00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet

Median, Medelvärde och Typvärde

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Medelvärde, median och typvärde är tre olika lägesmått som alla är till för att lättare kunna jämföra olika datamängder.

Medelvärde, median och typvärde

Kalkylator för Medelvärde, Median och typvärde

Skriv i en lista på tal där du separerar talen med semi-kolon ”;”. Kalkylatorn räknar därefter ut medelvärde, median och typvärde. Observera att det framförallt fungerar med mindre listor av tal.

Hur ska man kunna jämföra olika statistiska resultat?

I det samhälle vi lever, finns ett stort fokus på att jämföra och analysera allt. Varför det? Framför allt för att kunna optimera olika områden i samhället. Därför har den gren inom matematiken som kallas statistik stor utbredning i vårt samhälle.

Statistik sysslar nämligen med att samla in, utvärdera och analysera den värd vi lever i. Utvärderingar och analyser används sedan för att försöka förutspå eller dra slutsatser kring olika saker. Exempelvis kring hur vi ska fördela statens och kommunernas pengar och resurser eller för att avgöra vad som är bättre eller sämre på olika vis. 

För att underlätta jämförandet mellan olika datamängder, har man tagit fram ett antal olika så kallade lägesmått. Vi ska nu titta närmre på lägesmåtten medelvärde, median och typvärde.

Förståelsen av de olika lägesmåtten underlättas om du kan begreppen datamängd, observationsvärde och frekvens. Därför är det bra att repetera dessa begrepp om du inte känner dig säker på dem. Exempelvis med hjälp av lektionen Diagram och tabeller.

Vilket lägesmått är bäst?

Ofta tar man fram alla de tre lägesmåtten medelvärde, median och typvärde vid analys av en datamängd. Däremot är olika lägesmått mer eller mindre intressanta vid olika tillfällen. Därför väljer man ibland att bara presentera eller fokusera mer på ett eller två av dem. Vilka man väljer beror på vad det är man vill understryka med sin redovisning av undersökningen. Det finns nämligen tillfällen då ett visst lägesmått kan bli något missvisande. 

Vi börjar med ett exempel. 

Exempel 1


Du och din vän har bestämt att ni ska försöka spendera lite mindre pengar på godis under en vecka. Därför antecknar ni alla era köp under en vecka. Efter det träffas ni för att utvärdera hur det gått och har då båda bestämt ert medelvärde, median och typvärde på era utgifter på godis under veckan.

Ditt typvärde och median är båda noll. Din väns typvärde och median är båda tio. Trots det påstår din vän att du spenderat mer pengar på godis under veckan. Studera tabellen och undersök om din vän har rätt eller fel.

Lägesmått Din väns resultat Ditt resultat
Typvärde  101010 kr  000  kr
Median  101010  kr  000 kr
Medelvärde  151515  kr  202020  kr
 
Lösning

Efter som att undersökningen pågått i sju dagar, kan vi beräkna hur mycket pengar ni var och en lagt på godis totalt under veckan. Det gör vi genom att multiplicera medelvärdena med antalet dagar, sju.

Din väns utgifter på godis under veckan.

 157=10515\cdot7=10515·7=105 kr.

Dina utgifter på godis under veckan.

 207=14020\cdot7=14020·7=140 kr.

Vi ser då att du spenderat mer pengar på godis under veckan, trots att både ditt typvärde och median har lägre värde än din väns. Med andra ord har din vän rätt.

Hur kan detta gå ihop? Vi går nu igenom hur man beräknar det olika värdena steg för steg.

Medelvärde

Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra de olika observationerna med ett så kallat medelvärde. Medelvärdet anger datamängdens genomsnittliga värde. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en viss observation är större eller mindre än det genomsnittliga värdet. Man beräknar medelvärdet på följande vis.

