00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Problemlösning funktioner

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Skissens betydelse

Som alltid när du jobbar med problemlösning, kan det vara till stor hjälp att rita skisser när du ska lösa problem med funktioner. När det gäller funktioner och dess tillämpningar kan man lösa många problem bara genom att rita graferna och leta efter svaret i koordinatsystemet.

Vikten av förståelsen av begrepp

Tänk även på att repetera de olika begreppen då många problemlösningsuppgifter använder sig av det matematiska språket i beskrivning av uppgiftens problem.

I denna lektion bör du ha koll på vad riktningkoefficienten är och hur man bestämmer den både grafiskt och algebraiskt.

Du behöver känna till den räta linjens ekvation och hur man bestämmer den. Dessutom bör du känna till begreppet proportionalitet och kunna teckna linjära modeller för att kunna mer vardagsanpassade exempel och problem.

Du bör även kunna skilja på en exponentialfunktion och en potensfunktion.

En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.

Definition Exponentialfunktion

En exponentialfunktion skrivs på formen

 y=Caxy=C\cdot a^xy=C·ax 

där  CCC och aaa är konstanter och a>0a>0a>0.

En funktion där variabeln återfinna i basen kallas för en potensfunktion.

Definition Potensfunktion

En potensfunktion skrivs på formen

 y=kxny=k\cdot x^ny=k·xn 

där kkk och nnn  är konstanter.

I Matematik 1 är det framför allt den linjära funktionen bland potensfunktionerna som vi använder. Alltså räta linjens ekvation.

Räta linjens ekvation i k-form

En rät linje skrivs på  kkk -form som

y=kx+m y = kx + m    där 

  • k k är en konstant som motsvarar linjens lutning. Konstanten kkk kallas även riktningskoefficienten.
  • m m är en konstant som motsvarar y y -värdet där linjen skär y y -axeln.
  •  xxx och yyy variablerna i funktionen som ger alla punkter (x,y)\left(x,y\right)(x,y) på grafen.

Samband mellan Sträcka, Tid och Hastighet

När vi tillämpar matematiken är en vanlig tillämpning sambandet mellan sträcka, tid och hastighet. Har har vi skriva om formel på tre olika vis beroende på vad vi ska beräkna.

V=ST V = \frac{S}{T}

eller

S=VT S = V⋅T

eller

T=SV T = \frac{S}{V}

där SS är sträckan, VV Hastighet (velocity) och TT tiden.

Förändringsfaktor

Förändringsfaktorn är det tal som man kan multiplicera ett annat tal med för att uppnå en önskad förändring. Den beräknas med kvoten mellan värdet efter förändringen och det ursprungliga värdet.

 Fo¨ra¨ndringsfaktorn=\text{Förändringsfaktorn}=Förändringsfaktorn=Nytt va¨rdeUrsprungligt va¨rde\frac{\text{Nytt värde}}{\text{Ursprungligt värde}}Nytt värdeUrsprungligt värde  

Om priset på en vara exempelvis är 100100 kronor och detta pris ökar med 22 % så kan man multiplicera 1001,02=102 100⋅1,02 = 102 för att få fram det nya priset. Förändringsfaktorn är då 1,02 1,02.

Om priset istället minskar med 1515 % så är förändringsfaktorn 0,85 0,85 och det nya priset ges av 1000,85 100⋅0,85 .

Exempel i videon

  • Grafen i ett koordinatsystem beskriver hur en bergsklättrare bestiger ett berg.
    a) Hur långt har han nått efter 30 minuter?
    b) Vilken är medelhastigheten uppför berget?
    c) Beskriv bergsklättringen utifrån grafen med egna ord.
  • En korvkiosks intäkter på korvförsäljning under en dag kan beskrivas med funktionen y=450+15xy=-450+15x.
    a) Beskriv funktionens innebörd med egna ord.
    b) Hur många korvar behöver säljas för att gå ”break even”?
  • Johanna häller kaffe med temperaturen 92°C92° \, C i en termos. Hon ställer sedan termosen utomhus där temperaturen är 15°C 15° \, C . För att beskriva hur temperaturen y°Cy° \, C i kaffet förändras med tiden xx timmar undersöker hon två olika modeller.
    Formel för modell A: y=927xy=92-7x.
    Formel för modell B: y=920,93xy=92⋅0,93^x.
    a) Beräkna kaffets temperatur efter tre timmar enligt formel A och enligt formel B.
    b) Beskriv med vardagligt språk vad formel A och vad formel B säger om hur temperaturen sjunker.
    c) Undersök hur många timma modell A och modell B kan gälla.