00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b

Linjär optimering - träna exempel på plan och halvplan

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi inte igenom ny teori. Vi exemplifierar itället hur man kan förstå och jobba med olikheter för att beskriva områden i planet.

Det kan det vara bra att ha förkunskaper om räta linjens ekvation för att kunna följa alla resonemang. Framförallt att förstå räta linjer skrivna på formen y=kx+m y = kx + m där

  • k = riktningskoefficienten eller linjens lutning.
  • m = y – värdet där linjen skär y – axeln, dvs där x = 0.

Ligger halvplanet över eller under linjen?

Här kommer ett trick, som kanske kan hjälpa dig om du känner dig osäker på hur vida halvplanet ligger över eller under linjen.

Lägg din högra hand på högkant längst upp på koordinatsystemets övre kant. Lillfingret ska vara parallellt med xxx -axeln och handflatan öppen nedåt mot koordinatsystemets nedre kant.  För sedan din högra hand ovanifrån mot linjen och låt den ”landa” på linjen. Området som hamnar under handflatan är då under linjen och motsvarar alltså att  yyy -värdena är mindre än linjen. För området ovanför handen gäller att halvplanet är över linjen, vilket i sin tur med för att  yyy -värdena är större än linjen.

För linjen  x=ax=ax=a gäller i stället att du för handen från höger mot linjen och avgör på så sätt om det markerade halvplanet är på ovansidan av handen, vilket motsvarar större värden eller på undersidan av handflatan och motsvarar mindre värden.

Utöver detta bör du observera om linjen är heldragen och tillhör halvplanet eller streckad och inte tillhör halvplanet, för att kunna teckna korrekt olikhet.

 ,\le,\ge,  olikheterna är slutna. tillhör alla punkter på linjen halvplanet. Linjen som delar planet är heldragen.

 <,><,><,>  olikheterna är öppna. Då tillhör ingen av punkterna på linjen halvplanet. Linjen som delar planet är streckad.

Hur kan man avgöra om en punkt tillhör halvplanet?

Vi kan undersöka det grafiskt genom att rita upp linjen och plottar ut punkten och på så sett se om den tillhör halvplanet. 

Men vi kan även undersöka det algebraiskt. Ofta går det snabbare än att rita halvplanet i ett koordinatsystem.

Genom att sätt in punktens koordinater i olikheten och se om den uppfylls kan vi avgöra hur vida den tillhör halvplanet eller ej. Uppfylls olikheten tillhör punkten planet. Om inte tillhör den ej halvplanet.

Tex skulle vi kunna undersöka om punkten (4, 1)\left(4,\text{ }-1\right)(4, 1)  tillhör halvplanet som beskrivs av olikheten  y<y<y< 2x32x-32x3 genom att sätta in värdet på xxx och yyy för punkten i VLVLVL och HLHLHL . Punkten har ju har xxx -värdet fyra och yyy -värdet minus ett. Det skulle i vår olikhet  y<y<y< 2x32x-32x3 ge att

 VL=1VL=-1VL=1  och HL=243=5HL=2\cdot4-3=5HL=2·43=5 

vilket i sin tur leder till att

 VL<VL<VL< HLHLHL   då  1<5-1<51<5 

Detta stämmer överens med vad den den givna olikheten anger och därför tillhör punkten (4,1)\left(4,-1\right)(4,1) halvplanet.

Tips när du ska markera ett område

Då den linjära olikheten som definierar ett halvplan, inte uttrycks på så sätt att den är lik räta linjens kkk -form, alltså att variabeln yyy  är själv i ena ledet, bör den skrivas om så att det blir lättare att avgöra punkternas relation till halvplanet.

Till exempel underlättar det jobbet med att markera halvplanet som beskrivs av olikheten  y+2x30y+2x-3\le0y+2x30 om man först skriver om olikheten så här.

 y+2x30y+2x-3\le0y+2x30        Addera båda leden med 333 

 y+2x3y+2x\le3y+2x3                Subtraheta båda leden med 2x2x2x

 y2x+3y\le-2x+3y2x+3 

Nu kan man lättare rita linjen som delar planet i två halvor! 

Exempel i videon

  • Markera ett område i planet som kan beskrivas av y < -x + 3.
  • Ligger punkten (-2, 0) i det halvplan som beskrivs av y +2x + 2 ≤ 0