Kurvan till y = tan x

Kurvan till y = tan x har ett mycket karaktäristiskt utseende. Det beror på några viktiga egenskaper som är bra att känna till. När vi ritar ut grafen till funktionen $y=\tan x$y=tanx  i ett koordinatsystem ser den nämligen ut så här.

Vi ser att $y=\tan x$y=tanx skär $x$x– axeln med ett intervall på $180°$180° och upprepar sitt utseende. Det leder till att tangensfunktionen har perioden $180°$180° eller $\pi$π radianer. Det innebär att funktionsvärdena återkommer i intervallet $180^{\circ}$180^∘ eller $\pi$π radianer.

Anledningen till att grafen till tangensfunktionen ser ut som den gör, beror på att den är odefinierad för vissa vinklar. Vi vet nämligen att $\tan x=$tanx=$\frac{\sin x}{\cos x}$sinxcosx  och för $x$x-värden där $\cos x=0$cosx=0 är funktionen därför odefinierad. Detta eftersom att nolldivision inte är definierat/tillåtet. Till funktionen för tangens uppstår därför ”glapp” i grafen.

Dessa lodräta linjer som grafen närmar sig från höger och vänster med ett visst intervall, men aldrig sammanfaller med, kallas för asymptoter . Vi studerar dem närmre längre fram i kursen.

”Glappen”, eller asymptoterna, markeras här med röda streck och till exempel gäller att $\lim\limits_{x \to 90°} \tan x= \pm \infty$.

Det beror på att när $x \to 90°$ från vänster, gäller att $\lim\limits_{x \to 90°} \sin x= 1$ och $\lim\limits_{x \to 90°} \cos x= +0$.

Om vi dividerar talet $1$1 med ett oändligt litet positiv tal så blir kvoten oändligt positiv stor.

När istället $x \to 90°$ från höger, gäller att $\lim\limits_{x \to 90°} \cos x= -0$, det vill säga ett oändligt litet negativt tal. Det i sin tur leder till att kvoten mellan talet $1$1 och det oändligt lilla negativa talet blir ett oändligt negativt stort tal.

Funktionen  $y=\tan x$y=tanx definieras alltså av kvoten $\frac{\cos x}{\sin x}$cosxsinx  och är inte definierad för  $x=\pm90^{\circ}+n\cdot180^{\circ}$x=±90^∘+n·180^∘. Som vi tidigare nämnt motsvarar detta perioden.

Ju större värde på $k$k ju mindre blir perioden och därmed blir kurvan ”smalare”.

När det gäller tangentfunktionen så talar vi inte om amplituden. Koefficienten framför funktionsuttrycken kommer att påverka hur snabbt funktionsvärdena ökar.  Den blå grafen tillhör  $y=\tan x$y=tanx och den röda  $y=2\tan x$y=2tanx. 

Större värden på koefficienten ger en ”brantare” graf. 

På liknande vis som för alla andra funktioner, förskjuts kurvan till y = tan x i höjdled genom addition med en konstant. Det beror på att till varje funktionsvärde lägger man till konstantens värde. Följden är att $y$y-värdet ökar eller minskar lika mycket för varje $x$x-värde.

Kurvan till y = tan x förskjuts alltså $B$B steg rakt upp eller ner.

På liknade vis gäller förskjutningar i sidled.

I introduktionslektionen om de trigonometriska funktionerna tittade vi på sambandet mellan kurvan till tangens och enhetscirken. Återvänd till den om du är osäker. Vi tittar här på hur man med en lodrät linjen kan läsa av värdena direkt.

Sambandet mellan sinus, cosinus och tangens ger att vi kan dra en lodrät linje $x=1$x=1 vid enhetscirkeln. Genom att sedan förlänga radien läser vi av värdet för tangens på den linjen. Det gäller på grund av likformighet mellan de rätvinkliga trianglar som uppstår i området begränsat av $x$x -axeln, linjen $x=1$x=1 och den förlängda radien.

Eftersom att $\tan v=$tanv=$\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv   är detsamma som $\frac{\sin v}{\cos v}=\frac{\tan v}{1}$sinvcosv =tanv1  och den horisontella katetern i triangeln alltid är lika med $1$1 l.e, ger likformighet att den lodräta katetern i den större triangeln motsvarar värdet för tangens.

Alla vinklar som ger att sinusvärdet är mindre än cosinusvärdet, det vill säga $-45^{\circ}<$−45^∘<$v$v $<45^{\circ}$<45^∘, ger ett tangensvärde mindre än $1$1. Vi ser det i figuren genom att den lodräta katetern är kortare än den horisontella. Exempelvis kan vi läsa av att $\tan40^{\circ}\approx0,84$tan40^∘≈0,84.

Läser vi av tangensvärdet för $\tan45^{\circ}$tan45^∘ på linjen  $x=1$x=1 får vi det till $1$1. Det beror på att de två katetrarna båda är $1$1 l.e och $\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}$sin45^∘=cos45^∘.

Alla vinklar som ger att sinusvärdet är större än cosinusvärdet, det vill säga $45^{\circ}<$45^∘< $v$v $<90^{\circ}$<90^∘ och  $-90^{\circ}<$−90^∘<$v<-45^{\circ}$v<−45^∘  ger ett tangensvärde större än $1$1. Vi ser det i figuren genom att den lodräta katetern är längre än den horisontella. Till exempel gäller att $\tan55^{\circ}\approx1,4$tan55^∘≈1,4.

När vinkel närmar sig $90^{\circ}$90^∘ får hypotenusan/den förlängda radien en brantare och brantare lutning till att vid $90^{\circ}$90^∘ bli parallell med linjen $x=1$x=1. Då bildar den tillsammans med $x=1$x=1 och $x$x-axeln inte längre en triangel. Vi får inte någon skärningspunkt att läsa av tangensvärdet på linjen $x=0$x=0  längre, vilket är ett annat sätt att se att tangens är inte definierat för $v=90^{\circ}$v=90^∘.

Om vinkeln ligger i intervallet $90^{\circ}<$90^∘<$v$v$<270^{\circ}$<270^∘ förlänger vi radien rakt igenom enhetscirkeln istället tills den skär linjen $x=1$x=1 och läser av tangensvärdet där. Exempelvis är $\tan150^{\circ}\approx-0,6$tan150^∘≈−0,6.

Dessa mönster upprepar sig med perioden $180^{\circ}$180^∘, det vill säga ett halvt varv. Det vill säga värdet $\tan45^{\circ}=\tan225^{\circ}$tan45^∘=tan225^∘ eftersom att de kommer motsvara samma punkt på linjen $x=1$x=1.

Så du kan använda enhetscirkeln med tillägget $x=1$x=1 för att läsa av tangensvärdet. Men självklart kan du lika gärna räkna ut värdet med kvoten $\frac{\sin v}{\cos v}$sinvcosv  om du föredrar det.