00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Algebra – Matematik 2

Multiplicera och utveckla parenteser

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Förenkla uttryck med parenteser

Att utveckla uttryck innebär att skriva om uttrycken från faktorer till termer. Det gör vi genom att multiplicera och utveckla parenteser, vilket innebär att multiplicara in variabler och konstanter i parenteser, multiplicera parenteser med varandra och utveckla parenteser som är upphöjda till något. 

Utveckla algebraiska uttryck

Den lag som används när man multiplicerar in termer i parantares kallas för den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Den distibutiva lagen hanterar hur vi utvecklar uttryck genom att multiplicera in variabler eller konstanter i parenteser. Lagen säger följande.

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac

Vi motiverar denna lag geometriskt genom att visa att samma rektangels area kan beskrivas på två olika sätt, där de båda sätten motsvarar vänsterledet och högerledet i den distributiva lagen.

Distributiva lagen

Den stora rektangeln har sidorna aaa och b+cb+cb+c. Den stora rektangelns area får vi genom att multiplicera dessa längder med varandra,  a(b+c)a\left(b+c\right)a(b+c).

De två små rektanglarna har sidorna aaa och bbb samt  aaa och ccc. De mindre rektanglarnas areor får vi genom att multiplicera deras respektive längder med varandra. Vi får att de två rektanglarna  ab=aba\cdot b=aba·b=ab och  ac=aca\cdot c=aca·c=ac.

Exempel med multiplicera och utveckla parenteser

Utvidgade distributiva lagen

När två parenteser (a+b)(a+b) och (c+d)(c+d) multipliceras med varandra kan den utvidgade distributiva lagen användas. Den säger följande.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Även denna lag går att motiveras geometriskt genom att en area beskrivs av vänsterledet respektive högerledet i lagen.
Begrepp

Nu följer några exempel på hur denna lag kan tillämpas.

Exempel 4

Förenkla uttrycket (x+2)(x3)(x+2)(x-3)

Lösning

Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.

(x+2)(x3)=x23x+2x6=x2x6(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6

Exempel 5

Förenkla uttrycket (x23)(x+2)(-x^2-3)(-x+2)

Lösning

Vi multiplicerar enligt den utvidgade distributiva lagen.

(x23)(x+2)=x32x2+3x6(-x^2-3)(-x+2)=x^3-2x^2+3x-6

Ofta så behöver man förenkla uttrycket efter att det har utvecklats. Detta görs genom att termer som är av samma sort läggs samman.

Exempel 6

Förenkla  2(x2)22x(x3)2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)2(x2)22x(x3)

Lösning

Vi utveckla först kvadraten, ”upphöjt till två” med kvadreringsregeln innan vi multiplicerar inte tvåan och får

2(x2)22x(x3)=2(x24x+4)2x(x3)2\left(x-2\right)^2-2x\left(x-3\right)=2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)2(x2)22x(x3)=2(x24x+4)2x(x3) 

Nu multiplicerar vi in i parenteserna

 2(x24x+4)2x(x3)=2x28x+82x2+6x2\left(x^2-4x+4\right)-2x\left(x-3\right)=2x^2-8x+8-2x^2+6x2(x24x+4)2x(x3)=2x28x+82x2+6x 

Slutligen förenklar vi uttrycket genom att addera och subtrahera termer av samma sort.

 2x28x+82x2+6x=82x2x^2-8x+8-2x^2+6x=8-2x2x28x+82x2+6x=82x 

I kommande lektioner kommer vi använda oss av kunskapen kring att utveckla uttryck i samband med att vi introducerar kvadrerings- och konjugatreglerna. Vi kommer även jobba vidare med det vi kallar för fakorisering genom att göra samma procedur, fast ”baklänges”.

Exempel i videon

  • Utveckla 3(x+2) 3(x + 2) .
  • Utveckla och förenkla (3x)(x+2) (3 – x)(x + 2) .
  • Utveckla x(2x2) -x(2 – x^2) .
  • Utveckla och förenkla (x3)(x+6) (x – 3)(x + 6) .
  • Utveckla och förenkla  2(2x2x)(4x+6)2(2x^2 – x)(-4x + 6).