00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Om vi ritar grafen till funktionen
y=4sinx+3cosxy=4\sin x+3\cos xy=4sinx+3cosx får vi följande.
Sinuskurva

Vi ser att grafen ser ut som en sinusfunktion, om än något förskjuten i sidled.

Målet med denna lektion är att lära oss skriva om funktionsuttryck på formen y=a sinx+b cosxy=a\text{ }\sin x+b\text{ }\cos xy=a sinx+b cosx  till sinusfunktioner.

Kurvan till y = a sin x + b cos x

När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande formel.

Om  a>0a>0a>0b>0b>0b>0,  0<0^{\circ}<0< vvv <90<90^{\circ}<90 och   tanv=\tan v=tanv= ba\frac{b}{a}ba   så gäller

f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)

f(x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv)f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)ƒ (x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv)

Amplituden är c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}c=a2+b2 och v=tan1(ba)v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)v=tan1(ba )  anger förskjutningen i sidled.

I formelbladet till nationella prov anges endast formeln:

asinx+bcosx=csin(x+v)a\sin x+b\cos x=c\sin\left(x+v\right)asinx+bcosx=csin(x+v) där  c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}c=a2+b2 och tanv=\tan v=tanv=ba\frac{b}{a}ba .

Exempel 1

Skriv om funktionsuttrycket y=4sinx+3cosxy=4\sin x+3\cos xy=4sinx+3cosx på formen

y=Asin(x+v)y=A\sin\left(x+v\right)y=Asin(x+v)

Lösning

Vi börjar med att beräkna amplituden  AAA. I vår uppgift är a=4a=4a=4 och b=3b=3b=3 vilket ger att

A=a2+b2=A=\sqrt{a^2+b^2}=A=a2+b2=  42+32=\sqrt{4^2+3^2}=42+32=25=5\sqrt{25}=525=5

Vidare beräknar vi vinkeln vvv.

v=tan1v=\tan^{-1}v=tan1 (34)\left(\frac{3}{4}\right)(34 )  37\approx37^{\circ}37

Det ger att funktionen på den omskrivna formen är

y=5sin(x+37)y=5\sin\left(x+37^{\circ}\right)y=5sin(x+37)

Härledning

Vi visar fallet att om  a>0a>0a>0b>0b>0b>0,  0<0^{\circ}<0<vvv<90<90^{\circ}<90 och tanv=ba\tan v=\frac{b}{a}tanv=ba  så gäller  f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v) .

Vi vill här visa att vi kan skriva funktionen f(x)=asinx+bcosxf\left(x\right)=a\sin x+b\cos xƒ (x)=asinx+bcosx som f(x)=Asin(x+v)f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)ƒ (x)=Asin(x+v).

1)

Vi börjar att jobba med uttrycket Asin(x+v)A\sin\left(x+v\right)Asin(x+v) och använder en av additionsformlerna för sinus för att skriva skriva om det.

f(x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)f\left(x\right)=A\sin\left(x+v\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)ƒ (x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)

I uttrycket ovan kan vi vi bryta ut cosv\cos vcosv.

f(x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)f\left(x\right)=A\left(\sin x\cos v+\cos x\sin v\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)ƒ (x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)

Notera här ovan att när vi bryter ut cosv\cos vcosv ur den andra termen i parentesen så får vi

cosxsinv=cosxsinvcosv=cosxsinvcosv=cosxtanv\cos x\sin v=\frac{\cos x\sin v}{\cos v}=\cos x\frac{\sin v}{\cos v}=\cos x\cdot\tan vcosxsinv=cosxsinvcosv =cosxsinvcosv =cosx·tanv

2)

Vi går nu vidare och skriver om f(x)=asinx+bcosxf\left(x\right)=a\sin x+b\cos xƒ (x)=asinx+bcosx genom att bryta ut aaa.

f(x)=asinx+bcosx=a(sinx+bacosx)f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)ƒ (x)=asinx+bcosx=a(sinx+ba cosx)

Notera återigen att när vi bryter ut aaa i den andra termen så får vi bcosx=bcosxa=bacosxb\cos x=\frac{b\cos x}{a}=\frac{b}{a}\cos xbcosx=bcosxa =ba cosx

3) 

Vi ställer upp de bägge funktionerna så att vi kan jämföra dem

f(x)=Acosv(sinx+cosxtanv)f\left(x\right)=A\cos v\left(\sin x+\cos x\tan v\right)ƒ (x)=Acosv(sinx+cosxtanv)
f(x)=a(sinx+bacosx)f\left(x\right)=a\left(\sin x+\frac{b}{a}\cos x\right)ƒ (x)=a(sinx+ba cosx)

Vi ser att dessa bägge funktioner kommer att vara identiska om

Acosv=aA\cos v=aAcosv=a och om tanv=ba\tan v=\frac{b}{a}tanv=ba 

Vi får därför att v=tan1(ba)v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)v=tan1(ba )

4)

Vi vill nu bestämma AAA.

Sambandet tanv=ba\tan v=\frac{b}{a}tanv=ba  kan beskrivas med hjälp av en rätvinklig triangel där kateterna är aaa och bbb och hypotenusan kommer då ges av pythagoras sats och vara a2+b2\sqrt{a^2+b^2}a2+b2.

I samma triangel så gäller att cosv=aa2+b2\cos v=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}cosv=aa2+b2  och om vi sätter in det i  Acosv=aA\cos v=aAcosv=a så får vi

Aaa2+b2=aA\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=aAaa2+b2 =a

Vi skriver om uttrycket och får att

A=a2+b2A=\sqrt{a^2+b^2}A=a2+b2

Så nu vet vi att förskjutningen v=tan1(ba)v=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)v=tan1(ba )  och att amplituden  A=a2+b2A=\sqrt{a^2+b^2}A=a2+b2 och därmed har vi visat att om

a>0a>0a>0b>0b>0b>0, 0° < v < 90° och tanv=ba\tan v=\frac{b}{a}tanv=ba  så gäller  f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x+v\right)ƒ (x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v) .

På liknande vis kan även  f(x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv)f\left(x\right)=a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left(x-v\right)ƒ (x)=asinxbcosx=a2+b2sin(xv) visas.