00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns medelpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.

_________________________________________

Lektionen ingår inte i det centrala innehållet i kursen efter revidering av kursplanering vt21

_________________________________________

Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation

Genom att tänka oss cirkeln i ett koordinatsystem kan vi teckna följande samband mellan radien, cirkelns medelpunkt och någon punkt på cirkeln rand.

Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation

r2=(xa)2+(yb)2r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2r2=(xa)2+(yb)2 

där

  •  rrr  motsvarar cirkelns radie
  • (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y) motsvarar en punkt på cirkelns rand
  • (a,b)\left(a,b\right)(a,b) motsvarar cirkelns medelpunkt

Så om du känner till radien och cirkelns mittpunkt så kan du beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns medelpunkt bildar cirkelns rand. 

Testa själv och se cirkelns ekvation

Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.

1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
o+
x
y
Drag i punkterna!
2,9² = (x + 0)² + (y + 1)²

Exempel

Exempel 1

En cirkel har radien 222 och medelpunkten (2, 3)\left(2,\text{ }3\right)(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.

Lösning

Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver

 22=(x2)2+(y3)22^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^222=(x2)2+(y3)2 där punkten (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand

Exempel 2

Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen 16=(x3)2+(x+2)216=\left(x-3\right)^2+\left(x+2\right)^216=(x3)2+(x+2)2 

Lösning

Vi jämför den givna ekvationen med formeln för cirkelns ekvation r2=(xa)2+(yb)2r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2r2=(xa)2+(yb)2

Vi ser nu att då  42=164^2=1642=16 så är cirkelns radie 444.

Från (x3)2\left(x-3\right)^2(x3)2 ser vi att medelpunktens xxx-koordinat är 333.

Från (x+2)2\left(x+2\right)^2(x+2)2 ser vi att medelpunktens  yyy-koordinat är 2-22 . Det beror på att ” x+2x+2x+2 ” inne i parentesen kommer från uttrycket (x(2))2\left(x-\left(-2\right)\right)^2(x(2))2 vilket avslöjar att  yyy-koordinaten är 2-22.

Cirkelns medelpunkt är alltså (3, 2)\left(3,\text{ }-2\right)(3, 2).

Exempel 3

Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

exempel 3 cirkelns ekvation

Lösning

Vi avläser medelpunkt som har koordinaterna (3, 3)\left(3,\text{ }3\right)(3, 3).

Radien är 444 l.e. Vi bestämmer den lättast genom att avståndet mellan medelpunkten och den punkt på cirkeln som befinner sig rakt ovanför/rakt nedanför medelpunkten motsvarar en radie.

Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får

 42=(x3)2+(y3)24^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^242=(x3)2+(y3)2 

Vi beräknar 424^242 och skriver ekvationen som

 16=(x3)2+(y3)216=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^216=(x3)2+(y3)2 

Som vi nämnde är lättast att bestämma radiens längd genom att avläsa punkten på cirkeln rakt ovanför/nedanför medelpunkten. Lite mer omständligt är att använda avståndsformeln, som i sin tur härleds från Pythagoras sats, för att bestämma radien. Det ger samma resultat, men är som sagt lite onödigt krångligt när man fått cirkeln utritad. Om den inte är utritad kan du bli tvungen att använda den för att avgöra vilka punkter i planet som tillhör en cirkel eller ej. Se härledning av cirkelns ekvation nedan.

Cirkelns ekvation och enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien 1 längdenhet och denna cirkel har sin medelpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:

  • Medelpunkt = (0, 0)\left(0,\text{ }0\right)(0, 0) 
  • Radie =  111

Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:

 r2=(xa)2+(xy)2r^2=\left(x-a\right)^2+\left(x-y\right)^2r2=(xa)2+(xy)2 

Vi sätter in radien och medelpunkts värden

 12=(x0)2+(y0)21^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^212=(x0)2+(y0)2 

Då x0=xx-0=xx0=x och y0=yy-0=yy0=y  kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.

 x2+y2=1x^2+y^2=\sqrt{1}x2+y2=1 

På samma vis kan en cirkel som har radien 333 och medelpunkt i origo beskrivas på följande vis:

 x2+y2=3x^2+y^2=\sqrt{3}x2+y2=3 

Härledning av cirkelns ekvation

När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande. 

Avståndet d mellan två punkter (x1, y1)\left(x_1,\text{ }y_1\right)(x1, y1) och (x2, y2)\left(x_2,\text{ }y_2\right)(x2, y2) ges av formeln

 d=(x2x1)2+(y2y1)2d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.

Härledning av cirkelns ekvation

Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan medelpunkt (a, b)\left(a,\text{ }b\right)(a, b) och punkten (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y) på cirkelns rand.

Vi får alltså

 r=(xa)2+(yb)2r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}r=(xa)2+(yb)2 

Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med roten ur tecknet.

 r2=(xa)2+(yb)2r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2r2=(xa)2+(yb)2 

Och vi har cirkelns ekvation.