KURSER /
Matematik Basår - Tekniskt och naturvetenskapligt
/ Trigonometri
Kurvan till y = a sin x + b cos x
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Om vi ritar grafen till funktionen
y=4sinx+3cosxy=4sinx+3cosx får vi följande.
Vi ser att grafen ser ut som en sinusfunktion, om än något förskjuten i sidled.
Målet med denna lektion är att lära oss skriva om funktionsuttryck på formen y=a sinx+b cosxy=a sinx+b cosx till sinusfunktioner.
Kurvan till y = a sin x + b cos x
När du skriver om dessa typer av funktioner använder du följande formel.
Om a>0a>0, b>0b>0, 0∘<0∘< vv <90∘<90∘ och tanv=tanv= abba så gäller
f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v)
f(x)=asinx−bcosx=a2+b2sin(x−v)ƒ (x)=asinx−bcosx=√a2+b2sin(x−v)
Amplituden är c=a2+b2c=√a2+b2 och v=tan−1(ab)v=tan−1(ba ) anger förskjutningen i sidled.
I formelbladet till nationella prov anges endast formeln:
asinx+bcosx=csin(x+v)asinx+bcosx=csin(x+v) där c=a2+b2c=√a2+b2 och tanv=tanv=abba .
Exempel 1
Skriv om funktionsuttrycket y=4sinx+3cosxy=4sinx+3cosx på formen
y=Asin(x+v)y=Asin(x+v)
Lösning
Vi börjar med att beräkna amplituden AA. I vår uppgift är a=4a=4 och b=3b=3 vilket ger att
A=a2+b2=A=√a2+b2= 42+32=√42+32=25=5√25=5
Vidare beräknar vi vinkeln vv.
v=tan−1v=tan−1 (43)(34 ) ≈37∘≈37∘
Det ger att funktionen på den omskrivna formen är
y=5sin(x+37∘)y=5sin(x+37∘)
Härledning
Vi visar fallet att om a>0a>0, b>0b>0, 0∘<0∘<vv<90∘<90∘ och tanv=abtanv=ba så gäller f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v) .
Vi vill här visa att vi kan skriva funktionen f(x)=asinx+bcosxƒ (x)=asinx+bcosx som f(x)=Asin(x+v)ƒ (x)=Asin(x+v).
1)
Vi börjar att jobba med uttrycket Asin(x+v)Asin(x+v) och använder en av additionsformlerna för sinus för att skriva skriva om det.
f(x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)ƒ (x)=Asin(x+v)=A(sinxcosv+cosxsinv)
I uttrycket ovan kan vi vi bryta ut cosvcosv.
f(x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)ƒ (x)=A(sinxcosv+cosxsinv)=Acosv(sinx+cosxtanv)
Notera här ovan att när vi bryter ut cosvcosv ur den andra termen i parentesen så får vi
cosxsinv=cosvcosxsinv=cosxcosvsinv=cosx⋅tanvcosxsinv=cosxsinvcosv =cosxsinvcosv =cosx·tanv
2)
Vi går nu vidare och skriver om f(x)=asinx+bcosxƒ (x)=asinx+bcosx genom att bryta ut aa.
f(x)=asinx+bcosx=a(sinx+abcosx)ƒ (x)=asinx+bcosx=a(sinx+ba cosx)
Notera återigen att när vi bryter ut aa i den andra termen så får vi bcosx=abcosx=abcosxbcosx=bcosxa =ba cosx
3)
Vi ställer upp de bägge funktionerna så att vi kan jämföra dem
f(x)=Acosv(sinx+cosxtanv)ƒ (x)=Acosv(sinx+cosxtanv)
f(x)=a(sinx+abcosx)ƒ (x)=a(sinx+ba cosx)
Vi ser att dessa bägge funktioner kommer att vara identiska om
Acosv=aAcosv=a och om tanv=abtanv=ba
Vi får därför att v=tan−1(ab)v=tan−1(ba )
4)
Vi vill nu bestämma AA.
Sambandet tanv=abtanv=ba kan beskrivas med hjälp av en rätvinklig triangel där kateterna är aa och bb och hypotenusan kommer då ges av pythagoras sats och vara a2+b2√a2+b2.
