Tiopotenser och grundpotensform

$10^0=1$
$10^1=10$
$10^2=100$
$10^3=1000$
$10^4=10000$
$10^5=100000$

När vi skriver om små tal kan potensregeln $ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $ vara bra att påminna sig om, den används nämligen nedan.

$10^{-1}=\frac{1}{10^1}=0,1$
$10^{-2}=\frac{1}{10^2}=0,01$
$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=0,001$
$10^{-4}=\frac{1}{10^4}=0,0001$
$10^{-5}=\frac{1}{10^5}=0,00001$

Exempel 1

Skriv följande tal i grundpotensform.

a) $6\,000$

b) $156\,700$

c) $1\,650\,000\,000$

Lösning

Vi bryter först ut de faktorer som ligger mellan ett och tio som ger att den andra faktorn är en faktor av talet tio. Sedan skriver vi om den andra faktorn till en tiopotens.

a) $6\,000=6⋅1\,000=6⋅10^3$

b) $156\,700=1,567⋅100\,000=1,567⋅10^5$

c) $1\,650\,000 000 = 1,65 \cdot 10^9$

Exempel 2

a) $0,003 = 3⋅0,001 = 3⋅10^{-3}$

b) $0,00000483 = 4,83⋅0,000001 = 4,83⋅10^{-6}$

c) $0,000000000236  \, gram = 2,36 \cdot 10^{-10} \, gram$

Exempel 3

Beräkna  $75\text{ }000\cdot0,02\cdot0,000\text{ }003$75 000·0,02·0,000 003  utan räknare och svara i grundpotensform.

Lösning

Vi skriver om respektive faktor i grundpotensform.

 $75\text{ }000\cdot0,02\cdot0,000\text{ }003=7,5\cdot10^4\cdot2\cdot10^{-2}\cdot3\cdot10^{-6}$75 000·0,02·0,000 003=7,5·10⁴·2·10⁻²·3·10⁻⁶ 

Vi ”samlar” sedan tiopotenserna sist för att förtydliga uttrycket och beräkna dem för sig och resten av faktorerna för sig.

 $7,5\cdot10^4\cdot2\cdot10^{-2}\cdot3\cdot10^{-6}=7,5\cdot2\cdot3\cdot10^4\cdot10^{-2}\cdot10^{-6}$7,5·10⁴·2·10⁻²·3·10⁻⁶=7,5·2·3·10⁴·10⁻²·10⁻⁶ 

Vi använder potensreglerna för att förenkla tiopotenserna och beräknar resten av faktorerna.

 $7,5\cdot2\cdot3\cdot10^4\cdot10^{-2}\cdot10^{-6}=15\cdot3\cdot10^{4+\left(-2\right)+\left(-6\right)}=$7,5·2·3·10⁴·10⁻²·10⁻⁶=15·3·10^{4+(−2)+(−6)}= $45\cdot10^{-4}$45·10⁻⁴ 

Vi skriver till sist om talet på grundpotensform.

 $45\cdot10^{-4}=4,5\cdot10^{-3}$45·10⁻⁴=4,5·10⁻³ 

Exempel 4

Beräkna $\frac{0,004\cdot6\text{ }000\text{ }000}{30\cdot0,000\text{ }02}$0,004·6 000 00030·0,000 02  utan räknare.

Lösning

Vi skriver om respektive faktor i grundpotensform.

$\frac{0,004\cdot6\text{ }000\text{ }000}{30\cdot0,000\text{ }02}=$0,004·6 000 00030·0,000 02 = $\frac{4\cdot10^{-3}\cdot6\cdot10^6}{3\cdot10^1\cdot2\cdot10^{-5}}$4·10⁻³·6·10⁶3·10¹·2·10⁻⁵  

Vi ”samlar” sedan tiopotenserna sist för att förtydliga uttrycket och beräkna dem för sig och resten av faktorerna för sig.

 $\frac{4\cdot10^{-3}\cdot6\cdot10^6}{3\cdot10^1\cdot2\cdot10^{-5}}=\frac{4\cdot6\cdot10^{-3}\cdot10^6}{3\cdot2\cdot10^1\cdot10^{-5}}=$4·10⁻³·6·10⁶3·10¹·2·10⁻⁵ =4·6·10⁻³·10⁶3·2·10¹·10⁻⁵ = $\frac{4\cdot6}{3\cdot2}\cdot\frac{10^{-3}\cdot10^6}{10^1\cdot10^{-5}}$4·63·2 ·10⁻³·10⁶10¹·10⁻⁵  

Vi använder potensreglerna för att förenkla tiopotenserna.

 $\frac{4\cdot6}{3\cdot2}\cdot\frac{10^{-3}\cdot10^6}{10^1\cdot10^{-5}}=\frac{24}{6}\cdot\frac{10^{-3+6}}{10^{1+\left(-5\right)}}=$4·63·2 ·10⁻³·10⁶10¹·10⁻⁵ =246 ·10⁻³⁺⁶10¹⁺⁽⁻⁵⁾ =

$4\cdot$4·$\frac{10^3}{10^{-4}}=$10³10⁻⁴ =$4\cdot10^{3-\left(-4\right)}=4\cdot10^7=$4·10³⁻⁽⁻⁴⁾=4·10⁷=$40\text{ }000\text{ }000$40 000 000