00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Med hjälp av mittpunktsformeln beräknar koordinaterna för mittpunkten mellan två punkter som ligger på samma linje. Du behöver känna till de bägge punkternas koordinater.

Denna formel ingår i det som kallas för koordinatgeometri, vilket är en del av geometrin som behandlar punkter i planet och rummet kombinerat med algebra.

Mittpunktsformeln

Koordinaterna för mittpunkten  M=(xm, ym)M=\left(x_m,\text{ }y_m\right)M=(xm, ym)  mellan två punkter (x1, y1)\left(x_1,\text{ }y_1\right)(x1, y1) och (x2, y2)\left(x_2,\text{ }y_2\right)(x2, y2) ges av formeln

 xm=x_m=xm= x1+x22\frac{x_1+x_2}{2}x1+x22     och      ym=y_m=ym= y1+y22\frac{y_1+y_2}{2}y1+y22   

När du vill beräkna avståndet mellan två punkter så använder du istället avståndsformeln, som vi går vi igenom i här.

Mittpunktsformeln ger mittpunktens koordinater

Med hjälp av mittpunktsformeln bestämmer koordinaterna till punkten som ligger mittemellan två andra punkter i planet.

Exempel 1

Bestäm mittpunktens koordinater mellan de två punkterna PPP och  QQQ  i koordinatsystemet.
Punkter i planet

Lösning

Vi läser först av de bägge punkternas koordinater

Punkten PPP har koordinaterna (1, 2)\left(-1,\text{ }-2\right)(1, 2).

Punkten QQQ har koordinaterna (2, 3)\left(2,\text{ }3\right)(2, 3).

Mittpunktsformeln ger koordinaterna till mittpunkten.

 xm=x_m=xm= 1+22=12=\frac{-1+2}{2}=\frac{1}{2}=1+22 =12 =0,50,50,5  

 ym=y_m=ym= 2+32=12=\frac{-2+3}{2}=\frac{1}{2}=2+32 =12 =0,50,50,5  

Mittpunkten MMM:s koordinater är (0,5; 0,5)\left(0,5;\text{ }0,5\right)(0,5; 0,5).

När vi anger punkter i koordinatform skiljer vi oftast xxx– och yyy-koordinaten i Sverige med ett kommatecken. Men när ena koordinaten är ett decimaltal använder vi i stället semikolon som skiljetecken mellan koordinaterna, eftersom att kommatecknet används som markering för decimaler.

Mittpunktsformeln för nya geometriska figurer

Genom att beräkna och sammanbinda mittpunkter uppstår nya geometriska figurer i planet.

Exempel 2

En triangel har hörn i A=(2, 1)A=\left(2,\text{ }1\right)A=(2, 1) , B=(0, 0)B=\left(0,\text{ }0\right)B=(0, 0) och C=(6, 0)C=\left(6,\text{ }0\right)C=(6, 0) .

Mittpunkterna på sidorna AB, ACAB,\text{ }ACAB, AC och  BCBCBC  binds samman till en ny triangel.

Bestäm den nya triangelns area.

Lösning

Vi ritar en skiss och bestämmer mittpunkternas koordinater.

Triangel

Mittpunkt på AB ges av  (2+02, 1+02)=(1; 0,5)\left(\frac{2+0}{2},\text{ }\frac{1+0}{2}\right)=\left(1;\text{ }0,5\right)(2+02 , 1+02 )=(1; 0,5) 

Mittpunkt på AC ges av  (2+62, 1+02)=(4; 0,5)\left(\frac{2+6}{2},\text{ }\frac{1+0}{2}\right)=\left(4;\text{ }0,5\right)(2+62 , 1+02 )=(4; 0,5) 

Mittpunkt på BC ges av  (0+62, 0+02)=(3; 0)\left(\frac{0+6}{2},\text{ }\frac{0+0}{2}\right)=\left(3;\text{ }0\right)(0+62 , 0+02 )=(3; 0) 

Vi skissar triangeln som uppstår utifrån mittpunkterna på sidorna AB, ACAB,\text{ }ACAB, AC och  BCBCBC.

Då de två översta punkterna befinner sig på samma höjd så kan basen ses som avståndet mellan dessa två punkter. Basen är därför 333 l.e. Höjden är då 0,50,50,5 l.e och vi får arean genom

 Area=\text{Area}=Area= 30,52=1,52=\frac{3\cdot0,5}{2}=\frac{1,5}{2}=3·0,52 =1,52 =0,750,750,75

Triangelns area är  0,750,750,75 a.e.  

Då planet, det vi vanligtvis använder ett koordinatsystem för att göra beräkningar i, kan röra sig fritt i rymden innebär det att vi även kan beräkna mittpunkter och avstånd i rummet med dessa formler. Vi behöver bara tillföra nya variabler för tallinjer i ytterligare dimensioner. Men mer om det om du läser vidare på högskolan!