00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Syftet med att lösa ekvationer är att kunna bestämma värdet på något okänt. Detta okända betecknas i ekvationen med en variabel. Lösningen till ekvationen är det värde på variabeln som ger att likheten i ekvationsuttrycket stämmer.

Högerledet lika med vänsterledet

I en ekvation är högerledet alltid lika med vänsterledet. Vi kan se det som balans mellan de båda leden. Så om du gör något i ena ledet så måste du göra exakt samma sak i det andra ledet för att behålla balansen.

För att bli bra på att lösa ekvationer behöver du träna. Mycket. Vill du har fler uppgifter än det finns i denna lektion kan du gå till Eddlers ekvationstränare.

Ekvationstränaren

Att lösa Ekvationer

En ekvation är en likhet mellan två uttryck, där åtminstone ett av dem är algebraiskt.

Ekvationer - så löser man dem

I en ekvation kalls det okända i uttrycket för en variabel. Ofta betecknar man denna med ett xx. Men man kan lika väl använda en annan bokstav eller symbol.

Målet när man löser en ekvation är att hitta det värde, eller värden, som gör att vänsterledet är lika med högerledet. Lösningen till ekvationen kallas även för en rot.

När man börjar att lösa ekvationer kan man följa en särskild metod. Den fungerar långt ifrån för alla ekvationer, men räcker långt i denna kurs och kan vara en bra metod att till en början utgå från.

Den går ut på att med hjälp av de fyra räknesätten, addition, subtraktion, multiplikation och division, utföra operationer i båda leden som ledet till att variabeln till slut är ensam i det ena ledet.

Den allmänna metoden för att lösa ekvationer

Här följer en sammanfattning av de fyra stegen för att lösa de flesta ekvationer i denna kurs. Ibland behöver du inte ens göra alla fyra steg, utan kan direkt hoppa till steg tre eller fyra. Men kolla alltid att de första stegen då redan är gjorda först.

Obs: man kan lösa ekvationer i vilken ordning man vill så länge man utför samma operation i båda leden och med alla termer, men det blir mindre risk för fel och onödiga omvägar om du följer de fyra stegen nedan.

Ekvationslösning

  1. Förenkla uttrycken i höger och vänsterledet.
  2. Samla alla variabeltermer i ena ledet, förslagsvis genom att subtrahera med den minsta variabeltermen på båda sidor om likhetstecknet.
  3. Samla alla konstanttermer i andra ledet.
  4. Multiplicera eller dividera båda leden så att variabelns koefficient blir en etta.

Du har nu förhoppningsvis löst ekvationen!

Obs: Denna metod som gäller linjära ekvationer kommer behöva utökas med några ytterligare steg längre fram i kursen då vi stöter på nya typer av ekvationer, men det tar vi då.

Exempel 1

Lös ekvationen

Lösning

1. Förenkla uttrycken i höger och vänsterledet: Vi samlar ihop alla termer av samma slag i båda leden.

2. Samla alla variabeltermer i ena ledet, genom att subtrahera med den minsta variabeltermen på båda sidor om likhetstecknet:

Den minsta variabeltermen är 2x2x2x .  Vi subtraherar därför  2x2x2x i båda leden. Skulle den mista variabeltermen vara negativ, adderas den i stället eftersom att subtrahera en negativ term ger resultatet att med adderar den.

3. Samla alla konstanttermer i andra ledet, genom att addera det motsatta talet till konstanten:

Konstanttermen är 3-33. Dess motsatta tal är +3+3+3 . Vi adderar därför 333 i båda leden.

4. Multiplicera eller dividera båda leden så att variabelns koefficient blir en etta: Variabeltermens koefficient är 444. Vi dividerar med en  444  för att få koefficienten ett, som inte brukar skrivas ut, men likväl finns där.

Fixa facit själv

Då du löst en ekvation kan du alltid kontrollera ditt svar genom att sätta värdet för variabeln i den ursprungliga ekvationen. Ger din kontroll att värdet i vänsterledet blir det samma som värdet i högerledet betyder det att du hittat rätt lösning till ekvationen.

Nu tar vi några fler exempel på hur man löser en ekvation.

Exempel 2

Lös ekvationen 2x3=92x -3 = 9

Lösning

Vi söker det värde på variabeln xxx som gör att likheten stämmer. Genom att alltid göra de olika operationerna på båda sidor om likhetstecknet, behåller vi likheten. I denna ekvation är redan steg ett och två avklarade, då det bara finns en variabelterm i ena ledet.

