Ljus som partiklar
Fotonens rörelsemängd
Vi har i tidigare lektioner sett att ljus interfererar då det passerar en dubbelspalt, precis som mekaniska vågor som vattenvågor och ljudvågor gör. Detta är ju en stark indikation på att ljus och elektromagnetisk strålning är en våg.
Einstein, baserat på Plancks kvanthypotes, visade att elektromagnetisk strålning, och därmed synligt ljus, kan beskrivas som en ström av små energipaket, s.k. fotoner då han förklarade den fotoelektriska effekten. Dessa fotoner kan på många sätt ses som partiklar och en viktig egenskap hos fotonerna är att de har en energi som är proportionell mot strålningens frekvens och därmed våglängd.
Men om en foton kan beskrivas som en partikel, borde den då inte ha rörelsemängd?
Vi vet ju att rörelsemängd ges av uttrycket $p=mv$p=mv i klassisk fysik. Men vi vet ju att fotoner saknar massa och sätter vi in $m=0$m=0 i uttrycket så ser vi att vi inte får någon rörelsemängd. Men Einstein hade ju förutom förklaringen med fotoelektrisk effekt också lagt fram sin berömda relativitetsteori i vilken han tar fram ett uttryck för total energi hos en partikel. I videon pratar vi om hur man kan manipulera detta uttryck för att få få ett uttryck för fotonens rörelsemängd.
Fotonens rörelsemängd
Energi kan bara sändas ut och tas emot i bestämda portioner, s.k. energikvanta.
$p_f=\frac{h}{c}$pƒ =hc
där,
$p_f$pƒ är fotonens rörelsemängd, $h=6,626\cdot10^{-34}$h=6,626·10−34 Js är Plancks konstant och kallas och $c$c är ljusets hastighet.
Comptoneffekten Premium
Trots att Einsteins argument att fotonen kunde beskrivas som en partikel så var fysikerna inte övertygade om detta. Det behövdes mer evidens. På 1920-talet så funderade fysikern Arthur Compton på detta och tänkte sig att en kollision mellan en foton och en elektron i vila kanske kunde behandlas som en elastisk stöt mellan två partiklar. En elastisk stöt är ju en kollision mellan två objekt då rörelsemängd och energi båda är bevarade.
Han utförde en serie experiment där han kunde visa att då en foton träffar en elektron överför den en del av sin energi till elektronen som då får ökad rörelseenergi. Om energin i stöten ska vara bevarad så måste ju det innebära att fotonen förlorar motsvarande mängd energi. Eftersom en fotons energi är proportionell mot frekvensen så måste ju fotonen ha en lägre frekvens (och därmed längre våglängd) efter stöten.
Vi tittar på principen bakom Comptons försök.
Vi tänker oss en foton med en energi och våglängd som beskrivs av $E_1=hf_1=\frac{hc}{\text{λ}_1}$E1=hƒ 1=hcλ1 som kolliderar med en elektron i vila. Efter kollisionen har elektronen rörelseenergin $E_k$Ek och fotonen har motsvarande minskning i energi vilket yttrar sig som en minskad frekvens $f_2$ƒ 2 alternativt ökad våglängd $\text{λ}_2$λ2. Vi kan skriva:
$hf_1=hf_1+E_k$hƒ 1=hƒ 1+Ek
Rörelsemängden bevaras ju också och om foton 1 har rörelsemängden $p_1$p1, foton 2 har rörelsemängden $p_2$p2 och elektronen rörelsemängd $p_e$pe så kan vi skriva:
$p_1=p_2+p_e$p1=p2+pe
Compton använde uttrycket för fotonens rörelsemängd och kunde ta fram ett samband för skillnaden i fotonens våglängd före och efter kollisionen. Comptons upptäckter visar att fotonen inte behöver avge hela sin energi till en elektron utan kan studsa som vilken partikel som helst. Detta brukar kallas att fotonen ”comptonsprids”.
Notera även att fotonen saknar massa och alltid rör sig med ljusets hastighet.
Comptonspridning
Vid en kollision mellan en foton och en elektron kan vi betrakta både fotonen och elektronen som partiklar och kollisionen som en elastisk stöt.
