00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I denna lektion fokuserar vi på ekvationer som innehåller nämnare. Både de ekvationer där variabel finns i täljaren, men också när de finns i nämnaren. För detta område är det viktigt att ha koll på grunderna i bråkräkning.

Ekvation med variabeln i nämnaren

Målet när man löser en ekvation är, som vi pratar om redan i tidigare lektioner, att hitta det värde eller värden på variabeln som gör att vänsterledet är lika med högerledet. Detta gör vi genom att utföra samma operation i både vänster- och i högerled tills variabeln är själv i ena ledet och lösningen, även kallad roten, är uppenbar. 

Då vi gått igenom metoder för hur vi löser ekvationer i tidigare lektioner går vi direkt på några exempel.

Variabeln i täljaren

När vi beräknar ekvationer med nämnare använder vi exakt samma räkneregler och metod som annars vid ekvationslösning.  Först tar vi ett exempel med variabeln i täljaren.

Exempel 1

Lös ekvationen  3x5=67\frac{3x}{5}=\frac{6}{7}3x5 =67  

Lösning

Vi utför samma operationer både i vänsterledet och i högerledet till lösningen är självklar.

Ekvationelösning

Vi också svara i decimalform om vi har en räknare och får då närmevärdet x1,429x\approx1,429x1,429. Men efterfrågas ett exakt svar, svarar vi i bråkform som vi förkortar så långt vi kan.

Vi vill bara påpeka att nämnaren inte bara försvinner när vi multiplicerar 3x5\frac{3x}{5}3x5  med 555. Men eftersom att 55=11\frac{5}{5}=\frac{1}{1}55 =11  =1=1 får vi  53x5=13x1\frac{5\cdot3\cdot x}{5}=\frac{1\cdot3\cdot x}{1}5·3·x5 =1·3·x1  vilket vi skriver som 3x3x3x.

Variabeln i nämnaren

När variabeln återfinns i nämnaren på ekvationen måste vi multiplicera upp den. Detta eftersom att vi alltid vill ange svaret med variabeln i ”täljaren”, alltså på formen där nämnaren är lika med ett och inte skrivs ut. Här följer nu ett exempel med variabeln i nämnaren.

Exempel 2

Lös ekvationen  6x\frac{6}{x}6x  +4=+4=+4=12x\frac{12}{x}12x   

Lösning

Vi utför samma operationer både i vänsterledet och i högerledet till lösningen är självklar.

Ekvationslösning exempel med nämnare

Vi kan här lika gärna svara i decimalform, alltså med  x=1,5x=1,5x=1,5. Svaret är lika exakt som  x=x=x=32\frac{3}{2}32  

Olika nämnare

En vanlig svårighet i samband med lösning av ekvationer med nämnare, är när termerna inte har samma nämnare. Då underlättar det om man, som vid annan beräkning med bråk, kan skriva om bråken till samma nämnare genom förlängning för att kunna lösa ekvationen. Här följer ett exempel på detta.

Exempel 3

Lös ekvationen  3x\frac{3}{x}3x  + 5+\text{ }5+ 5 =132x=\frac{13}{2x}=132x  

Lösning

Vi utför samma operationer både i vänsterledet och i högerledet till lösningen är självklar.

Ekvationslösning med nämnare

Det viktiga när du löser ekvationen är att vara noggrann och ta det steg för steg. Med en del övning så kan du snart lösa hur krångliga ekvationen som helst! I nästa lektion lägger vi även till hur du ska tänka om ekvationen har en parentes i uttrycket.

Korsmultiplikation

Om båda leden innehåller endast en term var och de båda termerna är bråk kan man använd sig av något som kallas för korsmultiplikation, vid ekvationslösningen.

Exempel 4

Lös ekvationen  9y=23\frac{9}{y}=\frac{2}{3}9y =23  

Lösning

Istället för att först multiplicera med ena ledet nämnaren och sedan med den andras, kan vi multiplicera med båda nämnarna samtidigt.

 9y=23\frac{9}{y}=\frac{2}{3}9y =23         Multiplicera båda leden med yyy och 333

 27=2y27=2y27=2y          Dividera båda leden med  222 

 13,5=x13,5=x13,5=x       Byt sida på leden för att få variabeln själv i VL

 x=13,5x=13,5x=13,5 

Du kan lika gärna välja att svara i bråkform med  x=x=x= 272\frac{27}{2}272  

Denna metod kan snabba på lösandet av ekvationer någon, men gör det steg för steg tills du känner dig helt säker på varför korsmultiplikationen fungerar, innan du använder dig av den.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen 24x=65\frac{24}{x}=\frac{6}{5}24x =65  
  • Lös ekvationen 1423x=712x\frac{1}{4}-\frac{2}{3x}=\frac{7}{12x}14 23x =712x