Kapiteltest - Talteori

Ada är född på en måndag. Vilken veckodag är det då Ada blir $1000$1000 dagar?

Lös uppgiften utan räknare och visa alla steg.

Vilket alternativ är en rekursiv formel till talföljden  $4,\text{ }11,\text{ }18,\text{ }25…$4, 11, 18, 25… 

Ange ett naturligt tal $a$a så att $a$a | $105$105  och  $a$a | $154$154 .

Bestäm $n$n så att $70$70 ≡ $55\left(\text{mod }n\right)$55(mod n) där $n<10$n<10 

Motivera ditt svar.

En patient får en dos medicin med  $150$150  mg av en verksam substans var sjätte timme. Efter sex timmar har mängen av den verksamma substansen i patientens blod minskat med  $40\%$40%.

Hur stor mängd av den verksamma substansen har patienten i blodet efter  $12$12  doser av medicinen?

Avrunda till två värdesiffror.

Vilket tal motsvarar talet  $11100_{\text{två}}$11100_två om vi istället skriver det på basen tre?

Går det att med ett induktionsbevis visa att  $6^n-1$6ⁿ−1 är delbart med  $5$5 där  $n\text{∈}\text{ℕ}$n∈ℕ?

Träna även på att motivera ditt svar.

$x ≡ 5$ (mod $6$) och $y ≡ 2$ (mod $6$). Bestäm $x^y$ (mod $6$).

Ett klassiskt matematiskt problem, som ibland sägs komma från schackbrädets uppfinnare, kan formuleras på följande sätt.

På ett schackbrädes första ruta läggs ett riskorn, på nästa ruta $2$2 riskorn, på den tredje rutan $4$4 st, på den fjärde rutan $8$8 st osv. Hur många riskorn ska då finnas på schackbrädet totalt när det lagts riskorn på samtliga $64$64 rutor?

Ett riskorn väger ca 25 mg.

Träna även på att motivera ditt svar och kommentera huruvida uppgiften ovan är möjlig att genomföra.

Bestäm resten då $2^{202}$2²⁰² divideras med $5$5.

Redovisa alla steg.

Två idrottare startar ett träningspass samtidigt springer längs en slinga i skogen. Den ena springer ett varv på $2$2 min och $40$40 s, den andra springer samma varv på $3$3 min och $20$20 s.

Efter hur lång tid är de jämsides igen?

Bestäm summan för en geometrisk talföljd där $\left|k\right|<1$|k|<1 och antalet element går mot oändligheten.

Förenkla så långt som möjligt.

Går det att med ett induktionsbevis visa att olikheten $\sum_{a=1}^n\left(\frac{1}{a^2}\right)\le2-\frac{1}{n}$∑_a=1ⁿ(1a² )≤2−1n   gäller för alla  $n\ge1$n≥1 ?
Träna även på att motivera ditt svar.