Matematisk beskrivning av harmonisk svängningsrörelse

Exempel

Bosse hänger en liten julstjärna som väger $400$400 g i ena änden på en fjäder. Han sätter sedan julstjärnan i svängning genom att dra ut fjädern en bit och sedan släppa. Han uppskattar avståndet mellan det övre och det nedre vändläget till $20$20 cm och mäter tiden det tar för stjärnan att utföra en svängning till $1,1$1,1 s.

a) Skriv ett uttryck för elongationen.

b) I vilket läge är julstjärnans fart som störst och vilket värde har den då?

c) Hur stor är accelerationen när julstjärnan är mitt emellan jämviktsläget och det övre vändläget?

Lösning

a) Elongationen kan allmänt skrivas som $y=Asin\left(\text{ω}t\right)$y=Asin(ω‍t). Vi börjar med att ta reda på amplituden  $A$A. Vi kallar det totala avståndet mellan vändlägena för $A_y$A_y. Amplituden är avståndet mellan jämviktsläge och vändläge, vilket innebär att amplituden måste vara halva $A_y$A_y, dvs  $A=\frac{A_y}{2}$A=A_y2  .
Vi sätter in värden:

 $A=$A= $\frac{0,20}{2}$0,202  $=0,10$=0,10  m

Nu behöver vi beräkna vinkelhastigheten  $\text{ω}$ω. Vi vet att vinkelhastigheten kan skrivas  $\text{ω}=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT . Vi sätter in periodtiden $1,1$1,1 sekunder och får då att vinkelhastigheten är 
 $\text{ω}=$ω= $\frac{2\pi}{1,1}$2π1,1  $=5,711…\approx5,7$=5,711…≈5,7  rad/s

Vi kan nu skriva uttrycket för elongationen som:
 $y=0,10\sin\left(5,7t\right)$y=0,10sin(5,7t)

b) Vi vet från tidigare lektioner att objektet har sin maximala fart då det passerar jämviktsläget. Detta kan visas matematiskt med hjälp av funktionsuttrycket för hastighet.
 $y\left(t\right)=Asin\left(\text{ω}t\right)$y(t)=Asin(ωt) 
 $v=y’\left(t\right)=\text{ω}Acos\left(\text{ω}t\right)$v=y’(t)=ωAcos(ωt) 
 $t=0$t=0  (dvs då objektet är vid jämviktsläget) ger  $\cos\left(\text{ω}t\right)=1$cos(ωt)=1  och  hastigheten är då maximal:  $v_{max}=\text{ω}A$v_max=ωA 

Vi sätter in våra värden och får att:
 $v=5,711…\cdot0,10=0,571…\approx0,57$v=5,711…·0,10=0,571…≈0,57  m/s.

c) Nu ska vi bestämma accelerationen i ett visst läge. Det finns flera sätt att göra detta, men till att börja med behöver vi ett uttryck för accelerationen. Det får vi genom att derivera uttrycket för hastigheten. Vi får då att:

 $y\left(t\right)=Asin\left(\text{ω}t\right)$y(t)=Asin(ωt) 
 $v=y’\left(t\right)=\text{ω}Acos\left(\text{ω}t\right)$v=y’(t)=ωAcos(ωt)
 $a=-\text{ω}^2A\sin\left(\text{ω}t\right)$a=−ω²Asin(ωt)

Eftersom  $Asin\left(\text{ω}t\right)=y$Asin(ωt)=y  kan vi förenkla till  $a=-\text{ω}^2y$a=−ω²y.

Positionen som anges i uppgiften är ”mitt emellan jämviktsläget och det övre vändläget”, dvs julstjärnan är  $5,0$5,0  cm ovanför jämviktsläget. Vi sätter in  $y=0,050$y=0,050  m i det förenklade uttrycket för accelerationen:

 $a=-\text{ω}^2y=-5,711…^2\cdot0,050=1,631…\approx1,6$a=−ω²y=−5,711…²·0,050=1,631…≈1,6  m/s$^2$²