KURSER /
Matematik Högstadiet
/ Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet
Linjär optimering - Problemlösning
Författare:
Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Följande metod används för att lösa uppgifterna i denna genomgång:
- Beskriv först problemets villkor med hjälp av olikheter.
- Rita ut eller skissa området i planet (i ett koordinatsystem) som olikheterna beskriver.
- Ta reda på områdets hörnpunkter. (här används bland annat linjära ekvationssystem för detta).
- Testa hörnpunkternas koordinater i målfunktionen för att undersöka vilket som är det största/minsta värdet.
Exempel i videon
- Företaget ekonomibröderna AB erbjuder två kurser i bokföring. De kan max ha 80 kurser per år med totalt max 1000 deltagare. Intäkterna ges av tabellen i genomgången. Grundkursen i bokföring ger intäkter på 4000 kr och att de max kan ha 10 deltagare per kurs. Fortsättningskursen ger intäkter på 6000 kr och att där kan de max ha 20 deltagare per kurs. Frågan är nu hur många av varje typ av kurs företaget ska hålla för att maximera sina intäkter under ett år?
- (Från Nationellt prov Ma 3b) Sture har ett enmansföretag som köper in färdiga trädetaljer i furu. Han tillverkar enbart två produkter, pallar och byråer. Stures arbetsuppgifter består av att montera och lacka dessa, vilket han inte kan göra samtidigt. Följande data gäller för hans produktion:
En pall tar 0,25 timmar att montera och 0,4 timmar att lacka och ger en vinst på 150 kr per pall.
En byrå tar 0,5 timmar att montera, 1 timme att lacka och ger envinst på 320 kr.
Han har 15 timmar tillgängliga per vecka att montera och 25 timmar för att lacka.
a) Sture får en order på 40 pallar och 10 byråer. Hinner han tillverka dessa under en arbetsvecka?
b) bestäm den maximala vinsten som Stures företag kan göra under en arbetsvecka.
Kommentarer
e-uppgifter (2)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K 
Den totala vinsten mm kronor för ett företag som tillverkar två olika modeller av jeans kan beskrivas med målfunktionen m=2300x+2750ym=2300x+2750y , där xx är antalet sålda jeans av den första modellen och yy av den andra.
Hur stor är vinsten om de en dag säljer 44 jeans av den första modellen och 66 av den andra?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 25 700 kr(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Din vän vill beräkna hur mycket det kostar att köpa in material för att sticka halsdukar i sin stickklubb. Garnet kostar 135135 kr per garnnystan och stickorna i den storlek hon önskar kostar 3232 kr paret. Varje klubbmedlem behöver ett par stickor var.
Vilken målfunktion beskriver kostnaden för inköp till alla halsdukar de ska sticka i klubben, då det går åt totalt xx st garnnystan och det är yy medlemmar i klubben?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
c-uppgifter (3)
3.
(1/2/0)ME C A B 1 P 1 PL 1 M R K Ni är några från din klass ska baka chokladbollar och havrekakor för att sälja på en julbasar. Ni har köpt in 1010 liter havregryn och 44 kg smör. De andra ingredienserna har ni så mycket av, att det blir över efter baket.
Ni ställer upp ett system av olikheter, som begränsar ett område som anger alla möjliga kombinationer av antal satser av chokladbollar och havrekakor ni kan baka med de begränsande ingredienserna. Området visas i grafen nedan.
x=x= antal satser chokladbollar
y=y= antal satser havrekakor
a) Vilket är det största möjliga antalet satser chokladbollar ni kan baka enligt koordinatsystemet?
Ni diskuterar hur många satser av var sort ni ska baka för att få så stor vinst som möjligt. Den totala vinsten kan beräknas med målfunktionen m=120x+250ym=120x+250y
b) Vilken är den största möjliga vinsten?
Motivera ditt svar med beräkningar och redovisat resonemang.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Se mer: Linjär optimering - Prov 1Rättar...4. Premium
(0/3/0)E C A B 1 P 1 PL 1 M R K 
George har ett företag som levererar matlådor till familjer i sin stad. Han har två olika typer av lådor, en grönsakslåda och köttlåda.
Georges leveransbil rymmer max 1212 m³ och har en laglig lastvikt på max 13201320 kg. Följande information gäller för hans leveranser.
Köttlåda
Volym: 0,10,1 m³
Vikt: 4444 kg,
Vinst per låda 360360 krGrönsakslåda
Volym: 0,20,2 m³
Vikt: 88 kg
Vinst: 5050 krHur många av varje typ av låda skall George lasta vid varje utkörning (han behöver göra flera) för att maximera sin vinst?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(0/4/0)E C A B P PL 3 M R K 1 
Wendy och Said har bestämt sig för att gå och åka bergochdalbana ikväll. De köper totalt 6060 åkbiljetter och fundera på hur de ska fördela dem på sina två favorit banor.
Wendys favorit är Snurr-it, och kostar 22 åkbiljetter per tur.
