Matematik 2

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Algebra – Matematik 2

Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Name: Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna - Algebra (Ma 2) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.28 (53 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi igenom hur man kan faktorisera algebraiska uttryck med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

När algebraiska uttryck ska faktoriseras används ofta distributiva lagen, konjugatregeln eller kvadreringsreglerna ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Att använda en regel ”baklänges” innebär att man går från högerledet till vänsterledet i regeln.

Faktorisera med konjugatregeln

När man faktoriserar med hjälp av konjugatregeln behöver man först identifiera de olika delarna i det uttryck som ska faktoriseras som motsvarar de olika delarna i konjugatregeln. Denna regel säger följande:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

För att faktorisera ett uttryck så skriver man om uttrycket genom att identifiera delar i uttrycket som kan motsvaras av högerledet i konjugatregeln och sedan skriva dessa i formen av konjugatregelns vänsterled. Exempel på detta är följande faktoriseringar.

Exempel 1

Faktorisera uttrycket $x^2-49$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (a+b)(a−b)=a²−b² . Vi jämför uttrycket med konjugatregeln och ser att om vi skriver om $x^2-49=x^2-7^2$ får vi en stor likhet med vänsterledet i konjugatregeln. Vi får att $a:$ a:et i konjugatregeln motsvarar $x$ x i vårt uttryck och $b:$ b:et motsvarar $7$ 7.

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)$

Exempel 2

Faktorisera uttrycket $9x^2-25$ med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ (a+b)(a−b)=a²−b²

Genom att tänka oss regeln baklänges, får vi att $a:$ a:et i konjugatregeln motsvarar $3x$ 3x i vårt uttryck, eftersom att $\left(3x\right)^2=3^2x^2=9x^2$ (3x)²=3²x²=9x². Vidare får vi att $b:$ b:et motsvarar $5$ 5. Vi faktoriserar nu uttrycket

$9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)$

En bra sak att ta med sig framåt är att så fort du har två ”kvadrater” med ett minustecken emellan så kan du skriva om dem med hjälp av konjugatregeln, ett knep som används flitigt i Ma 3.

Faktorisera med kvadreringsreglerna

När uttryck skall faktoriseras med hjälp av någon av de två kvadreringsreglerna, så gör man även det, genom att använda dessa regler ”baklänges”.
De två kvadreringsreglerna är följande.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Även här gäller det att först identifiera vilka delar i uttrycket som kan kopplas ihop med, eller motsvarar, kvadreringsreglernas högerled. Tänk på att det finns två olika kvadreringsregler. Skillnaderna mellan de båda reglerna är ett minustecken framför andra termen.

Exempel 3

Faktorisera uttrycket $x^2+2x+1$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (a+b)²=a²+2ab+b² .

Vi undersöker sedan om den första och sista termen är lämpliga att dra roten ur. Det är de.

$\sqrt{x^2}=x$ √x²=x och $\sqrt{1}=1$ √1=1

Nästa steg är att undersöka om termen i mitten stämmer med det dubbla värdet av faktorn av resultaten ovan.

Vi får att $2\cdot x\cdot1=2x$ 2·x·1=2x vilket stämmer.

Så genom att tänka oss regeln baklänges får vi att

$x^2+2x+1=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$ x²+2x+1=x²+2·x·1+1²=(x+1)²

Om uttrycket du ska faktorisera består att två positiva och en negativ term, men inte i ordningnen positiv-negativ-positiv, börjar du med att skriva om dem i önskad ordning. Detta är möjligt eftersom att summan inte påverkas av att du flyttar runt termer i uttrycket.

Till exempel är $4+5=5+4=9$ 4+5=5+4=9. Detta fungerar även om termerna är negativa. Genom att tänka, eller skriva om, differenser till summor kan även uttryck som innehåller minustecken byta position på termerna utan problem. Till exempel är $5-3=5+\left(-3\right)=-3+5=2$ 5−3=5+(−3)=−3+5=2 . Observera dock att minustecknet vid dessa omskrivningar ska ses som en negation och inte som en subtraktion. Till exempel gäller att $5-3\ne3-5$ 5−3≠3−5, utan måste skrivas om som ovan.