I samma triangel så gäller att cosv=a2+b2acosv=a√a2+b2 och om vi sätter in det i Acosv=aAcosv=a så får vi
Aa2+b2a=aAa√a2+b2 =a
Vi skriver om uttrycket och får att
A=a2+b2A=√a2+b2
Så nu vet vi att förskjutningen v=tan−1(ab)v=tan−1(ba ) och att amplituden A=a2+b2A=√a2+b2 och därmed har vi visat att om
a>0a>0, b>0b>0, 0° < v < 90° och tanv=abtanv=ba så gäller f(x)=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+v)ƒ (x)=asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+v) .
På liknande vis kan även f(x)=asinx−bcosx=a2+b2sin(x−v)ƒ (x)=asinx−bcosx=√a2+b2sin(x−v) visas.
Kommentarer
e-uppgifter (7)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K I figuren visas graferna till y=sinxy=sinx och y=cosxy=cosx.
Beräkna y=sin90∘+cos90∘y=sin90∘+cos90∘
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...2.
(2/0/0)ME C A B P PL 1 M 1 R K I figuren visas graferna till y=sinxy=sinx och y=cosxy=cosx.
Beräkna värdet för y=sinx+cosxy=sinx+cosx för
x=−45∘x=−45∘ x=0∘, x=45∘,x=90∘, x=135∘, x=180∘, x=270∘x=0∘, x=45∘,x=90∘, x=135∘, x=180∘, x=270∘ och x=360∘x=360∘.
Plotta ut punkterna som bildas av respektive talpar och sammanbind till en graf.
Läs av amplituden och förskjutningen och ange funktionen på formen y=Asin(x+v)y=Asin(x+v)
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=2sin (x+45∘)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: EnhetscirkelnRättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Skriv om funktionen f(x)=3sinx+4cosxƒ (x)=3sinx+4cosx på formen y=csin(x+v)y=csin(x+v)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)ME C A B P PL M R 1 K Eva, Jan och Lennart har fått i uppgift att beräkna det största värdet för funktionen y=7sinx+2cosxy=7sinx+2cosx.
” Det är ju enkel!” utbrister en av dem.
”Det är ju lika med 99, eftersom att de två funktionerna har amplituderna 77 och 22 och det är ju deras största värden! Och 7+2=97+2=9!”
Håller du med? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Vilket är det minsta värdet funktionen f(x)=3sinx+4cosxƒ (x)=3sinx+4cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=−5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodRättar...6. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Vilket är det största värdet funktionen y=2sinx−5cosxy=2sinx−5cosx kan anta?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=29(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Förkunskap: Amplitud och PeriodRättar...7. Premium
(1/0/0)ME C A B P 1 PL M R K Skriv om funktionen y=sinx−cosxy=sinx−cosx på formen y=csin(x+v)y=csin(x+v).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=2sin(x−45°)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (5)
8. Premium
(0/2/0)ME C A B P PL M 1 R 1 K I figuren visas graferna till y=f(x)y=ƒ (x) och y=g(x)y=g(x).
Skriv funktionsuttrycket y=c sin(x+v)y=c sin(x+v) som motsvarar summan f(x)+g(x)ƒ (x)+g(x).
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=5sin(x+26,6∘)(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(0/1/0)ME C A B P PL M R 1 K Bilden visar grafen till funktionen y=3sinx+cos3xy=3sinx+cos3x
Går denna att skriva om på formen f(x)=csin(x+v)ƒ (x)=csin(x+v)? Motivera ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Nej, för termerna har olika period.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P PL 1 M R K Funktionen y=(k+2)sinx+kcosxy=(k+2)sinx+kcosx är given.
Bestäm det positiva talet kk så att funktionens största värde blir 20√20.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: k=2(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...11. Premium
(0/3/0)E C A B 1 P PL 2 M R K Funktionen y=(k+2)sinx+kcosxy=(k+2)sinx+kcosx är given.
Bestäm det minsta positiva vinkeln xx som ger att funktionens största värde blir 20√20.
Ange svaret med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x=63,4∘(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...12. Premium
(0/2/0)ME C A B P PL 2 M R K Lös ekvationen 4sinx+3cosx=44sinx+3cosx=4 algebraiskt.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: x={16,2∘+360∘⋅n90∘+360∘⋅n(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
13. Premium
(0/0/2)E C A B P PL 1 M R 1 K Ange grafens ekvation på formen y=asinx+bcosxy=asinx+bcosx
Svar:Ditt svar:Rätt svar: y=3sinx+3cosx(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Endast Premium-användare kan kommentera.