Saids favorit är Fullt stup, och kostar 44 åkbiljetter per tur.De har bestämt sig för att åka alla åk tillsammans och att de i alla fall ska åka två gånger på bådas favoritbanor.
Hur många åk kan de åka på Snurr-it, för att uppfylla sina villkor och samtidigt åka så många åk som möjligt?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 11 gånger på Snurr-it.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Nora Grosselius
Hej! Har en fråga ang NP frågan. När jag försöker räkna ut var y < 25-0,4x kommer skära x-linjen får jag svaret till 62,5 och inte 70. Vad har jag gjort för fel i min uträkning??
Simon Rybrand (Moderator)
Du skall ha räknat rätt där. Vi kollar över om vi behöver förtydliga något i videon.
Ted Hyllert
Hejsan!
Har en fråga angående genomgången på den andra NP frågan. När du skall räkna ut dom räta linjernas skärningspunkt så förstår jag inte hur det kan bli (50,5) när det klart och tydligt syns på grafen att den skär x-axeln vid 40, och den skär y-axeln mellan 10-20. Detta syns i videon på 12:33. Förstår inte riktigt hur dte går ihop?
Tack för bra videos och genomgångar btw!
tacksam för svar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det är bara en skiss där i videon på hur linjerna kan se ut i koordinatsystemet. För att veta exakt var de skär varandra så löser jag det algebraiskt.
Christoffer Gustavsson
Hej!
Hur gör jag för att lättast kunna dra en linje från y axeln till x axeln, om y är större eller likamed 20 och x är -0,4. Jag vet att jag ska börja från 20 på y axeln men hur gör jag för att ta mig nedåt mot x axeln så lätt och korrekt som möjligt?
Om x hade varit 1, hade jag gått ett steg åt sidan och 1 steg neråt. Men hur gör jag om det är svårare tal att jobba med?
Tack för hjälpsamma videor!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Christoffer
Här har du två punkter (0;20) och (−0,4;0) vilka en linje skall gå igenom. Använd då formeln för k för att ta reda på denna linjes lutning:
0−(−0,4)20−0=0,420=50.
Linjen är alltså y=50x+20
Mattefreak
En problemlösning, som jag inte hittar lösningen på är.
Hos ett tryckeri kostar det 600 kr att trycka de första 50 reklambladen. Därefter avtar kostnaden så att varje yttligare reklamblad (x) kostar K(x)= 25/roten ur (x)
Vad kostar det att trycka totalt 2500 reklamblad?
Daniel yazdi
Väldigt bra förklarat!! bravo
tenka
Hej där.
Räknade på övningsuppgiften på den här sidan och fick samma villkor som i svaret. Jag ritade dock upp villkoren i desmos och använde de koordinater jag fick. Punkten (0.165) fick jag inte med då den begränsades av villkoret att y ska va mindre eller lika med 60-0,5x. Den skär på y-axeln i 60 och då kan väl inte punkten (0.165) få ingå? Vad tänker jag fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du tänker inte fel, den punkten skall inte ingå i de hörnpunkter som vi skall använda oss av utan (0, 60) skall ingå istället.
Tack för att du kommenterade detta!
Mattefreak
Kluven på denna uppgift, måste lösa de då jag har nationella på Fredag 😀 Vill inte misslyckas med liknande frågor då!
Vinstfunktionen z(x,y)= 100x-90y (kronor) är definierad på den rektangel i xy-planet som ges av olikheterna
{−2≤≤5
−4≤≤6}
Bestäm den maximala vinsten för funktionen.
Mattefreak
-2 till 5 är x-intevall
-4 till 6 är y-intervall
Simon Rybrand (Moderator)
Här sätter du in hörnpunkternas koordinater i målfunktionen (vinstfunktionen) och beräknar dessa fyra olika värden. Det som blir högst är den maximala vinsten. Så de punkter (rita gärna upp rektangeln) du behöver undersöka är:
(−2,6)
(5,6)
(5,−4)
(−2,−4)
Janina Carvajal
Hej jag har en fråga, i y ≤ -0,5x+30, så vet jag att strecket i y axeln ska börja på 30. Men hur kommer man fram till vart strecket ska korsa i x axeln? I videon hamnade det på 60, men beroende på vilken vinkel/hur jag håller linjalen kan jag ju få 50 och 70. Hur kan man vara säker på att man fått rätt?
Ursäkta rörig fråga
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Du vet att linjen skär y-axeln då y=0 så du kan vara säker på detta genom att lösa ekvationen
−0,5x+30=0⇔
−0,5x=−30⇔
x=−0,5−30=60
Nora Laja
Hejsan! Jag har nämligen svårt att förstå hur man vet vilka ekvationsystem man behöver när man ska bestämma hörnens koordinater. Finns det en lättare förklaring? 🙂 tex: y är < eller = 160-4×
Y är eller = 0
Y är > eller = 0
Hur kan jag nu bestämma hörnens koordinater. Hur vet man vilka man ska lösa tillsammans?