Exempel 4

Faktorisera uttrycket $x^2+36-12x$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har två positiva termer och en negativ till att börja med använder vi kvadreringsregeln $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ (a−b)²=a²−2ab+b². Men då det är sista, och inte andra som står i mitten, skriver vi först om uttrycket föra tt få det i större likhet med regeln.

$x^2+36-12x=x^2-12x+36$

Genom att sedan tänka oss regeln baklänges får vi att

$x^2-12x+36=x^2-2⋅x⋅6+6^2=(x-6)^2$

Exempel 5

Faktorisera uttrycket $9x^2+24x+16$ med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ (a+b)²=a²+2ab+b²

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

$9x^2+24x+16=(3x)^2+2⋅3x⋅4+4^2=(3x+4)^2$

Exempel i videon

Faktorisera $x^2-3^2$ .
Faktorisera $x^2 – 6x + 9$ .
Faktorisera $16x^2 + 32x + 16$ .
Faktorisera $36x^2 – 81$ .

Nästa lektion: Fördjupning av faktorisering

Kommentarer

Johan Wennberg

2022-09-12

Fråga 13, faktorisera ”p^4-16”, borde inte ”(p^2+4)(p^2-4)” vara ett bättre svar?

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2022-09-14

Hej Johan,

uppgiften var att faktorisera så ”långt som möjligt” och då går din andra parentes att faktoriseras en gång till med hjälp av konjugatregel. Men ditt förlag är en korrekt faktorisering, bara in gjord ”så långt som möjligt”

Tommy L.

2022-04-13

Hej,
Angående uppgift 4. Den hade ni behövt förklara bättre.

”Men mellan dessa två kvadrater står ett plustecken, det gör att vi inte kan faktorisera uttrycket.”

Förstår inte detta alls!?

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2022-06-21

Har utvecklat förklaringen. Hoppas det blev tydligare.

björn cullin

2019-10-30

Kan ni inte sätta in att punkt också blir rätt svar. Matte ska ju ändå vara ett språk att vi i mattesvenskan använder , är ju b.

David Admin (Moderator)

2019-11-05

Hej Björn,

vi har diskuterat detta flera gånger på redaktionen och i dialog med lärare som använder tjänsten och landat i att vi så länge vi är en svensk sida håller vi oss till det svenska skrivsättet. Det är inte svårt rent programmeringsmässigt att lägga till det, utan ett aktivt beslut från oss.

Men tack för din kommentar och vi får anledning att diskutera det en gång till!

Hoppas det inte stället till det allt för mycket för dig!

Krister Ristvedt

2019-03-23

Jag har aldrig i hela mitt liv tyckt att matte är roligt, men något har förändrats. Faktorisering är nog bland det roligaste jag gjort i matte, så mycket genvägar! Och, sista exemplet andra raden: Tror det skall vara minus mellan x^2 och 2 och inte plus?

Moa Degerfält

2018-09-28

Hej, tack för ett jättebra hjälpmedel till matten!
Jag tror att det är något fel på poängräkningen, De uppgifter jag gjort den senaste typ veckan syns inte från översikten. om jag går in på varje föreläsning så kan jag se att jag gjort upp gifterna men när jag kollar i översikten så ser det ut som att jag inte gjort dom.

Simon Rybrand (Moderator)

2018-09-28

Hej Moa!
Vi kikar på detta!

jonasfredriksson89@gmail.com

2015-10-18

Faktorisering känns som jeopardy. Men har problem med att ”se” hur stort jag kan göra det. Har du några tips på vad man göra mer än träna? Tex som när det börjar se ut såhär 4x^3 – 9xy^2 börjar jag få problem.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-10-19

Hej, ett litet tips kanske kan vara att skriva ut alla koefficienter och variabler så noggrant som möjligt, tex kan du skriva
$4x^3 – 9xy^2=$
$4⋅x⋅x⋅x-9x⋅y⋅y=$
$2⋅2⋅x⋅x⋅x-3⋅3⋅x⋅y⋅y$
Här kan man fundera på vad de två termerna har gemensamt? I detta fall är det endast ett x sin de bägge termerna har gemensamt, så detta är det enda som vi kan bryta ut (faktorisera ut), dvs
$4x^3 – 9xy^2=x(4x^2 – 9y^2)$
Det här sättet är förstås ganska omständligt och lämpar sig kanske mer att använda när man håller på att lära sig detta.

