Författare:Simon Rybrand
Här kan du göra DEL D på det nationella provet till kurs Matematik 4. Provet genomfördes vt 2016. I det här provet kan du först göra det på egen hand och när det rättas får du tips och fullständiga förklaringar på alla uppgifter.
X-uppgifter (8)
1.
Bestäm den största roten till ekvationen sinx+cos(3,6x)=0 i intervallet 0∘< x<180∘. Ange svaret med minst tre värdesiffror.
Svar:Rättar...2.
Rasmus studerar graferna till y=3sinx och y=2cosx. Han ser att största värdet är 3 respektive 2. Han tänker då att största värdet av y=3sinx+2cosx måste vara 3+2=5.
Rasmus kontrollerar detta genom att rita grafen till y=3sinx+2cosx på räknaren och upptäcker då att största värdet är mindre än 5.
Förklara med hjälp av graferna till y=3sinx och y=2cosx varför det största värdet av y=3sinx+2cosx inte är 5.
Svar:Se mer: Trigonometriska funktionerRättar...3.
I Torup finns en av SMHI:s väderstationer som mäter temperaturen en gång i timmen.
Om dygnsmedeltemperaturen överstiger 10 ∘C fem dygn i rad anses sommaren ha börjat.
Under de fyra dygnen 20–23 april 2014 översteg dygnsmedeltemperaturen 10 ∘C i Torup. Diagrammet visar temperaturerna som mättes den 24 april.
Enligt en förenklad modell kan temperaturen under detta dygn beskrivas med funktionen
ƒ (x)=−0,0079x3+0,238x2−1,42x+8,2 0≤ x≤24
där ƒ (x) är temperaturen i ∘C och x är tiden i timmar efter klockan 0:00.Avgör om sommaren hade börjat i Torup genom att bestämma dygnsmedeltemperaturen den 24 april med hjälp av funktionen.
Svar:Se mer: Beräkna integralerRättar...4. Premium
I figuren visas ett koordinatsystem med kurvorna y=cos3x och y=sin2x ritade i intervallet −π2 ≤ x≤π2 .
Beräkna arean av det skuggade området. Svara med minst två värdesiffror.
Svar:Se mer: Areor mellan kurvorRättar...5. Premium
Ett företag ska bygga en stuga i en backe i Alperna och vill veta backens lutning. Enligt en förenklad modell kan backens form beskrivas med sambandet h(x)=4,1−5+3ex6+ex där h(x) är höjden i km över havet och x är sträckan i km i horisontell riktning.
Företaget ska bygga stugan på den del av backen som ligger på höjden 1,4 km över havet. Bestäm vilken lutning backen har där stugan ska byggas. Svara med minst två värdesiffror.
Svar:Se mer: Deriveringsregler KvotregelnRättar...6. Premium
Ett företag vill kontrollera livslängden hos en viss typ av lampor. Tiden till dess att en lampa går sönder har visat sig vara en slumpvariabel med täthetsfunktionen ƒ (x)=e−x/2424 , x≥0 där x är tiden i månader som lampan används.
a) Bestäm sannolikheten att en slumpvis vald lampa går sönder under de 3 första månaderna som den används.
b) Anta att man slumpvis väljer ut tre lampor. Bestäm sannolikheten för att alla tre lamporna är hela efter 6 månaders användning.
Svar:Se mer: SannolikhetsfördelningRättar...7. Premium
Undersök om polynomet p(x)=x5+a4x4−x3+a2x2+x+1 är delbart med x−1 för något reellt värde på konstanten a.
Svar:Se mer: Polynomdivision FaktorsatsenRättar...8. Premium
På havsbottnen vid sandstränder bildas ibland periodiska mönster av kullar i sanden.
Anta att höjden på en kulle är 1 cm, bredden är 5 cm och avståndet mellan två kullar är 11 cm. Se figur nedan.
Enligt en förenklad modell följer varje kulle toppen på en sinuskurva som ges av funktionen ƒ (x)=Asin(kx)−d där A, k och d är positiva konstanter. Se figur nedan.
a) Bestäm värdet på konstanten k.
b) Bestäm värdet på konstanterna A och d.
Rättar...