Linjär optimering - träna exempel på plan och halvplan

I den här lektionen går vi inte igenom ny teori. Vi exemplifierar itället hur man kan förstå och jobba med olikheter för att beskriva områden i planet.

Det kan det vara bra att ha förkunskaper om räta linjens ekvation för att kunna följa alla resonemang. Framförallt att förstå räta linjer skrivna på formen $y = kx + m$ där

• k = riktningskoefficienten eller linjens lutning.
• m = y – värdet där linjen skär y – axeln, dvs där x = 0.

Här kommer ett trick, som kanske kan hjälpa dig om du känner dig osäker på hur vida halvplanet ligger över eller under linjen.

Lägg din högra hand på högkant längst upp på koordinatsystemets övre kant. Lillfingret ska vara parallellt med $x$x -axeln och handflatan öppen nedåt mot koordinatsystemets nedre kant.  För sedan din högra hand ovanifrån mot linjen och låt den ”landa” på linjen. Området som hamnar under handflatan är då under linjen och motsvarar alltså att  $y$y -värdena är mindre än linjen. För området ovanför handen gäller att halvplanet är över linjen, vilket i sin tur med för att  $y$y -värdena är större än linjen.

För linjen  $x=a$x=a gäller i stället att du för handen från höger mot linjen och avgör på så sätt om det markerade halvplanet är på ovansidan av handen, vilket motsvarar större värden eller på undersidan av handflatan och motsvarar mindre värden.

Utöver detta bör du observera om linjen är heldragen och tillhör halvplanet eller streckad och inte tillhör halvplanet, för att kunna teckna korrekt olikhet.

Vi kan undersöka det grafiskt genom att rita upp linjen och plottar ut punkten och på så sett se om den tillhör halvplanet. 

Men vi kan även undersöka det algebraiskt. Ofta går det snabbare än att rita halvplanet i ett koordinatsystem.

Tex skulle vi kunna undersöka om punkten $\left(4,\text{ }-1\right)$(4, −1)  tillhör halvplanet som beskrivs av olikheten  $y<$y< $2x-3$2x−3 genom att sätta in värdet på $x$x och $y$y för punkten i $VL$VL och $HL$HL . Punkten har ju har $x$x -värdet fyra och $y$y -värdet minus ett. Det skulle i vår olikhet  $y<$y< $2x-3$2x−3 ge att

 $VL=-1$VL=−1  och $HL=2\cdot4-3=5$HL=2·4−3=5 

vilket i sin tur leder till att

 $VL<$VL< $HL$HL   då  $-1<5$−1<5 

Detta stämmer överens med vad den den givna olikheten anger och därför tillhör punkten $\left(4,-1\right)$(4,−1) halvplanet.

Till exempel underlättar det jobbet med att markera halvplanet som beskrivs av olikheten  $y+2x-3\le0$y+2x−3≤0 om man först skriver om olikheten så här.

 $y+2x-3\le0$y+2x−3≤0        Addera båda leden med $3$3 

 $y+2x\le3$y+2x≤3                Subtraheta båda leden med $2x$2x

 $y\le-2x+3$y≤−2x+3 

Nu kan man lättare rita linjen som delar planet i två halvor! 

• Markera ett område i planet som kan beskrivas av y < -x + 3.
• Ligger punkten (-2, 0) i det halvplan som beskrivs av y +2x + 2 ≤ 0