Hassoback

2015-03-18

vilken regel ska man använda för uppgift 6 ?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-03-18

Där är det konjugatregeln som du kan använda för att faktorisera uttrycket.

Kicki P

2015-03-14

Hej,

Jag vet inte om jag missförstår men i videon, sista uppg. nr 4 så är (6x)^2 = a^2 , kan man säga att a^2 ersätter (6x)^2 som tal? Förstår inte riktigt.

Simon Rybrand (Moderator)

2015-03-15

Hej
Det kanske kan vara missvisande att säga att $a^2$ ersätter $(6x)^2$ utan det är mera ett sätt att jämföra uttrycket med konjugatregeln. Så att vi lättare kan se hur det kan faktoriseras.

Pedro Veenekamp

2015-02-23

Hej!!!

De två sista övningar har två korrekta svar, trots att man får fel med ett av svaren.

7. (1-x)^2 = 1 -2x +x^2 men (x-1)^2 = x^2 -2x +1

Samma sker i övningen 8:

8. (x-2)^2 = (2-x)^2 = 4 -4x +x^2

Eller har jag missat något?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-02-25

Hej
Nej du har inte missat något där, det stämmer att man även kan få korrekt svar med ett av de andra svaren. Vi ändrar detta.
Tack för att du sade till!

Adi

2014-10-31

Hej!

Jag har ett litet problem med en uppgift. (x+h)^3=(x^2+2xh+h^2)(x+h)=
(x^3+2hx^2+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3)= Här blir det stop för mig hur går man vidare?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-11-02

Hej, du behöver lägga ihop de termer som är av samma sort. En möjlig uträkning är denna:
$(x+h)^3 = (x+h)^2(x+h) =$
$(x^2+2xh+h^2)(x+h) =$
$x^3+2x^2h + h^2x+x^2h+2h^2x+h^3 =$
$x^3+3x^2h +3xh^2+h^3$

PK12

2014-09-04

På uppgift 5 står det att ”27” är ingen kvadrat, vad menas med det och varför?

Simon Rybrand (Moderator)

2014-09-05

Hej, vi har förtydligat förklaringen i uppgiften.
Det som menas är att det inte finns något heltal $a$ så att $a^2=27$ .

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/8
C
0/11
A
0/5

Totalpoäng

0/24

e-uppgifter (7)

1.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $x^2-16$ x²−16
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(x+4)(x-4)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $x+4$ ) $\left(x-4\right)$

Rättad
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $x^2+14x+49$ x²+14x+49
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(x+7)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $(x+7)^2$ )

Rättad
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $9-x^2$ 9−x²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(3+x)(3-x)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $(3+x)(3-x)$ )

Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K
M

Ni har fått i uppgift att faktorisera uttrycket $x^2+36$ x²+36.

Mia säger att det blir $\left(x+6\right)^2$ (x+6)² medan George säger att det blir $\left(x+6\right)\left(x-6\right)$ (x+6)(x−6). Kim säger att ingen av dem har rätt.

Vad säger du?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: Kim har rätt. Uttrycket går ej att faktorisera på varken det sätt Mia och George säger.
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_R Godtagbart resonemagn som leder till korrekt svar. (Kim har rätt. )

Rättad
Rättar...
5. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera uttrycket $x^2-18x+81$ x²−18x+81
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\left(x-9\right)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $\left(x-9\right)^2$ )

Rättad
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $64x^2-25$ 64x²−25
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(8x+5)(8x-5)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $(8x+5)(8x-5)$ )

Rättad
Rättar...
7. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $9x^2-18x+9$ 9x²−18x+9
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(3x-3)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $(3x-3)^2$ )

Rättad
Rättar...

c-uppgifter (8)

8. Premium
(1/1/0)
E C A

B

P 1 1

PL

M

R

K
M

Faktorisera $4-4x+x^2$ 4−4x+x² på två olika sätt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(x-2)^2$ eller $\left(2-x\right)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Ett korrekt svar.
+1 c_P Två korrekta svar. ( $(x-2)^2$ och $\left(2-x\right)^2$ )

Rättad
Rättar...
9. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 2

PL

M

R

K

Faktorisera $27x^2+36x+12$ 27x²+36x+12
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $3(3x+2)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Godtagbar ansats tex bryter ut en trea.
+1 c_P Korrekt svar. $\left(3\left(3x+2\right)^2\right)$

