I slutet av området med de två fälten lägger vi ett hinder med en liten öppning i mitten. Om den elektriska kraften är större än den magnetiska kommer elektronen att avlänkas uppåt, och därmed inte ta sig förbi hindret. Motsvarande gäller om den magnetiska kraften är större än den elektriska, då kommer elektronen att avlänkas nedåt, och inte ta sig förbi hindret. 

Men om de båda krafterna är lika stora kommer elektronen att färdas rakt framåt, och ta sig ut genom öppningen i hindret. Att krafterna är lika stora innebär:

$F_{el}=F_m$F_el=F_m

 $qE=qvB$qE=qvB 

Vi förkortar bort laddningen $q$q och löser ut hastigheten $v$v:

 $v=$v= $\frac{E}{B}$EB   

Detta innebär att endast de partiklar som har denna hastighet kommer ta sig ut genom hindret. Om hastigheten är mindre än eller större än  $v=\frac{E}{B}$v=EB   missar de öppningen. Vi har nu skapat ett hastighetsfilter, dvs ett sätt att sortera ut partiklar med en viss hastighet. 

Vi har sett att en laddning i ett magnetiska fält påverkas av en konstant kraft, som är vinkelrät mot hastigheten, och laddningen kommer därför att böja av radiellt, dvs i en centralrörelse. Den kraft som agerar centripetalkraft är då den magnetiska kraften,  $F_m=F_c$F_m=F_c . Vi ställer upp denna likhet och och löser ut radien:

 $F_m=F_c$F_m=F_c 

 $qvB=$qvB= $\frac{mv^2}{r}$mv²r   

 $r=$r= $\frac{mv^2}{qvB}=\frac{mv}{qB}$mv²qvB =mvqB    

Vi ser att hur stor centralrörelsen blir, dvs hur stor radie den får, beror på massan, hastigheten, laddningen och magnetfältet. En större massa och hastighet ger en större radie, medan en större laddning och större magnetisk fältstyrka ger en mindre radie. Om vi löser ut massan ur sambandet ser vi att detta kan användas för att ”väga” en laddad partikel:

 $m=$m= $\frac{qBr}{v}$qBrv  

Vi låter en partikel med känd laddning  $q$q  och hastighet  $v$v  komma in i ett magnetfält med känd flödestäthet  $B$B. Partikeln kommer då att utföra en halvcirkelrörelse enligt figuren. Vi mäter sedan avståndet  $d$d  mellan öppningen och nedslagspunkten P. Detta avstånd är centralrörelsens diameter, och därmed vet vi indirekt radien och kan beräkna partikelns massa. En sådan här uppställning kallas en masspektrometer.