Ekvationslösning

Vi kontrollerar vår lösning med en prövning. Alltså genom att sätta in x=6 x = 6 i vår ursprungliga ekvation och se om vänsterledet är lika med högerledet.

VL=263=123=9 VL = 2⋅6-3=12-3=9
HL=9 HL = 9
Alltså stämmer vår lösning!

Exempel 3

Lös ekvationen 9x+3=33x9x+3=33-x9x+3=33x 

Lösning

Den här ekvationen har xxx både i vänsterledet och i högerledet. Vi börjar då med att se till att vi bara har variabler på en sida av likhetstecknet. Därefter vill vi att alla konstanter befinner sig på andra sidan för att till sist få ett uttryck med variabeln xxx själv i ena ledet.

För att förtydliga hur termerna genom metoden tar ut varandra skriver vi här ut mellansteg som du kan hoppa över när du tränat ett tag.

9x+3=33x9x+3=33-x9x+3=33x  Addera båda leden med  xxx
för att få alla variabeltermer
i ena ledet.
9x+x+3=33x+x9x+x+3=33-x+x9x+x+3=33x+x  Förenkla uttrycken
10x+3=3310x+3=3310x+3=33  Subtrahera båda leden med  333
för att få alla konstanttermer
i ena ledet.
   
10x=3010x=3010x=30  Dividera båda leden med 101010
för att få variabeltermens
koefficient till ett.
10x10=3010\frac{10x}{10}=\frac{30}{10}10x10 =3010   Förenkla uttrycken
 x=3x=3x=3   

I nästa lektion fördjupar vi metoderna för ekvationslösning.

Hur ska man redovisar sin ekvationslösning

När det gäller vilken redovisning som önskas eller krävs vid ekvationslösning är det viktigt att du har en dialog med den som ska bedöma dina lösningar och sätta ett betyg. Det finns olika tradition inom matematiken och olika lärare önskar olika redovisningar.

Rent generellt kan man säga att när du precis börjat med ekvationslösning är sannolikheten stor, att din lärare önskar att du ska visa varje steg tydligt. Längre upp i kurserna kommer antagligen läraren anse att du med rätta kan hoppa över redovisningen av vissa steg med motiveringen att dessa steg ska vara automatiserade och därmed inte behöva redovisas.

För vår del rekommenderar vi modellen som vi visar i de två första exempeluppgifterna i denna lektion, vilket även är samma metod som används i våra videos.

Där drar du ett streck till höger om din ekvation. Till höger om strecket anger du vilken operation du avser att utföra i båda leden. På raden under din ekvation skriver du sedan resultatet som uppstår när du utfört den operation du nyss antecknade.

Nästa steg är att nu anteckna i linje med uträkningen, till höger om ditt streck, är nästa operation du avser utföra i båda leden, för att sedan upprepa dessa steg tills du fått fram din lösning.

På detta sätt ger du möjlighet för dig själv och din lärare tydligt följa vilket nästa steg är i din ekvationslösning, samt skilja på om eventuella fel som uppstår läng vägen är tanke fel eller räknefel.

Till en början kan man skriva ut i höger- och vänsterled hela de operationer man utför. Men för vår del får man gärna efter lite träning göra dessa beräkningar i huvudet för att lösningen ska bli tydligare och lättare att följa och bara skriva operationen i högermarginalen. Men kolla detta med den som ska bedöma din lösnings kvalitéer.

Och kom ihåg, ju mer du tränar på att lösa ekvationer, desto bättre och snabbare blir du!

Du kan öva i Eddlers ekvationstränare om du vill ha ännu fler uppgifter!

Ekvationstränaren

Exempel på lösningar av olika typer av ekvationer

Det vi här visat är några exempel på lösningar av så kallade linjära ekvationer. Det är ekvationer av första graden. Alltså där variabeln xxx har graden ett. Om du exempelvis har variabeltermer med x2 x^2 eller x3 x^3 så är det andragradsekvationer eller tredjegradsekvationer som du löser. För att lösa dem krävs andra metoder. Men de går i igenom först i kommande lektioner. Det finns även fler typer av ekvationer, som exponentialekvationer och potensekvationer, som har andra lösningsmetoder. Även några av dem ska vi kolla på längre fram i kursen.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen 4x+5=174x+5=174x+5=17.
  • Lös ekvationen 4x+2=8x64x+2=8x-64x+2=8x6.
  • Lös ekvationen 3x+10=2+2x+183x+10=2+2x+183x+10=2+2x+18