00:00
00:00
KURSER  / 
Högskoleprovet Vår 2014
/  Provpass 5 – Verbal del (HPVAR2014P5)

Problemlösning Komplexa tal

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Komplexa tal

De komplexa talen ger oss möjlighet att lösa ekvationer där vi har ett negativt tal under rottecknet.

Komplexa tal

Komplexa tal består av en reell och en imaginär del. Genom att införa den imaginära enheten iii,  som definieras som ett tal med egenskapen  i2=−1i^2=-1i2=−1,  kan vi skriva om negativa tal till imaginära tal och lösa tidigare olösbara ekvationer.

Exempelvis är −9=9i2=3i\sqrt{-9}=\sqrt{9i^2}=3i√−9=√9i2=3i

Sammanfattning: Formler och begrepp

Komplext tal

Allmänt kan ett komplext tal skrivas som  z=a+biz=a+biz=a+bi 
där  aaa  är realdelen och  bbb  imaginärdelen.

Absolutbelopp

Om  z=a+biz=a+biz=a+bi  gäller att
 ∣z∣=∣a+bi∣=a2+b2|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}|z|=|a+bi|=√a2+b2 

Komplexa konjugatet

Om  z=a+biz=a+biz=a+bi  gäller att
 z‾=a−bi\overline{z}=a-biz=a−bi 

Argument

Om  z=a+biz=a+biz=a+bi  gäller att
 v=argz=tan⁡−1(ba)v=\text{arg}z=\tan^{-1}(\frac{b}{a})v=argz=tan−1(ba ) 

Multiplikation av komplexa tal på polär form

Om  z=r1(cos⁡v1+isin⁡v1)z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)z=r1(cosv1+isinv1)  och  q=r2(cos⁡v2+isin⁡v2)q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)q=r2(cosv2+isinv2)  gäller att
 z⋅q=r1⋅r2(cos⁡(v1+v2)+isin⁡(v1+v2)z\cdot q=r_1\cdot r_2(\cos(v_1+v_2)+i\sin(v_1+v_2)z·q=r1·r2(cos(v1+v2)+isin(v1+v2) 

Division av komplexa tal på polär form

Om  z=r1(cos⁡v1+isin⁡v1)z=r_1(\cos v_1+i\sin v_1)z=r1(cosv1+isinv1)  och  q=r2(cos⁡v2+isin⁡v2)q=r_2(\cos v_2+i\sin v_2)q=r2(cosv2+isinv2)  gäller att
 zq=r1r2(cos⁡(v1−v2)+isin⁡(v1−v2)\frac{z}{q}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(v_1-v_2)+i\sin(v_1-v_2)zq =r1r2 (cos(v1−v2)+isin(v1−v2) 

De Moivres Formel

 (r(cos⁡v+isin⁡v)n=rn(cos⁡(n⋅v)+isin⁡(n⋅v))(r(\cos v+i\sin v)^n=r^n(\cos(n\cdot v)+i\sin(n\cdot v))(r(cosv+isinv)n=rn(cos(n·v)+isin(n·v)) 

Exempel i videon

  • Låt  z=2+2iz=2+2iz=2+2i 
    a) Ange  z‾\overline{z}z 
    b) Bestäm  ∣z∣|z||z| 
    c) Skriv  zzz  på polär form.
  • Skriv det komplexa talet  4i1+i+i\frac{4i}{1+i}+i4i1+i +i  på formen  a+bia+bia+bi .
  • Lös ekvationerna
    a)  x2+38x+557=0x^2+38x+557=0x2+38x+557=0 
    b)  z2=iz^2=iz2=i 
  • Beskriv det område i det komplexa talplanet som beskrivs av  ∣z∣<4|z|<4|z|<4  och där  zzz  är ett komplext tal.
  • Lös fullständigt ekvationen  w3=−8w^3=-8w3=−8  och svara på formen  a+bia+bia+bi .
Nästa lektion: LÄS – Svensk läsförståelse

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server