00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b

Derivatans Definition

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Derivatan – ett gränsvärde

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekants lutning i intervallet. Derivatan definieras som gränsvärdet till denna ändringskvot. 

Derivatans definition

Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går från att vara en sekant, till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.

Som du ser på bilden nedan så blir sekantens lutning och lutningen på tangenten i punkten xxx mer och mer lika, ju mindre intervall sekanten omfattar. Alltså när punkterna sekanten skär genom närmar sig varandra. 

Sekanten och tangenten

När avståndet mellan punkterna minskar, alltså då hhh går mot noll, kommer vi tillslut nå den punkt där sekanten omvandlas till en tangent. I den punkten är gränsvärdet för ändringskvoten som motsvara sekantens lutning, densamma som tangentens lutning. Båda anger derivats värde i punkten vilket även tolkas som förändringshastigheten i punkten. 

Derivatans definition

När vi definierar derivata gör vi det i form av ett gränsvärde. Men inte vilket gränsvärde som helst, utan gränsvärdet på ändringskvoten som motsvarar sekanten lutning. 

Sekantens lutning som en ändringskvot

Sekant som ändringskvot
Sekantens lutning kan beräknas med hjälp av ändringskvoten

 ΔyΔx=f(x+h)f(x)h\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}ΔyΔx =ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Uttrycket här ovan är alltså ett sätt att beskriva en sekants lutning eller den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall. Sekantens lutning blir, som vi såg tidigare, mer och mer lik tangentens lutning, ju närmre de två punkterna sekanten skär genom kommer varandra.

För att i stället få fram förändringshastigheten i en punkt, det vill säga derivatan, låter vi avståndet i xxx -led minska supermycket. Så mycket att vi kan se avståndet som obefintligt. Det är det vi menar med gränsvärdet då h0h\rightarrow0h→0. Med hjälp av detta kan vi teckna derivatans definition som följer.

Derivatans definition

f(x)=f'(x)=limh0 \lim\limits_{h \to 0} f(x+h)f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Du kan själv se hur ändringskvotens värde förändras genom att flytta punkterna AAA och BBB närmre varandra.

510012345−1
o+
y
x
A
B
a
a+h
Δx = h = 3.01

Välj Funktion

kAB=ΔyΔx=f(a+h)f(a)h=k_{AB}=\frac{Δy}{Δx} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =
11,08 - 1,03
3,01
= 3,34

A = (a, f(a)) = (0,16; 1,03)

B = (a+h, f(a+h)) = (3,17; 11,08)

h = 3,01

Inställningar

När punkterna sammanfaller, alltså där sekanten förvandlas till en tangent, ser vi att kvotens värde inte kan beräknas. Vi får nämligen division med noll. Det är här gränsvärdet kommer in i bilden. Med hjälp av det kan vi bestämma kvotens värde för mycket små värden på hhh och där med beräkna derivatans värde.

Punkter i en dimension

En viss förvirring kan uppstå när man talar om derivatan och man refererar till en punkt och bara anger ett xxx -värde.

Vill vill därför här, helt kort, kommentera att en punkt kan definieras i olika antal dimensioner. På linjen, i planet eller i rymden.

Eftersom att man i tidigare kurser fokuserar på punkten i planet, till exempel när vi jobbat med koordinatsystemet, är ett vanligt missförstånd att en punkt alltid måste ha en  xxx– och en  yyy-koordinat.

Men man kan alltså ange punkten i en dimension. Exempelvis är alla värden på tallinjen punkter. De anges i en dimension.

För att bestämma läget hos en punkt i rummet behöver man ange tre värden, eller koordinater som man också säger. Vanligtvis (x, y, z)\left(x,\text{ }y,\text{ }z\right)(x, y, z). Men mer om det i senare kurser.

Derivatan ges i en dimension. Det ger att funktionen inte har en derivata i punkten (x, y)\left(x,\text{ }y\right)(x, y) på funktionen, utan i motsvarande punkt på  xxx-axeln.

Bestäm derivatan utifrån definitionen

Här kommer ett exempel på hur man bestämmer derivatan med hjälp av derivatans definition.

