00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2b
/  Algebra – Matematik 2
Algebra

Faktorisera med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

I den här lektionen går vi igenom hur man kan faktorisera algebraiska uttryck med hjälp av konjugatregeln och kvadreringsreglerna.

När algebraiska uttryck ska faktoriseras används ofta distributiva lagen, konjugatregeln eller kvadreringsreglerna ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Att använda en regel ”baklänges” innebär att man går från högerledet till vänsterledet i regeln.

Faktorisera med konjugatregeln

När man faktoriserar med hjälp av konjugatregeln behöver man först identifiera de olika delarna i det uttryck som ska faktoriseras som motsvarar de olika delarna i konjugatregeln. Denna regel säger följande:

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

För att faktorisera ett uttryck så skriver man om uttrycket genom att identifiera delar i uttrycket som kan motsvaras av högerledet i konjugatregeln och sedan skriva dessa i formen av konjugatregelns vänsterled. Exempel på detta är följande faktoriseringar.

Exempel 1

Faktorisera uttrycket x2−49x^2-49 med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)(a−b)=a2−b2 . Vi jämför uttrycket med konjugatregeln och ser att om vi skriver om x2−49=x2−72x^2-49=x^2-7^2 får vi en stor likhet med vänsterledet i konjugatregeln. Vi får att a:a:a:et i konjugatregeln motsvarar xxx i vårt uttryck och b:b:b:et motsvarar 777.

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

x2−49=x2−72=(x+7)(x−7)x^2-49=x^2-7^2=(x+7)(x-7)

Exempel 2

Faktorisera uttrycket 9x2−259x^2-25 med hjälp av konjugatregeln.

Lösning:

Konjugatregeln säger att  (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2(a+b)(a−b)=a2−b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges, får vi att  a:a:a:et  i konjugatregeln motsvarar 3x3x3x i vårt uttryck, eftersom att (3x)2=32x2=9x2\left(3x\right)^2=3^2x^2=9x^2(3x)2=32x2=9x2. Vidare får vi att b:b:b:et motsvarar 555. Vi faktoriserar nu uttrycket

9x2−25=(3x)2−52=(3x+5)(3x−5)9x^2-25=(3x)^2-5^2=(3x+5)(3x-5)

En bra sak att ta med sig framåt är att så fort du har två ”kvadrater” med ett minustecken emellan så kan du skriva om dem med hjälp av konjugatregeln, ett knep som används flitigt i Ma 3. 

Faktorisera med kvadreringsreglerna

När uttryck skall faktoriseras med hjälp av någon av de två kvadreringsreglerna, så gör man även det, genom att använda dessa regler ”baklänges”.
De två kvadreringsreglerna är följande.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Även här gäller det att först identifiera vilka delar i uttrycket som kan kopplas ihop med, eller motsvarar, kvadreringsreglernas högerled. Tänk på att det finns två olika kvadreringsregler. Skillnaderna mellan de båda reglerna är ett minustecken framför andra termen.

Exempel 3

Faktorisera uttrycket x2+2x+1x^2+2x+1 med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2 .

Vi undersöker sedan om den första och sista termen är lämpliga att dra roten ur. Det är de.

 x2=x\sqrt{x^2}=x√x2=x  och  1=1\sqrt{1}=1√1=1 

Nästa steg är att undersöka om termen i mitten stämmer med det dubbla värdet av faktorn av resultaten ovan.

Vi får att  2⋅x⋅1=2x2\cdot x\cdot1=2x2·x·1=2x vilket stämmer.

Så genom att tänka oss regeln baklänges får vi att

 x2+2x+1=x2+2⋅x⋅1+12=(x+1)2x^2+2x+1=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2x2+2x+1=x2+2·x·1+12=(x+1)2 

Om uttrycket du ska faktorisera består att två positiva och en negativ term, men inte i ordningnen positiv-negativ-positiv, börjar du med att skriva om dem i önskad ordning. Detta är möjligt eftersom att summan inte påverkas av att du flyttar runt termer i uttrycket.

Till exempel är  4+5=5+4=94+5=5+4=94+5=5+4=9. Detta fungerar även om termerna är negativa. Genom att tänka, eller skriva om, differenser till summor kan även uttryck som innehåller minustecken byta position på termerna utan problem. Till exempel är 5−3=5+(−3)=−3+5=25-3=5+\left(-3\right)=-3+5=25−3=5+(−3)=−3+5=2 . Observera dock att minustecknet vid dessa omskrivningar ska ses som en negation och inte som en subtraktion. Till exempel gäller att  5−3≠3−55-3\ne3-55−3≠3−5, utan måste skrivas om som ovan.

Exempel 4

Faktorisera uttrycket x2+36−12xx^2+36-12x med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har två positiva termer och en negativ till att börja med använder vi kvadreringsregeln  (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(a−b)2=a2−2ab+b2. Men då det är sista, och inte andra som står i mitten, skriver vi först om uttrycket föra tt få det i större likhet med regeln.

x2+36−12x=x2−12x+36x^2+36-12x=x^2-12x+36

Genom att sedan tänka oss regeln baklänges får vi att

x2−12x+36=x2−2⋅x⋅6+62=(x−6)2x^2-12x+36=x^2-2⋅x⋅6+6^2=(x-6)^2

Exempel 5

Faktorisera uttrycket 9x2+24x+169x^2+24x+16 med hjälp av kvadreringsregeln.

Lösning:

Eftersom att vi har tre positiva termer till att börja med använder vi kvadreringsregeln  (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a+b)2=a2+2ab+b2 

Genom att tänka oss regeln baklänges får vi att då

9x2+24x+16=(3x)2+2⋅3x⋅4+42=(3x+4)29x^2+24x+16=(3x)^2+2⋅3x⋅4+4^2=(3x+4)^2

Exempel i videon

  • Faktorisera x2−32x^2-3^2.
  • Faktorisera x2–6x+9x^2 – 6x + 9.
  • Faktorisera 16x2+32x+1616x^2 + 32x + 16.
  • Faktorisera 36x2–8136x^2 – 81.
Nästa lektion: Fördjupning av faktorisering

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server