00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

När du beräknar ett värde för en integral så används integralkalkylens fundamentalsats. Grafiskt motsvarar integralens värde arean mellan grafer i ett intervall.

Hur man beräknar en Integral algebraiskt

I de fall där du inte kan beräkna integralens exakta värde grafiskt, alltså genom att beräkna arean mellan kurvan och xxx-axeln med någon känd geometrisk form, behöver vi göra det algebraiskt. I denna kurs använder vi integralkalkylens fundamentalsats, eller insättningsformeln som en del väljer att kallad den istället, för den algebraiska beräkningen.

Integralkalkylens fundamentalsats

Arenan mellan grafen y=f(x)y=f\left(x\right)y=ƒ (x) och xxx-axeln i intervallet t aa\leaxx\lex bbb kan beräknas med följande.

Integral

 01 \int\limits_0^1 f(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)f(x)dx=[F(x)]^{^b}_{_a}=F(b)-F(a)ƒ (x)dx=[F(x)]ba=F(b)F(a) 

där

  •  aaa är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
  •  bbb är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
  •  f(x)f\left(x\right)ƒ (x) är integranden, som är den funktion vars graf begränsar arenan uppåt
  •  xxx i skrivningen dxdxdx anger integrationsvariabeln, som anger att beräkningen sker med avseende på förändring i xxx -led

Satsen säger alltså arean mellan kurvan och xxx-axeln kan beskrivas med integralen abf(x)dx\int_a^bf\left(x\right)dxabƒ (x)dx  och beräknas med differensen F(b)F(a)F\left(b\right)-F\left(a\right)F(b)F(a) där F(x)F\left(x\right)F(x) är en primitiv funktion till  f(x)f\left(x\right)ƒ (x). Vi går igenom metoden steg för steg.

Notera att det är nödvändigt att kunna bestämma en primitiv funktion till integranden för att kunna beräkna integralens värde algebraiskt. Om du behöver repetera hur man gör det så gå till lektionen Primitiva funktioner.

Integraler med algebraisk metod

  • Bestäm övre och undre integrationsgränsen
  • Ta fram en primitiv funktion till integranden
  • Teckna integralen du ska beräkna
  • Börja beräkna integralen genom fylla i integralkalkylens fundamentalsats med dina värden
  • Beräkna  F(b)F(a)F\left(b\right)-F\left(a\right)F(b)F(a), där F(b)F\left(b\right)F(b) motsvarar den primitiva funktionens värde för den över gränsen bbb och F(a)F\left(a\right)F(a) den primitiva funktionens värde för den under gränsen aaa
  • Ange ditt svar med efterfrågad enhet

Genom att upprepa dessa steg kan vi nu beräkna integralens värde algebraiskt.

Vi vill redan här påpeka att beräkningar med areor under xxx-axeln ger ett negativt bidrag. Vi kommer att fördjupa det i lektionen om Areor mellan kurvor. 

Dessutom vill vi att du ska notera att integraler aldrig anges med någon enhet. Däremot kan man med integraler göra beräkningar som representerar värden på storheter. Det kommer vi ge exempel på i lektionen Tillämning av integraler E-uppgifter och C-A uppgifter.

Testa själv

Dra i övre och undre integrationsgränserna och se vilket värde som integralen får.

Exempel på beräkning av integral med algebraisk metod

Här följer nu några exempel på hur man beräkna integralen algebraiskt.

Exempel 1

Beräkna integralen 01(2x+1)dx \int\limits_0^1 (2x + 1) dx

Integral

Lösning

Eftersom att en primitiv funktion till f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1ƒ (x)=2x+1 är F(x)=x2+xF(x)=x^2+xF(x)=x2+x
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

01(2x+1)dx= \int\limits_0^1 (2x + 1) dx = [x2+x]01=F(1)F(0)\left[x^2+x\right]_{_0}^{^1}=F\left(1\right)-F\left(0\right)[x2+x]01=F(1)F(0)

Genom att beräkna F(1)F(0)F\left(1\right)-F\left(0\right)F(1)F(0) får vi värdet på integralen. Du sätter alltså in den undre gränsen i den primitiva funktionen F(x)F\left(x\right)F(x), sedan den övre och subtraherar värdena med varandra.