Exempel 1

Bestäm  f(3)f'\left(3\right)ƒ ´(3) då  f(x)=2x+5f\left(x\right)=2x+5ƒ (x)=2x+5 

Lösning

Derivatans definition är 
 f(x)f'\left(x\right)ƒ ´(x) limh0 \mathop {\lim }\limits_{h \to 0}  f(x+h)f(x)h\frac{f(x+h)-f(x)}{h}ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Vi löser uppgiften stegvis genom att först bestämma f(3+h)f(3+h)ƒ (3+h) och  f(3)f\left(3\right)ƒ (3) då f(x)=2x+5f(x)=2x+5ƒ (x)=2x+5 . Det gör vi genom att ersätta xxx i funktionsuttrycket med först 3+h3+h3+h och sedan med 333 .

 f(3+h)=2(3+h)+5=23+2h+5=2h+11f(3+h)=2(3+h)+5=2\cdot3+2h+5=2h+11ƒ (3+h)=2(3+h)+5=2·3+2h+5=2h+11 
 f(3)=23+5=11f\left(3\right)=2\cdot3+5=11ƒ (3)=2·3+5=11 

Med hjälp av detta kan vi ställa upp gränsvärdet och beräkna  f(3)f’\left(3\right)ƒ (3).

 f(3)=f’\left(3\right)=ƒ (3)= limh0 \lim\limits_{h \to 0} f(3+h)f(3)h=\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=ƒ (3+h)ƒ (3)h =

limh0 \lim\limits_{h \to 0} 2h+1111h=\frac{2h+11-11}{h}=2h+1111h =   

limh0 \lim\limits_{h \to 0} 2hh=\frac{2h}{h}=2hh = 

limh0 \lim\limits_{h \to 0} 2=22=22=2 

Alltså gäller att   f(3)=2f'\left(3\right)=2ƒ ´(3)=2 

I kommande lektion finns många fler exempel som detta.

Är funktionen deriverbar?

Förenklat kan vi säga att en funktion är deriverbar i en punkt om det går att rita upp endast en tangent i den punkten. För att kunna dra dessa entydiga tangenter, krävs att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten. Man ska alltså med säkerhet kunna ange hur tangenten lutar i punkten och att den inte plötsligt radikalt ändrar lutning i punkter angränsande till den.

För att kunna definiera om en funktion är deriverbar mer exakt behöver vi definierar vi kontinuerliga funktioner och gränsvärde

Kontinuerliga funktioner

En funktion y=f(x)y=f\left(x\right)y=ƒ (x) är en kontinuerlig funktion, om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

limxaf(x)=f(a) \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a)

Deriverbara funktioner är kontinuerliga. Man säger följande.

Funktion ffƒ  är deriverbar i punkten  x=ax=ax=a då gränsvärdet  limh0\lim_{h\to0}limh0 f(x+a)f(a)h\frac{f(x+a)-f(a)}{h}ƒ (x+a)ƒ (a)h    existerar.

Då polynomfunktioner och trigonometriska funktioner är kontinuerliga, är de även deriverbara. 

Men detta finns andra funktioner som är både definierade och kontinuerliga i en punkt, men som ändå inte är deriverbara i punkten.

Exempel 2

Är funktionen till grafen deriverbar?

Grafen till en diskontinuerlig funktion

Lösning

Funktionen är diskontinuerlig. Vi undersöker derivatan i ”glappet” och ser att vi inte kan dra en tangent i  x=1,99x=1,99…x=1,99… som har samma lutning som i  x=2x=2x=2. Där mer är inte funktionen deriverbar. 

Dess utom får funktionen inte gör några plötsliga ”vändningar” för att derivatan ska bli entydig.

Grafer med absolutbelopp

I Ma3c ingår också begreppet absolutbelopp. Dessa funktioner bör man också beakta då man ska undersöka funktionens derivata.

En funktion är deriverbar om derivatan är entydig för alla definierade  xxx -värden.

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 3

Är funktionen f(x)=3x+1f\left(x\right)=\left|-3x+1\right|ƒ (x)=|3x+1|  deriverbar för alla xxx ? 

Lösning

Vi ritar funktionen för att lättare se om funktionen är kontinuerlig. Det är den.

Graf f(x)=I-3x+1I

Är derivatan entydig för alla definierade xxx -värden?

Funktionen är mycket ”spetsig” i  x=13x=\frac{1}{3}x=13  . Om v i närmar oss x=13x=\frac{1}{3}x=13  från vänster har vi en negativ derivata och från höger en positiv. Det gör att funktionen inte är deriverbar i x=13x=\frac{1}{3}x=13  , då funktionen är kontinuerlig i hela sin definitionsmängd, men inte har ett entydigt gränsvärde i  x=13x=\frac{1}{3}x=13  .

Exempel i videon

  • Härledning av derivatans definition
  • Bestäm  f(2)f'\left(2\right)ƒ ´(2) då  f(x)=x2f\left(x\right)=x^2ƒ (x)=x2  med hjälp av derivatans definition.