Fotonen överför en del av sin energi och rörelsemängd till elektronen under stöten. Fotonens energi minskar och därmed ökar fotonens våglängd.
Skillnaden i väglängd före och efter kollisionen ges av sambandet:
$\text{λ}_2-\text{λ}_1=\frac{h}{m_ec}\left(1-\cos\alpha\right)$λ2−λ1=hmec (1−cosα)
där,
$\text{λ}_1$λ1 är fotonens våglängd före kollisionen, $\text{λ}_2$λ2 är fotonens våglängd efter kollisionen, $h=6,626\cdot10^{-34}$h=6,626·10−34 Js är Plancks konstant, $m_e$me är elektronens massa, $\alpha$α är fotonens riktningsändring och $c$c är ljushastigheten.
Partiklar som vågor Premium
”de Broglie-våglängd”
Nu kanske vi börjar tycka att det här känns lite märkligt. Vi har alltså ett fysikaliskt fenomen, ljus, som verkar vara en partikel men samtidigt säger vi att den har egenskaper som vi förknippar med vågor, som frekvens och våglängd. Det var även så som fysikerna kände vid den här tiden, och faktiskt bitvis fortfarande idag.
Det blev inte mindre märkligt då den franske fysikern Louis de Broglie 1924 föreslog att om nu ljus är en våg som beter sig som en partikel, kanske partiklar kan bete sig som vågor? Han menade att om ljus med våglängden $\text{λ}$λ hade rörelsemängden $p=\frac{h}{\text{λ}}$p=hλ kunde då inte en partikel med rörelsemängden $p$p ha våglängden $\text{λ}=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$λ=hp =hmv ?
Detta påstående innebär att alla partiklar som rör sig har en våglängd, dvs partiklar har vågegenskaper!
Om vi tittar på formeln så ser vi att ju snabbare och mer massiva partiklarna är desto kortare våglängd har de.
Exempel
En golfboll har en massa på ca $45$45 g och en hastighet vid utslag på runt $75$75 m/s. Vi stoppar in dessa värden i uttrycket för de Broglie-våglängden och beräknar vilken våglängd detta motsvarar:
$\text{λ}=\frac{h}{mv}=\frac{6,626\cdot10^{-34}}{0,045\cdot75}\approx2,0\cdot10^{-34}$λ=hmv =6,626·10−340,045·75 ≈2,0·10−34 m.
Detta är en ofantligt liten våglängd. Detta förklarar varför vi inte vanligtvis märker av någon ”våglängd” hos vardagsföremål som rör sig med ”vardagshastigheter” som t.ex. en golfboll. Man inser alltså att för att vågegenskaperna ska ha någon märkbar betydelse så måste våglängden vara i samma storleksordning som partikelns storlek.
I tidigare lektioner har vi pratat om att elektromagnetisk strålning uppvisade vågegenskaper då ljus skickades mot en dubbelspalt eller ett gitter. Det bildades ett interferensmönster på andra sidan spalten. Fysikerna vid den här tiden beslöt sig därför för att titta på experimentet med dubbelspalten igen men att man nu istället sköt elektroner mot en spalt. Om partiklar som elektroner har vågegenskaper så borde det då bildas ett interferensmönster även då.
Men vi vet ju att för att få interferens så måste spaltavståndet vara i samma storleksordning som våglängden. Om våglängden för en elektron är så liten som 0,167 nm hur skulle fysikerna kunna konstruera ett gitter med så litet spaltavstånd? Detta löste man genom att använda en nickelkristall. I kristaller så ligger atomerna i välordnade plan med mycket små avstånd och genom att skicka elektroner i en vinkel mot kristallen så kunde dessa atomplan agera som gitter.
När man genomförde försöket så visade det sig att elektronerna skapade ett interferensmönster. Elektroner verkar alltså också ha både partikel- och vågegenskaper!
Det visar sig alltså att materia också har vågegenskaper och man kan associera en våglängd till partiklar i rörelse. För att vågegenskaperna ska blir märkbara måste dock massorna vara väldigt små och därför märks vågegenskaperna endast för små partiklar som fotoner, elektroner, protoner och neutroner.
