Dubbelspalt och gitter

Vi har i tidigare lektioner sett att ljus uppvisar vågegenskaper, såsom reflektion och brytning, men också diffraktion och interferens. Vi tittade översiktligt på det så kallade dubbelspaltsexperimentet där rött laserljus skickades mot ett hinder med två smala spalter i. Laserljus är ljus med en bestämd våglängd, monokromatiskt ljus. Det är alltså inte en blandning av olika våglängder som t ex vitt ljus.

Principskissen här visar experimentet sett uppifrån. Spalterna fungerar då som två punktkällor i fas. En sträcka längre fram finns en skärm som registrerar det ljus som tar sig igenom spalterna. Längst till höger i figuren visas framsidan av skärmen.

Det uppstår ett interferensmönster på skärmen, med omväxlande ljusa och mörka partier, så kallade maxima och minima, precis som för mekaniska vågor. Vi kan därför dra slutsatsen att ljus också verkar vara en vågrörelse.

Att det bildas ett interferensmönster beror på att vågorna från respektive spalt färdas olika långt innan de träffar skärmen. De kan då antingen vara i fas, så att två vågtoppar eller två vågdalar möts och förstärker varandra, vilket ger ljusa områden på skärmen, eller ur fas, så att en vågtopp möter en vågdal och därmed släcker ut varandra, vilket ger mörka områden på skärmen.

Vi ska titta lite noggrannare på detta och se om vi kan lista ut exakt var det bildas maxima och minima. Vi förenklar figuren och ritar in en symmetrilinje vid centralmax. Spalterna ser vi som punktkällor och kallar dem för  $S_1$S₁  respektive  $S_2$S₂  och avståndet mellan dem för $d$d. Avståndet från spalterna till skärmen betecknar vi med  $l$l  och avståndet från centralmax till en godtycklig punkt  $P$P  på skärmen för $y$y. Till sist betecknar vi avståndet från spalterna till en godtycklig punkt $P$P  på skärmen för  $s_1$s₁  respektive  $s_2$s₂  samt vinkeln mellan symmetrilinjen som utgår från mittpunkten mellan spalterna till punkten  $P$P  för  $\theta$θ.

För att det ska bildas konstruktiv interferens i punkten  $P$P, dvs ett maximum, krävs att vägskillnaden  $\bigtriangleup s=s_2-s_1$△s=s₂−s₁  är ett helt antal våglängder. Detta kan vi skriva som  $\bigtriangleup s=n\text{λ}$△s=nλ, där  $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }...$n=0, 1, 2, ...  och anger vilket maximum det är i ordningen, räknat från symmetrilinjen.  $n=0$n=0  är centralmax,  $n=1$n=1  är första maximum på båda sidor om centralmax, osv.

För att det istället ska bildas destruktiv interferens i punkten  $P$P, dvs ett minimum, krävs att vägskillnaden  $\bigtriangleup s$△s  är ett udda antal halva våglängder, dvs  $\frac{\text{λ}}{2},\text{ }\frac{\text{3λ}}{2},\text{ }\frac{5\text{λ}}{2}$λ2 , 3λ2 , 5λ2   osv. Detta kan vi skriva som   $\bigtriangleup s=\left(n-\frac{1}{2}\right)\text{λ}$△s=(n−12 )λ  , där  $n=1,\text{ }2,\text{ }3,\text{ }...$n=1, 2, 3, ...  och anger vilket minimum det är i ordningen, räknat från symmetrilinjen.  $n=1$n=1  är första minimum på båda sidor om centralmax,  $n=2$n=2  är andra minimum på båda sidor om centralmax, osv.

För att hitta ytterligare ett utryck för vägskillnaden  $\bigtriangleup s$△s  zoomar vi in på området kring spalterna. Vi ser att det är lite längre från  $S_2$S₂  till  $P$P  än från  $S_1$S₁  och vägskillnaden  $\bigtriangleup s$△s  är markerat i figuren.

Om vi gör antagandet att skärmen är mycket långt från spalterna,  $l>>$l>> $d$d, kan strålarna längs med  $s_1$s₁  och  $s_2$s₂  anses vara parallella. Detta gör att vi kan approximera triangeln i figuren som rätvinklig. Sträckan  $\bigtriangleup s$△s  motsvarar då den kortare kateten i triangeln.

Med hjälp av lite geometri ser vi att vinkeln  $\theta$θ  är den spetsiga vinkeln i tringeln och  $\bigtriangleup s$△s  då kan skrivas:   $\bigtriangleup s=d\cdot\sin\theta$△s=d·sinθ 

Vi kan nu ersätta  $\bigtriangleup s$△s  i de tidigare villkoren för ljusmaxima och ljusminima med vårt nya uttryck. Detta ger:
 $d\cdot\sin\theta=n\text{λ}$d·sinθ=nλ  för maxima 
 $d\cdot\sin\theta=\left(n-\frac{1}{2}\right)\text{λ}$d·sinθ=(n−12 )λ  för minima

För att kunna mäta våglängder mer noggrant kan effekten hos dubbelspaltexperimentet förstärkas genom att vi ökar antalet spalter och använder ett så kallat gitter. Ett gitter är en tunn skiva med väldigt många smala spalter som är placerade på ett jämnt avstånd  $d$d  från varandra. Ett gitter har ofta flera hundra spalter/mm. Avståndet $d$d mellan spalterna kallas i det här sammanhanget gitterkonstanten. Laserljuset träffar alla spalterna samtidigt och de agerar nu som en stor mängd vågkällor i fas. En fördel med detta är att vi nu får mycket skarpare maxima och kan därmed göra noggrannare mätningar. 

Det kan enkelt visas att villkoren för maxima ser likadana ut vid användning av gitter som vid en dubbelspalt, med det förtydligandet att  $d$d  nu motsvarar gitterkonstanten, alltså avståndet mellan två intilliggande spalter i gittret. Sambandet kallas nu för gitterformeln och fungerar på motsvarande sätt som för maxima vid dubbelspalt.