00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Procent

Träddiagram

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg där flera vägar är möjliga. 

Träddiagram

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Sannolikheten för en gren

Genom att leta reda på den gren som motsvarar det önskade utfallet kan vi beräkna sannolikheten för just den kombination av utfall som motsvarar grenen. Den gör vi med hjälp av multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren ges av produkten av sannolikheterna längs grenen.

Vi tittar på ett exempel där detta kan tillämpas.

Exempel 1

Kasta en tärning fyra gånger. Hur stor är sannolikheten att få en sexa alla fyra kasten?

Lösning

Det finns bara ett resultat som du önskar varje kast. Nämligen att tärningen ska visa en sexa. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet. Det finns alltså ett gynnsamt utfall i varje kast.

De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta, två trea fyra femma eller en sexa.

Sannolikheten blir då

 P(sla˚ en sexa)=P\left(\text{slå en sexa}\right)=P(slå en sexa)= O¨nskad ha¨ndelseMo¨jliga ha¨ndelser=16\frac{\text{Önskad händelse}}{\text{Möjliga händelser}}=\frac{1}{6}Önskad händelseMöjliga händelser =16   

Med hjälp av ett träddiagram kan vi förtydliga sannolikheten av att få fyra sexor i rad. 

Träddiagram

Som du ser blir det en ganska komplext träddiagram. Man kan med fördel förenkla det genom att inte utveckla de grenar som inte är gynnsamma. Alltså så fort man stöter på ett utfall som ger att grenen inte är gynnsam, så ”kapar” med den. Alltså låter bli att rita ut resten av förgreningarna. Så här.

Träddiagram med kapade grenar

Enligt multiplikationsprincipen får vi sannolikheten genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen. Vi får då att

sannolikheten att slå fyra sexor i rad är

 P(Fyra sexor i rad)=P\left(\text{Fyra sexor i rad}\right)=P(Fyra sexor i rad)=  16⋅16⋅16⋅16=(16)4≈\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\approx16 ·16 ·16 ·16 =(16 )4≈ 7,7⋅10−47,7\cdot10^{-4}7,7·10−4   vilket motsvarar ca  0,8/0 000,8\mathrlap{\it{/}}{^0}_{\,00}0,8‰ chans.

Varje ny förgrening motsvarar resultatet av ett försök och summan av var förgrenings sannolikheter ska vara 111 om hela utfallsrummet är med i träddiagrammet. 

Träddiagram Förgreningen är lika med 1

Flera gynnsamma grenar

Om flera grenar är gynnsamma får vi den totala sannolikheten genom att addera sannolikheten för alla gynnsamma grenar med varandra.

Sannolikheten i ett träddiagram

Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.

Vi tittar på ett exempel där flera grenar motsvarar det önskade resultatet, det vill säga är gynnsamma.

Exempel 2

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra de olika utfallen.

Träddiagram

Det finns tre utfall som är gynnsamma. 

Händelsen A={Ej en fyra, En fyra}

Händelsen B={En fyra, Ej en fyra}

Händelsen C={En fyra, En fyra}

Vi får sannolikheten för varje gren med multiplikationsprincipen. Sedan adderar vi de gynnsamma grenarna för att få den totala sannolikheter för att få åtminstone en fyra.

 P(a˚tminstone en fyra)=P\left(\text{åtminstone en fyra}\right)=P(åtminstone en fyra)= 56⋅16+16⋅56+16⋅16=1136\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{11}{36}56 ·16 +16 ·56 +16 ·16 =1136   

  vilket motsvarar ca 30%30\%30% chans.

Komplementhändelse

I exemplet ovan ser vi att endast en gren inte är gynnsam. Nämligen den gren som motsvarar att man inte får någon fyra alls. 

Vid beräkning av sannolikhet är det ibland enklare att beräkna sannolikheten för den utfall som inte är gynnsamt. 

Eftersom att sannolikheten för alla utfall för en händelse är lika med 111, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med  111. Detta kan vi utnyttja ibland.

Låt oss återvända till exemplet ovan. Vi skulle sannolikheten att få åtminstone en fyra då vi kastade två tärningar. Som vi sa, så är det endast en gren som inte är gynnsam. Nämligen grenen som motsvarar att vi inte får någon fyra alls. Eftersom att summan av alla grenarna i träddiagrammet är lika med  111 får vi att  1−P(Ingen fyra)=P(A˚tminsta˚ne en fyra.)1-P\left(\text{Ingen fyra}\right)=P\left(\text{Åtminståne en fyra.}\right)1−P(Ingen fyra)=P(Åtminståne en fyra.) 

Dessa två händelser kassas varandras komplementhändelse.

Komplementhändelse

Om  AcA^cAc är komplementhändelse till händelse AAA gäller att

 P(A)+P(Ac)=1P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1P(A)+P(Ac)=1 

Vi beräknar exemplet om fyrorna ingen, fast nu med komplementhändelsen.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Då  P(Ingen fyra)P\left(\text{Ingen fyra}\right)P(Ingen fyra) är komplement händelse åt vår sökta händelse  P(A˚tminstone en fyra)P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.

Komplementhändelse träddiagram

  P(Ingen fyra)P\left(\text{Ingen fyra}\right)P(Ingen fyra)  =56⋅56=2536=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}=56 ·56 =2536  

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

 1−1-1−   P(Ingen fyra)=1−P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-P(Ingen fyra)=1− 56⋅56=1136\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}56 ·56 =1136  

I detta exempel är det inte så stor skillnad i jobbet som krävs om man använder komplementhändelsen eller ej. Men i anda fall blir den nästan avgörande med denna kunskap för att inte trassla in sig i störa komplicerade träddiagram.

Exempel i videon

  • Vilken är sannolikheten att vi får minst en dam när vi drar två kort ur en kortlek?
  • Du skall skjuta straffar på målvakten Andreas Isaksson. Om du sätter två av tre straffar vinner du. Det är 40 %40\,\% chans att sätta en straff. Vilken är sannolikheten att vinna?
Nästa lektion: Räkna ut det hela

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server