Nora Laja
Glömde en till:
Y är < eller = 85-0,25x
Simon Rybrand (Moderator)
Det absolut säkraste är nog att du ritar ut linjerna så att du ser framför dig hur olikheterna ser ut. Då blir det enklare att veta vilka ekvationer som du behöver lösa för att ta reda på hörnens koordinater. I ditt fall här så kan det se ut enligt:
Linjen med ”brantast lutning” är y=−4x+160.
Marko
hej! hjälp,vet ej hur jag löser detta förutom skriva olikheterna… Kalle har öppnat en affär som säljer barnvagnar. Han har ett startkapital på 416 000 kr som kan användas för köp av två sorters barnvagnar. Modell A har en inköpskostnad på 2400 kr och en vinst vid försäljning på 1000 kr. Modell B har en inköpskostnad på 4000 kr med vinsten 1200 kr. Utrymmet i affären tillåter att man högst köper in 150 barnvagnar. Vilken är den största vinst man kan göra med det disponibla inköpsbeloppet? tack
Simon Rybrand (Moderator)
Kalla antalet modell A för x och antalet modell B för y.
Målfunktionen blir då m=1000x+1200y.
Olikheten för inköpskostnaderna blir 2400x+4000y≤416000.
Olikheten för antalet barnvagnar blir x+y≤150.
Vi kan nu ställa upp följande olikheter:
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x≥0,y≥02400x+4000y≤416000x+y≤150
Vi skriver om olikheten 2400x+4000y≤416000 som y≤−0,6x+104 och olikheten x+y≤150 som y≤−x+150 så att vi har
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x≥0,y≥0y≤−0,6x+104y≤−x+150
Nu söker du hörnpunkterna för det området som begränsas av dessa olikheter. Som hjälp kan man rita ut linjerna y=−0,6x+104 y=−x+150
Du behöver nu ta reda på där y=−0,6x+104 skär y-axeln, linjernas skärningspunkter och där y=−x+150 skär x-axeln.
Sedan testar du dessa hörnpunkter i din målfunktion och får då reda på vilket som är det största värdet.
Sebastian Törnqvist
i testuppgiften finns det en till skärningspunkt i (30,0) som ger 10800kr i vinst istället för (21,49) som ger 10010kr i vinst, 10800>10010.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi har korrigerat denna övningsuppgift, tack för att du kommenterade detta.
stefanovski
Hej ska det inte vara: Mest vinst ger 21 köttlådor och 49 grönsakslådor. Du skrev 29 grönsakslådor? 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, så skall det vara, ursäkta detta, tack för att du påpekade det!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vilken uppgift är det som du funderar på, i video eller i testet?
Chris Buckley
Hej, jag har en fråga om uppgiften.
Varför inte (30 , 0)? Som ger 360(30) + 50(0) = 10800, som är större.
Tack på förhand.
christopher
10x + 20y <= 1000 – Du gör om det till y <= -0.5x + 50
Har du gått igenom hur man räkna om från x + y till koordinater?
Och i videon. Hur vet du exakt vart du ska rita ut linjerna i koordinat systemet?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, detta bygger ganska mycket på kunskaper om räta linjer och räta linjens ekvation där man utifrån en formel tar fram k och m-värdena. Det gäller också att lära sig att tolka dessa på rätt vis. Dvs att k är lutning och m är y – värdet där linjen skär y – axeln. Det kan vara viktigt i detta sammanhang att repetera det, då tror jag att det är lättare att förstå hur linjär optimering fungerar. Säg gärna till om det är någon specifik linje du vill ha hjälp med att förstå hur man kan rita ut.
ViktoriaEk
Hej! Har en fråga på uppgiften om matlådorna. Varför har du med punkten (0,165) i uträkningen? När jag går igenom villkoren finns inte den punkten med i det skuggade området (som du gör på videorna) och alltså går punkten emot villkoren. Eller har jag förstått det fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Viktoria, det är för att linjen y = -5,5x + 165 skär y axeln i punkten (0, 165), dvs det är en hörnpunkt och skall därför testas om den ger maximalt värde.
TobiasThejll
Hänger inte med här, ”sätter in detta x värde i y = -0,5x + 40”
Vart kommer 40 ifrån. Tidigare i lösningen så var det y = -0,5x + 60
Simon Rybrand (Moderator)
Hejsan!
Det verkar har slunkit in ett fel där i förklaringen, det är åtgärdat och tack för att du kommenterade detta!
vanessa.aira
Hej där! Jag förstår inte varför man i första exemplet behöver räkna ut punkterna 60,20 då det lätt går att avläsa dessa punktef på grafen. Är ju exakt likadant som man fått fram de andra kordinaterna… Eller har jag missat något???
Tacksam för svar snarast !
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Anledningen till att vi räknar ut denna skärningspunkts koordinater är för att det ibland kan vara svårt att se de exakta värdena ur en bild. Det är alltså framförallt för att vara säkra på att det är just de koordinaterna där. Har man en väldigt tydlig bild kan man förstås avläsa detta ur en figur.
Endast Premium-användare kan kommentera.