Mönster

Exempel 1

Hur många punkter kommer det vara i figur 4?

Lösning

Vi ser att det ökar med två punkter för varje figur.

Fig 1: 2 punkter
Fig 2: 4 punkter
Fig 3: 6 punkter

Det kommer därmed att vara 8 punkter i figur 4.

Exempel 1

En formeln skulle kunna se ut på följande vis

$a_n=n^2$a_n=n² 

Elementen i formeln blir då
$a_1=1^2=1$a₁=1²=1 
$a_2=2^2=4$a₂=2²=4 
$a_3=3^2=9$a₃=3²=9 
…

Exempel 2

En talföljds mönster beskrivs av formeln $a_n=4n-2$a_n=4n−2. Ange det första och det fjärde elementet (talet) i talföljden.

Lösning

I det första elementet är $n=1$n=1. Vi får då
 $a_1=4\cdot1-2=4-2=2$a₁=4·1−2=4−2=2 
Det första elementet är alltså $2$2.

I det fjärde elementet är $n=4$n=4. Vi får då
 $a_4=4\cdot4-2=16-2=14$a₄=4·4−2=16−2=14 
Det fjärde elementet är alltså $14$14 .

Exempel 3

Vi använder samma mönster som i exempel 1 ovan. Ange nu en formel för det n:te talet.

Lösning

Vi kallar figurnumret för $n$n och antalet punkter i varje figur för $a_n$a_n. Vi ser också att antalet punkter ökar med $2$2 för varje figur. Vi kan beskriva hur mönstret utvecklar sig på följande vis.

Här kan vi använda oss av att vi från början har 2 punkter i figur 1. Sedan kan vi addera $2$2 med $\left(n-1\right)\cdot2$(n−1)·2  för att få det totala antalet punkter i figuren. Vi kan alltså använda oss av figurnumret för att beskriva mönstret.

Formeln för det n:te talet är alltså  $a_n=2+\left(n-1\right)\cdot2$a_n=2+(n−1)·2. En sådant här mönster kallar för en aritmetisk talföljd.