F(1)F(0)=(12+1)(02+0)=1+100=2F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(1^2+1\right)-\left(0^2+0\right)=1+1-0-0=2F(1)F(0)=(12+1)(02+0)=1+100=2

Integralens värde är 222.

Vi kan tolka svaret som vi får fram, som arean mellan kurvan till f(x)=2x+1f\left(x\right)=2x+1ƒ (x)=2x+1 och xxx– axeln i intervallet x=0x=0x=0 till x=1x=1x=1 .

Exempel 2

Beräkna integralen 13 \int\limits_1^3 (2x) dx(2x)\text{ }dx(2x) dx

Lösning

Eftersom att en primitiv funktion till f(x)=2xf\left(x\right)=2xƒ (x)=2x är  F(x)=x2F(x)=x^2F(x)=x2
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

13 \int\limits_1^3 (2x) dx(2x)\text{ }dx(2x) dx =  [ x2 ]13=\left[\text{ }x^2\text{ }\right]_{_1}^{^3}=[ x2 ]13=  3212=91=83^2-1^2=9-1=83212=91=8

Vanligt fel vid Integralberäkning

Då Integralkalkylens fundamentalsats säger att integralens värde motsvarar differensen F(b)F(a)F\left(b\right)-F\left(a\right)F(b)F(a), är det vanligt att man råkar glömma byta tecken i samband med att man förenklar uttrycket. För att undvika det är det ofta säkrast att först beräkna var parentes värde föra tt sedan utföra differensen. Men vill man inte det måste man vara noggrann och hålla tungan rätt i mun.

Räknereglerna säger att alla tecken i en parentes byts när man tar bort den, OM man har en minustecken precis i anslutning till parentesen.

Då  a, ba,\text{ }ba, b och  ccc är konstanter får vi att

(a+b+c)=abc-\left(a+b+c\right)=-a-b-c(a+b+c)=abc
(abc)=a+b+c-\left(-a-b-c\right)=a+b+c(abc)=a+b+c

Då man ska subtrahera F(a)F\left(a\right)F(a) kan det därför underlätta att först skriva uttrycket som ges av funktionen inom parentes. Detta för att inte missa att byta tecken på alla termer när parentesen tas bort.

Exempel 3

Förenkla uttrycket  F(3)F(1)F\left(3\right)-F\left(1\right)F(3)F(1) då  F(x)=5x+4F\left(x\right)=5x+4F(x)=5x+4

Lösning

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna.

F(3)F(1)=(53+4)(51+4)=(15+4)(5+4)=F\left(3\right)-F\left(1\right)=\left(5\cdot3+4\right)-\left(5\cdot1+4\right)=\left(15+4\right)-\left(5+4\right)=F(3)F(1)=(5·3+4)(5·1+4)=(15+4)(5+4)=  15+454=1015+4-5-4=1015+454=10

Exempel 4

Förenkla uttrycket  F(2)F(0)F\left(2\right)-F\left(0\right)F(2)F(0) då  F(x)=e2x4F\left(x\right)=e^{2x}-4F(x)=e2x4

Svara exakt.

Lösning

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna. Tänk på att  e0=1e^0=1e0=1.

F(2)F(0)=(e224)(e204)=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left(e^{2\cdot2}-4\right)-\left(e^{2\cdot0}-4\right)=F(2)F(0)=(e2·24)(e2·04)= (e44)(14)=e441+4=e41\left(e^4-4\right)-\left(1-4\right)=e^4-4-1+4=e^4-1(e44)(14)=e441+4=e41

Eftersom att  e4e^4e4 inte ger ett exakt värde, låter vi det finnas kvar i svaret.

Exempel i videon

  • Beräkna  132x dx\int_1^32x\text{ }dx132x dx
  • Beräkna 01x+x2 dx\int_0^1x+x^2\text{ }dx01x+x2 dx
  • Beräkna arean mellan x–axeln och kurvan till funktionen  f(x)=x2+4f\left(x\right)=-x^2+4ƒ (x)=x2+4