Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik - fördjupning Nivå 1
/ Maclaurinutveckling
Maclaurinutveckling
Innehåll
Colin Maclaurin (1698–1746) var en skotsk matematiker som gav namn åt en av de mest användbara teknikerna inom matematisk analys. En Maclaurinutveckling är ett sätt att approximera en funktion $f(x)$ med ett polynom nära $x=0$. Ju fler termer vi tar med, desto bättre stämmer polynomet – men det stämmer alltid bäst allra närmast $x=0$.
Visste du detta?
Colin Maclaurin (1698–1746) var en skotsk matematiker och elev till Isaac Newton. Den teknik som bär hans namn publicerade han i sitt verk Treatise of Fluxions år 1742. Maclaurinutvecklingen är egentligen ett specialfall av Taylorutvecklingen, uppkallad efter Brook Taylor, som publicerade den allmänna formen redan 1715.
Grundidén
Polynomet väljs så att det har samma värde, samma derivata, samma andraderivata, och så vidare som $f$ i punkten $x=0$.
Tänk så här
Zoomar du in på grafen vid $x=0$ ser den ut som en rät linje (grad 1).
Zoomar du ut lite ser du krökningen (grad 2). Ännu lite mer och du ser asymmetrin (grad 3). Maclaurinpolynomet fångar ett lager i taget.
Den generella formeln
Om $f$ är deriverbar hur många gånger som helst i $x=0$ gäller:
Maclaurinutveckling
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f”(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f”'(0)}{3!}x^3 + \cdots$
Koefficienten framför $x^n$ är alltid $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$, det vill säga den $n$:te derivatan av $f$ utvärderad i $x=0$, dividerad med fakulteten $n!$.
Härledning – exemplet $e^x$
Eftersom alla derivator av $e^x$ är $e^x$ gäller $f^{(n)}(0)=1$ för alla $n$.
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Term i Maclaurin |
|---|---|---|---|
| $0$ | $e^x$ | $1$ | $\dfrac{1}{0!}x^0 = 1$ |
| $1$ | $e^x$ | $1$ | $\dfrac{1}{1!}x = x$ |
| $2$ | $e^x$ | $1$ | $\dfrac{1}{2!}x^2 = \dfrac{x^2}{2}$ |
| $3$ | $e^x$ | $1$ | $\dfrac{1}{3!}x^3 = \dfrac{x^3}{6}$ |
| $n$ | $e^x$ | $1$ | $\dfrac{x^n}{n!}$ |
Summerar vi alla termer får vi:
Maclaurinutveckling av $e^x$
$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots$
Härledning – exemplet $\sin x$
För $f(x)=\sin x$ deriverar vi upprepade gånger och utvärderar i $x=0$:
| $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | Term i Maclaurin |
|---|---|---|---|
| $0$ | $\sin x$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $\cos x$ | $1$ | $x$ |
| $2$ | $-\sin x$ | $0$ | $0$ |
| $3$ | $-\cos x$ | $-1$ | $-\dfrac{x^3}{6}$ |
| $4$ | $\sin x$ | $0$ | $0$ |
| $5$ | $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{x^5}{120}$ |
Varannan term är noll (jämna $n$), och de udda termerna växlar tecken.
Maclaurinutveckling av $\sin x$
$\sin x = x – \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} – \cdots$
Sammanfattning – kända Maclaurinutvecklingar
| Funktion | Maclaurinutveckling |
|---|---|
| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots$ |
| $\sin x$ | $x – \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} – \cdots$ |
| $\cos x$ | $1 – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} – \cdots$ |
| $\ln(1+x)$ | $x – \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} – \dfrac{x^4}{4} + \cdots \quad (|x|<1)$ |
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \quad (|x|<1)$ |
Sammansatta funktioner – $e^{\sin x}$
En kraftfull teknik är att kombinera kända Maclaurinutvecklingar i stället för att härleda från grunden.
Exempel 1
Bestäm Maclaurinutvecklingen av $e^{\sin x}$ upp till grad 3.
Lösning
Steg 1 – Skriv upp de kända utvecklingarna
$\sin x \approx x – \dfrac{x^3}{6}$
$e^u = 1 + u + \dfrac{u^2}{2} + \dfrac{u^3}{6} + \cdots$
Steg 2 – Sätt $u = \sin x$ i formeln för $e^u$
$e^{\sin x} = 1 + \sin x + \dfrac{(\sin x)^2}{2} + \dfrac{(\sin x)^3}{6} + \cdots$
Steg 3 – Approximera $(\sin x)^2$ och $(\sin x)^3$ och stryk termer av grad högre än 3
$(\sin x)^2 \approx \left(x – \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 + \text{ termer av grad} \geq 4 \approx x^2$
$(\sin x)^3 \approx \left(x – \dfrac{x^3}{6}\right)^3 = x^3 + \text{ termer av grad} \geq 5 \approx x^3$
Steg 4 – Sätt ihop och förenkla
$e^{\sin x} \approx 1 + \left(x – \dfrac{x^3}{6}\right) + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}$
$= 1 + x + \dfrac{x^2}{2} – \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^3}{6}$
$= 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$
Notera att $-\dfrac{x^3}{6}$ från $\sin x$-termen och $+\dfrac{x^3}{6}$ från $\dfrac{(\sin x)^3}{6}$ tar exakt ut varandra. Maclaurinutvecklingen av $e^{\sin x}$ saknar därmed en $x^3$-term.
Endast Premium-användare kan kommentera.