Rättad
Rättar...
10. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

Faktorisera $\frac{x^2}{4}-\frac{1}{9}$ x²4 −19
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(\frac{x}{2}+\frac{1}{3})(\frac{x}{2}-\frac{1}{3})$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar ansats tex skriver om termerna eller termernas nämnare som kvadrater.
+1 c_P Korrekt svar. $\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{3}\right)$

Rättad
Rättar...
11. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K

Faktorisera $25x^2-81y^2$ 25x²−81y²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(5x+9y)(5x-9y)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Korrekt svar. ( $(5x+9y)(5x-9y)$ )

Rättad
Rättar...
12. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Faktorisera $1+x^2-2x$ 1+x²−2x.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(x-1)^2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Korrekt svar. ( $\left(x-1\right)^2$ eller $\left(1-x\right)^2$ )

Rättad
Rättar...
13. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

Faktorisera $p^4-16$ p⁴−16 så långt som möjligt.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $(p^2+4)(p+2)(p-2)$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Korrekt svar. ( $(p^2+4)(p+2)(p-2)$ )
+1 c_P Godtagbar ansats $\left(p^2+4\right)\left(p^2-4\right)$

Rättad
Rättar...
14. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K

Vilken term ska du addera till $x^2+8x$ x²+8x så att du kan faktorisera hela uttrycket till $\left(x+4\right)^2$ (x+4)² ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $16$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Korrekt svar. ( $16$ )

Rättad
Rättar...
15. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P

PL 1

M

R

K

Arean på en kvadrat beskrivs med uttrycket

$A=x^2-24x+144$ A=x²−24x+144

Ange ett uttryck för kvadratens sidlängd.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x-12$ l.e
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Korrekt svar. ( $x-12$ l.e)

Rättad
Rättar...

a-uppgifter (3)

16. Premium
(0/0/2)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K

Förenkla genom att först faktorisera

$\left(s+t\right)^2-\left(s-t\right)^2$ (s+t)²−(s−t)²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $4st$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_B Skriver om korrekt med konjugatregeln
+1 a_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $4st$ )

Rättad
Rättar...
17. Premium
(0/0/2)
E C A

B

P 2

PL

M

R

K

Förenkla uttrycket så långt som möjligt

$\left(2x-5-\sqrt{2x+25}\right)\left(2x-5+\sqrt{2x+25}\right)$ (2x−5−√2x+25)(2x−5+√2x+25)
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $4x^2-22x$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_P Godtagbara anstas tex faktorisera med hjälp av konjugat regeln
+1 a_P med fortsatt redovisad lösning med korrekt svar. ( $4x^2-22x$ )

Rättad
Rättar...
18. Premium
(0/0/1)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

$\frac{a^{\frac{7}{4}}\left(a^{\frac{1}{3}}+1\right)\left(a^{\frac{1}{3}}-1\right)}{a^{\frac{1}{4}}\text{ }·\text{ }a^{\frac{1}{2}}}$ a⁷⁴(a¹³+1)(a¹³−1)a^14 ‍ · a¹²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a^{\frac{5}{3}}-a$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 a_P Korrekt svar. ( $a^{\frac{5}{3}}-a$ )

Rättad
Se mer: Konjugatregeln och kvadreringsreglerna
Rättar...

Nästa lektion: Fördjupning av faktorisering

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 2

Välj kurs

KURSER /

Matematik 2

/ Algebra – Matematik 2

Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Faktorisera med konjugatregeln

Exempel 1

Lösning:

Exempel 2

Lösning:

Faktorisera med kvadreringsreglerna

Exempel 3

Lösning:

Exempel 4

Lösning:

Exempel 5

Lösning:

Exempel i videon

Kommentarer

Johan Wennberg

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Tommy L.

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

björn cullin

David Admin (Moderator)

Krister Ristvedt

Moa Degerfält

Simon Rybrand (Moderator)

jonasfredriksson89@gmail.com

Simon Rybrand (Moderator)

Hassoback

Simon Rybrand (Moderator)

Kicki P

Simon Rybrand (Moderator)

Pedro Veenekamp

Simon Rybrand (Moderator)

Adi

Simon Rybrand (Moderator)

PK12

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...