Materievågor eller de Broglie-våglängd
Partiklar och objekt med en massa och hastighet har vågegenskaper och kan associeras med en våglängd enligt:
$\text{λ}=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$λ=hp =hmv
där,
$\text{λ}$λ är partikelns våglängd, $h=6,626\cdot10^{-34}$h=6,626·10−34 Js är Plancks konstant, $m$m är partikelns/objektets massa och $v$v är partikelns/objektets hastighet.
Vi har nu alltså följande, något märkliga, situation:
Kvantparadoxen Premium
Elektromagnetisk strålning, och därmed även ljus, uppträder både som en våg och som en partikel beroende på vad vi undersöker. Man kan säga att ”Ljus träffar som en partikel men färdas som en våg”.
Det omvända gäller även: Materia, dvs. partiklar, i rörelse har vågegenskaper. Det går alltså att associera en våglängd till partiklar med massa och hastighet.
Exempel
I gamla TV-apparater (s.k. ”tjock-TV”) så genererades bilden genom att elektroner accelererades av en spänning för att sedan skickas i hög hastighet mot skärmen där de alstrade en ljuspunkt när de träffade skärmen.
Om en elektron accelereras av en spänning på $U=35$U=35 kV, vilken våglängd får dessa elektroner?
Lösning
Vi vill använda sambandet $\text{λ}=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$λ=hp =hmv så vi måste försöka hitta elektronens rörelsemängd $mv$mv. Massan vet vi, det är elektronmassan, men hastigheten behöver vi hitta.
Vi vet att då laddningen accelereras av spänningen $U$U så omvandlas elektronens potentiella elektriska energi till kinetisk energi enligt
$E_p=E_k\Rightarrow eU=\frac{mv^2}{2}$Ep=Ek⇒eU=mv22
Vi löser ut hastigheten:
$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot1,602\cdot10^{-19}\cdot35\cdot10^3}{9,11\cdot10^{-31}}}\approx1,1\cdot10^8$v=√2eUm =√2·1,602·10−19·35·1039,11·10−31 ≈1,1·108 m/s
(not: detta är en hög hastighet, dvs. en avsevärd andel av ljushastigheten och ligger på gränsen där man eventuellt behöver räkna relativistiskt. Vi väljer dock att räkna ”klassiskt” i denna uppgift).
Vi använder nu detta värde på hastigheten för att beräkna våglängden:
$\text{λ}=\frac{h}{mv}=\frac{6,626\cdot10^{-34}}{9,11\cdot10^{-31}\cdot1,1\cdot10^8}\approx6,6\cdot10^{-12}$λ=hmv =6,626·10−349,11·10−31·1,1·108 ≈6,6·10−12 m
Svar:
Våglängden är ca $6,6$6,6 pm.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Beräkna våglängden hos en neutron som har en hastighet på $6,8\cdot10^6$6,8·106 m/s. Använd att massan hos neutronen är $1,67\cdot10^{-27}$1,67·10−27 kg och svara i femtometer med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...2. Premium
En foton har en våglängd på $60$60 pm. Den träffar en elektron och comptonsprids med en vinkel på $28^{\circ}$28∘.
Med hur mycket ökar fotonens våglängd? Svara i pikometer med två värdesiffror.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...3. Premium
Hur stor våglängd har en tennisboll med hastigheten $200$200 km/h och massan $56$56 g? Svara i grundpotensform med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!c-uppgifter (3)
-
4. Premium
En foton med en energi på $52$52 keV träffar en elektron och överför en del av sin energi till elektronen vid kollisionen. Elektronen får en hastighet på $24,7\cdot10^6$24,7·106 m/s. Hur stor blir riktningsändringen hos fotonen? Svara i hela grader.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
En foton med en våglängd på $48$48 pm comptonsprids mot en elektron. Fotonens ändringsriktning är $32^{\circ}$32∘. Vad får elektronen för energi? Svara i elektronvolt med två värdesiffror.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
En elektron accelereras från vila av en spänning på $4,0$4,0 kV. Bestäm de Broglie-våglängden. Svara i pikometer med två decimaler.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Endast Premium-användare kan kommentera.