Nationellt Prov Matematik 2a ht 2014 DEL D

I ett hus finns det $40$40 lägenheter med totalt $90$90 rum. Lägenheterna har antingen $2$2 rum eller $3$3 rum. För att beräkna hur många lägenheter det finns med $2$2 rum respektive $3$3 rum, kan ett ekvationssystem ställas upp:

$\begin{cases} x+y= 40 \\ 2x+3y=90  \end{cases}$

a) Vad står $x$x för i ekvationssystemet?

b) Lös ekvationssystemet och ange hur många lägenheter som har $2$2 rum respektive $3$3 rum.

Grafen till en andragradsfunktion går genom punkten $P\left(0,\text{ }4\right)$P(0, 4) och har antingen maximipunkt eller minimipunkt i punkten  $Q\left(2,\text{ }-1\right)$Q(2, −1) 

Avgör om punkten $Q$Q är maximipunkt eller minimipunkt. Motivera ditt svar.

Tabellen nedan visar två fall A och B med två tillhörande påståenden, påstående 1 och påstående 2.

Ange både för fall A och för fall B om ekvivalens (⇔ ) gäller mellan påstående 1 och påstående 2.

Motivera ditt svar både för fall A och för fall B.

En rektangels längd är $10$10 cm längre än dess bredd. Bestäm hur långa sidorna i rektangeln är om dess area är  $80$80 cm.

Stina, Lisa och Valeria undersöker hur kaffe svalnar i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. De häller upp kaffe som har temperaturen  $95$95 °C. Efter fem minuter är kaffets temperatur $73$73 °C.

De ställer upp var sin modell för hur kaffet svalnar, där $y$y är kaffets temperatur i °C och $x$x är antalet minuter efter att kaffet har hällts upp. Med hjälp av ett ritprogram ritar Stina, Lisa och Valeria upp grafer till de funktioner som representerar de tre modellerna, se nedan.

a) Endast en av modellerna stämmer överens med hur kaffet svalnar i verkligheten. Avgör vilken av modellerna det är och motivera ditt svar.

Anta att Valerias modell representeras av funktionen  $f$ƒ  där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) och Stinas modell av funktionen  $g$g där  $y=g\left(x\right)$y=g(x) 

b) Tolka vad  $f\left(30\right)-g\left(30\right)$ƒ (30)−g(30) betyder i det här sammanhanget.

 Summan av två tal är $51$51. Bestäm de två talen om talens produkt är $152,96$152,96 .

Jätteknölkallan, Amorphophallus titanum, är en köttätande blomväxt med en av världens största blomställningar som kan bli upp till tre meter hög. Jätteknölkallan växer vilt på västra delen av Sumatra i Indonesien.

Ett exemplar av växten finns i Bergianska trädgården i Stockholm där den blommade i juli 2013. Blomställningens höjd mättes på morgonen varje dag under sex dygn. Resultatet visas i tabellen och i diagrammet nedan där $y$y är blomställningens höjd i cm och $x$x är antalet dygn efter den 2 juli 2013.

Anta att sambandet mellan blomställningens höjd och tiden är linjärt.

Hur hög skulle blomställningen ha varit på morgonen den 9 juli 2013 om den fortsatte att växa i samma takt enligt det linjära sambandet?

Mikaela ska göra ett fat av betong. Fatet ska vara cirkulärt med en ytterdiameter på $400$400 mm. Fatet ska ha två fack som avgränsas med en skiljevägg som är $10$10 mm tjock. Fatet ska ha en ytterkant som är $10$10 mm tjock.

Mikaela gör en enkel skiss på hur fatet ska se ut ovanifrån.

Hur stor ska innerradien $r$r vara för att de två facken ska ha samma area?

Ismael ska sy nya gardiner till fritidsgårdens åtta fönster. Ismael vill klippa till tygstycken som ska ha nederkanten med formen av en andragradsfunktion. Varje tygstyckes största bredd ska vara $150$150 cm och högsta höjd $70$70 cm, se figur 1.

Ismael har hittat ett tyg som är $140$140 cm brett. Han vill köpa så lite tyg som möjligt och tänker klippa ut de åtta tygstyckena enligt figur 2 nedan.

Två närliggande tygstycken nuddar varandra i en punkt som ligger $35$35 cm från tygets övre kant, se figur 3.

Beräkna hur många meter tyg Ismael behöver köpa.