 Medelva¨rde=\text{Medelvärde}=Medelvärde=  Summan av alla observationsva¨rdenAntal observationer\frac{\text{Summan av alla observationsvärden}}{\text{Antal observationer}}Summan av alla observationsvärdenAntal observationer  

Medelvärdet är bara möjligt att beräkna då din datamängd innehåller numeriska värden, alltså tal.

Exempel 2


Beräkna medelvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

  Din vän Du
Måndag  101010 kr  000 kr
Tisdag  101010 kr  000 kr
Onsdag  101010 kr  000 kr
Torsdag  101010 kr  000 kr
Fredag  101010 kr  000 kr
Lördag  454545  kr  140140140 kr
Söndag  101010  kr  000 kr
 
Lösning

Vi beräknar medelvärdet genom att först summera alla observationer. Efter det delar vi med frekvensen, alltså antalet observationer.

 Din va¨ns medelva¨rde\text{Din väns medelvärde}Din väns medelvärde  =10+10+10+10+10+45+107=1057==\frac{10+10+10+10+10+45+10}{7}=\frac{105}{7}==10+10+10+10+10+45+107 =1057 =151515 

 Ditt medelva¨rde\text{Ditt medelvärde}Ditt medelvärde =0+0+0+0+0+140+07=1407==\frac{0+0+0+0+0+140+0}{7}=\frac{140}{7}==0+0+0+0+0+140+07 =1407 =202020 

Som ett resultat ser vi att din vän har ett lägre medelvärde än dig. 

I denna uppgift, precis som för all annan statistik, behöver man reflektera kring vad medelvärdet egentligen visar. Du har i genomsnitt spenderat 555 kronor mer per dag under veckan, vilket i sig är ett intressant resultat utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis. Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du alla dagar utom en dag spenderat 101010 kr mindre än din vän på godis.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att det finns tillfällen där medelvärdet är mer intressant än annars. Till exempel är det vanligt att ta fram ett medelvärde på en klass provresultat eller en arbetslags lön för att kunna jämföra vad som kan vara en rimlig nivå på ett godkänt resultat eller ok lön.

Median

Vid vissa undersökningar är det intressant att kunna jämföra hur de olika observationerna för håller sig till varandra. Medianen motsvarar datamängdens mittobservation, då den står i storleksordning. Det är alltså ett mått som gör det möjligt att jämföra om en observation är större eller mindre än värdet i mitten.

 Median\text{Median}Median 

Mittenvärdet i datamängden när den står i storleksordning. Vid jämnt antal värden blir medianvärdet medelvärdet av de två mittersta värdena.

Vi titta nu på hur man kan bestämma medianen utifrån vårt tidigare exempel kring utgifterna på godis.

Exempel 3


Beräkna medianen för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

  Din vän Du
Måndag  101010 kr  000 kr
Tisdag  101010 kr  000 kr
Onsdag  101010 kr  000 kr
Torsdag  101010 kr  000 kr
Fredag  101010 kr  000 kr
Lördag  454545  kr  140140140 kr
Söndag  101010  kr  000 kr
 
Lösning

Vi ordnar till att börja med datamängden i storleksordning.

Din väns datamängd

 10, 10, 10, 10, 10, 10,  4510,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }\text{ }4510, 10, 10, 10, 10, 10, 45 

Vi ser att observationsvärdet 101010 är det mittersta talet, vilket då motsvarar medianen.

Din egen datamängd

 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1400,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }1400, 0, 0, 0, 0, 0, 140 

Vi ser att observationsvärdet 000 är det mitterst talet, vilket då motsvarar medianen.

Sammanfattningsvis är din medians värde lägre än din väns. 

På liknande vis som med medelvärdet behöver man reflektera kring vad medianen egentligen visar. Din median är 101010 kronor lägre, med hur intressant är det utifrån att ni ville sänka era utgifter på godis? Det är ett faktiskt resultat, även om det i verkligheten är så att du totalt spenderat mer pengar på godis under veckan, än din vän.

