Separabla differentialekvationer

Separabla differentialekvationer är ekvationer som kan skrivas på formen $g(y) \cdot y’ = f(x)$. Vänsterledet består alltså av en sammansatt funktion multiplicerat med dess inre derivata. Det är just detta faktum man utnyttjar för att kunna lösa dessa typer av differentialekvationer.

Själva metoden som vi använder när vi löser dessa ekvationer är följande:

1. Börja med att se till att ekvationen är skriven i sin enklaste form $g(y) \cdot y’ = f(x)$.
2. Därefter kan en utnyttja det faktum att vänsterledet är derivatan av en sammansatt funktion, vilket betyder att funktionen i högerledet är en derivata av en annan funktion i vänsterledet.
3. Använd den primitiva funktion både i vänsterledet och i högerledet.
4. Lös sedan ut den allmänna lösningen $y$.

• Lös differentialekvationen $y'=2x \cdot e^{-y}$.
• Lös differentialekvationen $e^y \frac{dy}{dx}=x$ med villkoret att $y(0)=1$.