Beräkna median med ett jämt antal observationer

När du har ett udda antal observationer kan du med enkelhet plocka ut medianen, eftersom att det motsvarar det mittersta värdet.

Men när du har ett jämt antal observationer i din datamängd, beräknar du medianen genom att först addera det två mittersta observationerna. Efter det delar du på två. Du beräknar alltså medelvärdet på det två mittobservationerna.

Exempel 4

Ange medianen i datamängden nedan.

 2, 5, 6, 8, 10, 102,\text{ }5,\text{ }6,\text{ }8,\text{ }10,\text{ }102, 5, 6, 8, 10, 10 

Lösning

Datamängden står redan i storleksordning. Eftersom att vi har ett jämt antal observationer, plockar vi ut de två mittvärdena och bestämmer medelvärdet på dem för att bestämma medianen. Vi ser att observationsvärdena 666 och 888 är de aktuella värdena.

 Median\text{Median}Median  =6+82==\frac{6+8}{2}==6+82 = 777 

Medelvärdet av de två mittersta talen är 777. Därför är medianen 777.

Typvärde

Vid vissa undersökningar är det intressant att veta vilket observationsvärde som är det vanligaste. Därför har man tagit fram lägesmåttet typvärde. Det ange helt enkelt det observationsvärde med högst frekvens.

 Typva¨rde\text{Typvärde}Typvärde

Typvärdet är det vanligast förekommande observationsvärdet i en datamängd.

Vilket belopp var det vanligaste du och din vän spenderade per dag i godisexemplet?

Exempel 5


Beräkna typvärdet för hur mycket pengar per dag du och din vän spenderat på godis under veckan. Använd tabellen.

  Din vän Du
Måndag  101010 kr  000 kr
Tisdag  101010 kr  000 kr
Onsdag  101010 kr  000 kr
Torsdag  101010 kr  000 kr
Fredag  101010 kr  000 kr
Lördag  454545  kr  140140140 kr
Söndag  101010  kr  000 kr
Lösning

Till att börja med ordnar vi datamängden i storleksordning. Som ett resultat blir det är lättare att se vilket observationsvärde som är vanligast.

Din väns datamängd

 10, 10, 10, 10, 10,10,  4510,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,\text{ }10,10,\text{ }\text{ }4510, 10, 10, 10, 10,10, 45 

Vi ser att observationsvärdet 101010 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.

Din egen datamängd

 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1400,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }0,\text{ }1400, 0, 0, 0, 0, 0, 140 

Vi ser att observationsvärdet 000 är det vanligaste talet, vilket då motsvarar typvärdet.

Med andra ord har du ett lägre typvärde än din vän. 

Hur intressant är typvärdet i denna uppgift? Vad är det typvärdet egentligen visar? Ditt typvärde är 101010 kronor lägre än din väns. Men som vi sett betyder det inte att du har lägre utgifter på godis än din vän. Däremot är det kanske mer intressant utifrån ett hälsoperspektiv.

Enligt min tandläkare är det bättre att äta mycket godis en gång i veckan än lite hela tiden. Men huruvida du och din vän ätit lite godis varje dag eller ej kan vi inte utläsa ur datamängden. Den anger endast hur mycket pengar ni spenderat per dag. Om ni delat upp ätandet på fler dagar, ätit allt själv eller bjudit på andra anger inte undersökningen.

Sammanfattningsvis kan vi konstatera att hur statistiskt material ska tolkas och presenteras så att det blir begripbar är en hel vetenskap. På Statistikmyndigheten SCB kan du hitta en massa intressant statistik att analysera och granska. Efter att du jobbat en del med statistik kommer du se att man kan dra lite olika slutsatser utifrån samma undersökning. Dessutom kan man välja att redovisa sina mätvärden på olika vis. Inget av det behöver var fel. Det finns nämligen många korrekta varianter. Men vissa slutsatser kanske är mer tvivelaktiga än andra. Vi kommer att titta mer på detta i lektionen Vilseledande statistik.